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预习衔接.夯实基础 一元二次函数、方程和不等式
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 平度市期中）已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2和a6是方程x2﹣9x+10＝0的两个根，则lga1+lga2+…+lga7＝（　　）
A． B．3 C． D．4
2．（2024秋 西城区校级期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件）与每件售价x（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（注：净利润＝销售总额﹣总成本）（　　）
A．10元 B．12元 C．15元 D．16元
3．（2024秋 闵行区期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若a+b＝1，且a＞0，b＞0，则
C．若a＞1，则
D．若|x﹣2|+|x+3|≥5，则当且仅当x∈（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）时，等号成立
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 江北区校级期中）已知关于x的方程mx2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0
B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1或m＜﹣3
C．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
（多选）5．（2024秋 浙江期中）已知正数a，b满足2a+b＝2，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．4a2+b2的最小值为4
D．的最小值为
（多选）6．（2024秋 漳州期中）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（　　）
A．a2b+ab2≤2 B．a2+b2≥2 C． D．
（多选）7．（2024秋 南海区校级期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＜0的解集为{x|x＞﹣12}
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
D．a+b+c＞0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　 　．
9．（2024秋 江北区校级期中）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣2，6]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 泉州期中）已知正数a，b，c满足c＜1，a+b＝6，则的最小值为 　 　．
11．（2024秋 秦淮区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2px+q＝0（其中p，q均为实数）有两个不等实根x1，x2．若x1，x2满足，则p的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
13．（2024秋 闵行区校级期中）使不等式4ax2+4kx＞8x﹣k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0的解集为B．
（1）当m＝1时，求集合B；
（2）当a＝k时，求集合A；
（3）当a＝1时，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
14．（2024秋 天河区校级期中）（1）解一元二次不等式：x2+2x﹣15＞0；
（2）已知不等式mx2﹣mx+2＞0，当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
（1）求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式mx2﹣（m+b）x+b＜0（m≠0）的解集．
预习衔接.夯实基础 一元二次函数、方程和不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 平度市期中）已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2和a6是方程x2﹣9x+10＝0的两个根，则lga1+lga2+…+lga7＝（　　）
A． B．3 C． D．4
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数运算求值．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求得a2a6，再由等比数列的性质及对数的运算性质求解得答案．
【解答】解：∵a2和a6是方程x2﹣9x+10＝0的两个根，
∴a2a6＝10，
又数列{an}为各项均为正数的等比数列，
∴10．
∴lga1+lga2+…+lga7＝lg（a1a2a3a4a5a6a7）＝lg．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查对数的运算性质，是基础题．
2．（2024秋 西城区校级期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件）与每件售价x（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（注：净利润＝销售总额﹣总成本）（　　）
A．10元 B．12元 C．15元 D．16元
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】设利润为f（x），由题意可得函数的解析式，再由基本不等式可得函数的最大值．
【解答】解：设每月的利润为f（x），
由题意可得f（x）＝（1） x﹣8（1）＝﹣x26≤﹣226＝2，
当且仅当x，即x＝12时，等号成立，即此时利润最大．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式在实际中的应用，属于基础题．
3．（2024秋 闵行区期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若a+b＝1，且a＞0，b＞0，则
C．若a＞1，则
D．若|x﹣2|+|x+3|≥5，则当且仅当x∈（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）时，等号成立
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，利用作差法、基本不等式以及绝对值的几何意义，可得答案．
【解答】解：，故A正确；
因为a+b＝1，且a＞0，b＞0，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
由a＞1，，当且仅当a＝2时，等号成立，由3＞2，则成立，故C正确；
领y＝|x﹣2|+|x+3|，故|x﹣2|+|x+3|≥5，当且仅当x∈[﹣3，2]时等号成立，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 江北区校级期中）已知关于x的方程mx2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0
B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1或m＜﹣3
C．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可．
【解答】解：对于A：当m＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x＝1，只有一根，故A错误；
对于B：若方程mx2+（m﹣3）x+m＝0无实数根，则，
解得m＞1或m＜﹣3，故B正确；
对于C：方程有两个正根等价于，
解得0＜m≤1，故C正确；
对于D：当m＝3时，方程为x2+1＝0，方程无解，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布问题，属于基础题．
（多选）5．（2024秋 浙江期中）已知正数a，b满足2a+b＝2，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．4a2+b2的最小值为4
D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可．
【解答】解：正数a，b满足2a+b＝2，
对于A，，解得，当且仅当b＝2a＝1时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当b＝2a＝1时取等号，C错误；
对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 漳州期中）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（　　）
A．a2b+ab2≤2 B．a2+b2≥2 C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A选项，a2b+ab2＝2ab，利用基本不等式求出最大值；B选项，由基本不等式得2（a2+b2）≥（a+b）2＝4，求出a2+b2≥2；C选项，，得到，C错误；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：A选项，，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；
B选项，2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
故a2+b2≥2，B正确；
C选项，，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
则，C错误；
D选项，，
当且仅当，即a＝b＝1时，等号成立，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 南海区校级期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＜0的解集为{x|x＞﹣12}
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
D．a+b+c＞0
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}得a＞0，再根据﹣3，4是方程ax2+bx+c＝0的两个根列方程组得到，然后结合题意求解即可．
【解答】解：根据不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}得a＞0且﹣3，4是方程ax2+bx+c＝0的两个根，选项A正确；
由，整理得，不等式bx+c＜0可化为﹣ax﹣12a＜0，
因为a＞0，所以x+12＞0，解得x＞﹣12，选项B正确；
不等式cx2﹣bx+a＜0可化为﹣12ax2+ax+a＜0，即﹣12x2+x+1＜0，即（﹣3x+1）（4x+1）＜0，解得或，选项C正确；
a+b+c＝a﹣a﹣12a＝﹣12a＜0，选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　（1，2）　．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1，2）．
【分析】由题意可知﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，进而求出不等式x2+bx+a＜0的解集．
【解答】解：因为关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，
由韦达定理可得，，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以不等式x2+bx+a＜0可化为x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式x2+bx+a＜0的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
9．（2024秋 江北区校级期中）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣2，6]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　（﹣2，]　．
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣2，]．
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣2，6]，
方程ax2+bx+c＝0至多一个根，方程ax2+bx+c﹣2＝0有两根分别为﹣2，6．
所以
所以，
所以，
所以a﹣b﹣c＝a+4a+12a．
故答案为：（﹣2，]．
【点评】本题主要考查不等式的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
10．（2024秋 泉州期中）已知正数a，b，c满足c＜1，a+b＝6，则的最小值为 　　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】．
【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案．
【解答】解：0＜c＜1，
则，当且仅当c＝1﹣c，即时，等号成立，
，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11．（2024秋 秦淮区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2px+q＝0（其中p，q均为实数）有两个不等实根x1，x2．若x1，x2满足，则p的取值范围是 　　．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据根与系数的关系及判别式建立不等式求解．
【解答】解：由关于x的方程x2﹣2px+q＝0（其中p，q均为实数）有两个不等实根x1，x2，
可得Δ＝4p2﹣4q＞0，即p2＞q，且x1+x2＝2p，x1 x2＝q，
因为，
所以4p2＝8q﹣3，则，
由p2＞q可得，即，
解得或．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次方程根与系数关系的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）（0，91]；
（2）2450辆/小时，70辆/千米．
【分析】（1）根据题意令v≤20，分别代入两段函数求出对应x取值范围即可．
（2）根据题意先求出y关于x的函数关系式，再分段讨论y的最大取值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）当0＜x≤30时，v＝60≥20，符合题意；
当30＜x≤105时，令，解得x≤91，
所以30＜x≤91，
所以若车流速度v不小于20千米/小时，则车流密度x的取值范围是（0，91]；
（2）由题意得设，
当0＜x≤30时，y＝60x为增函数，所以y≤1800，当x＝30时等号成立；
当30＜x≤105时，y＝70x70（x）＝70[x]
＝70（x35）
，
因为30＜x≤105，所以140﹣x＞0，
因为140﹣x2140，当且仅当140﹣x，即x＝70时不等式取等号，
所以x﹣140（140﹣x）≤﹣2×70＝﹣140，
所以y≤70（﹣140+175）＝2450，
又因为1800＜2450，
所以隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米．
【点评】本题考查基本不等式在实际中的应用，属于基础题．
13．（2024秋 闵行区校级期中）使不等式4ax2+4kx＞8x﹣k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0的解集为B．
（1）当m＝1时，求集合B；
（2）当a＝k时，求集合A；
（3）当a＝1时，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；充分条件的应用与判定定理；解一元二次不等式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）（1，2）；
（2）（1，+∞）；
（3）．
【分析】（1）当m＝1时，解一元二次不等式可得集合B；
（2）当a＝k时，根据一元二次不等式的解集为R，可求参数k的取值范围，得到集合A；
（3）问题转化成B A，根据集合的包含关系求参数的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝1时，由题意可得x2﹣3x+2＜0．
所以（x﹣1）（x﹣2）＜0 1＜x＜2，所以集合B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）；
（2）当a＝k时，由题意可得4kx2+（4k﹣8）x+k＞0的解集为R，
显然k＝0不合题意；
若k≠0，则必有k＞0且Δ＝（4k﹣8）2﹣4×4k2＜0 k＞1．
所以此时A＝{k|k＞1}＝（1，+∞）；
（3）当a＝1时，由题意可得4x2+（4k﹣8）x+k＞0对一切实数x恒成立，
所以Δ＝（4k﹣8）2﹣4×4k＜0 1＜k＜4，
所以A＝（1，4）．
由x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0 [x﹣（2m﹣1）] [x﹣（m+1）]＜0．
所以当m＜2时，B＝（2m﹣1，m+1）；当m＝2时，B＝ ；当m＞2时，B＝（m+1，2m﹣1）．
由“x∈B”是“x∈A”的充分条件，可得B A．
所以：当m＜2时， 1≤m＜2，此时B A；
当m＝2时，B＝ ，此时B A；
当m＞2时，由 ，此时B A．
综上所述，
即m的取值范围是．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件，属于基础题．
14．（2024秋 天河区校级期中）（1）解一元二次不等式：x2+2x﹣15＞0；
（2）已知不等式mx2﹣mx+2＞0，当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|x＞3或x＜﹣5}；
（2）{m|0≤m＜8}．
【分析】（1）结合二次不等式的求法即可求解；
（2）由已知不等式恒成立，结合函数性质对m的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）因为x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）＞0，
所以x＞3或x＜﹣5，
故不等式的解集为{x|x＞3或x＜﹣5}；
（2）①m＝0时，2＞0恒成立；
②m≠0时，不等式恒成立，即二次函数y＝mx2﹣mx+2的图象恒在x轴上方，
故，解得0＜m＜8，
综上知m的取值范围是{m|0≤m＜8}．
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
（1）求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式mx2﹣（m+b）x+b＜0（m≠0）的解集．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣3；
（2）答案见解析．
【分析】（1）依题意可得1，2为关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根且a＞0，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得（mx+3）（x﹣1）＜0，再分m＞0、m＝﹣3、﹣3＜m＜0、m＜﹣3四种情况讨论，分别求出不等式的解集．
【解答】解：（1）因为关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以1，2为关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根且a＞0，
所以，解得；
（2）不等式mx2﹣（m+b）x+b＜0（m≠0），
即mx2﹣（m﹣3）x﹣3＜0，即（mx+3）（x﹣1）＜0，
当m＜0时，不等式即，
若，即m＝﹣3，此时不等式即（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
若，即﹣3＜m＜0时，解得或x＜1，所以不等式的解集为；
若，即m＜﹣3时，解得或x＞1，所以不等式的解集为；
当m＞0时，解得，所以不等式的解集为；
综上可得：当m＞0时，不等式的解集为；
当m＝﹣3时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当﹣3＜m＜0时，不等式的解集为；
当m＜﹣3时，不等式的解集为．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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