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预习衔接.夯实基础 三角函数的图象与性质
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 即墨区期中）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
2．（2024秋 杨浦区校级期中）设a≠0，b∈[0，2π）．若关于x的等式恒成立，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024秋 和平区校级期中）已知函数在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：
①ω的取值范围是；
②在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；
③f（x）在区间上单调递减；
④f（x）在区间（0，π）有且仅有1个极大值点．
其中所有正确结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 顺义区校级期中）函数f（x）＝sin2x图象上存在两点P（s，t），Q（r，t）（t＞0）满足，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 无锡期中）下列函数中，在区间上单调递增的函数是（　　）
A． B．
C．y＝|sin2x| D．y＝sin2x
（多选）6．（2024秋 广州期中）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点中心对称，则（　　）
A．
B．直线是曲线y＝f（x）的对称轴
C．f（x）在区间有两个极值点
D．f（x）在区间单调递增
（多选）7．（2023秋 龙华区期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），x为f（x）的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．是偶函数
D．ω的取值范围是
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）已知k＞0，函数的最小正周期是π，则正数k的值为 　 　．
9．（2024秋 闵行区期中）函数的单调递增区间是 　 　．
10．（2024秋 宁德期中）已知，函数在[0，ωπ]上单调递增，则ω的最大值为 　 　．
11．（2023秋 广东期末）已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西城区校级期中）已知函数f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
13．（2024秋 通州区期中）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cosx，．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）已知f（x）＝sinωx（ω＞0）．
（1）函数y＝f（x）的最小正周期是4π，求ω，并求此时的解集；
（2）已知ω＝1，，求函数y＝g（x），的值域．
15．（2024秋 和平区校级期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的最大值为2，且，f（0）＝1．若，且0＜ωφ≤π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）的零点．
预习衔接.夯实基础 三角函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 即墨区期中）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合周期公式先求出ω，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：由Tπ，可得ω＝2，可得f（x）＝sin（2x），
对于A，f（）＝sin（2）＝sin0，故错误；
对于B，f（）＝sin（2）＝sin1≠0，故错误；
对于C，f（）＝sin（2）＝sin±1，故错误；
对于D，f（）＝sin（2）＝sin1，故正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性及对称性的应用，属于基础题．
2．（2024秋 杨浦区校级期中）设a≠0，b∈[0，2π）．若关于x的等式恒成立，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的图象．
【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得有序实数对（a，b）即可．
【解答】解：设a≠0，b∈[0，2π），若关于x的等式恒成立，
则对于任意实数x都有，
则函数的周期相同，|a|＝3，
若a＝3，此时，
因为b∈[0，2π），此时．
若a＝﹣3，则方程，
因为b∈[0，2π），则，
综上满足条件的有序实数组（a，b）为，，共有2组．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的恒成立问题，属于中档题．
3．（2024秋 和平区校级期中）已知函数在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：
①ω的取值范围是；
②在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；
③f（x）在区间上单调递减；
④f（x）在区间（0，π）有且仅有1个极大值点．
其中所有正确结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】方程思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【答案】B
【分析】对于①：令，求出z的范围，根据在区间[0，π]上有且仅有2个零点即可限制的取值范围，从而得到ω的取值范围；
对于②：在z的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件；
对于③：当x时，求出z的范围，判断是否在y＝sinz的减区间内；
对于④：根据条件，对应的x也可能为一个极大值点．
【解答】解：对于①：∵x∈[0，π]，∴，
令，则z，
由题意，在上只能有两解和，
所以，解得，所以①成立；
对于②：因为在z上必有，
故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2，所以②成立；
对于③：当时，，由于，
故z，此时y＝sinz是增函数，从而f（x）在上单调递增．
所以③不成立；
对应的x（显然在（0，π）上）一定是极大值点，因对应的x值有可能在（0，π）上，
故④结论错误；
综上，①②成立．
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数综合应用，属于中档题．
4．（2024秋 顺义区校级期中）函数f（x）＝sin2x图象上存在两点P（s，t），Q（r，t）（t＞0）满足，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据P（s，t），Q（r，t）（t＞0）在f（x）＝sin2x上，可得出2r+2s＝π+2kπ，k∈Z，再联立，得到s的值，根据t＞0缩小s的取值范围，进而代入求值即可．
【解答】解：由题知f（x）＝sin2x，
∴T＝π，∵P（s，t），Q（r，t）均在f（x）＝sin2x上，
∴sin2s＝sin2r＝t＞0，
∵，
∴，
故有：2r+2s＝π+2kπ，k∈Z，
两等式联立，
解得，
∵sin2s＝t＞0，
∴，
∴，
∴，
综上选项B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 无锡期中）下列函数中，在区间上单调递增的函数是（　　）
A． B．
C．y＝|sin2x| D．y＝sin2x
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断．
【解答】解：A．由，可得t，故y＝sint在上递减，故错误；
B．由，可得t，故y＝cost在上递增，故正确；
C．由，可得t，故y＝|sint|在上递增，故正确；
D．由于 ，又，故，故y＝cos2x在上递增，
则y＝sin2x在上递减，故错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 广州期中）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点中心对称，则（　　）
A．
B．直线是曲线y＝f（x）的对称轴
C．f（x）在区间有两个极值点
D．f（x）在区间单调递增
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数极值的定义逐一判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）代入点，∴，0＜φ＜π，∴，故A正确．
B选项：代入，，故B错误．
由，，
显然时，函数单调递减，
当，函数单调递增，
，所以该函数f（x）在区间有且仅有一个极值点，C错误．
，处于正弦函数的递增区间内，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）7．（2023秋 龙华区期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），x为f（x）的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．是偶函数
D．ω的取值范围是
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性，正弦函数的图象，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于A选项，由是f（x）的零点，得，所以，
即，ω＞0．
再根据在上单调递减，故有，可得0＜ω≤6．
因为0＜φ＜π，所以只能取k＝0，，故A正确．
对于B选项，由，，可得（，0）是函数f（x）的对称中心，即f（）＝0．
故函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是中心对称图形，故B正确．
对于C选项，由于，奇偶性无法判断，故C错误．
对于D选项，由A选项得，因为函数f（x）在上单调递减，ωx∈[，]，
所以，（k∈Z）．
解得（ω＞0）．
所以当k＝0时，．
当k＝1时，ω＝6，此时，φ，不满足0＜φ＜π．
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查正弦函数的零点和单调性，正弦函数的图象，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）已知k＞0，函数的最小正周期是π，则正数k的值为 　2　．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解．
【解答】解：因为函数的最小正周期是π，k＞0，
所以，解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角函数的周期求法，属于基础题．
9．（2024秋 闵行区期中）函数的单调递增区间是 　　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用整体代入法求得的单调递增区间．
【解答】解：函数y＝sinx的单调区间为
利用整体思想：由，
解得；
所以函数的单调递增区间是．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2024秋 宁德期中）已知，函数在[0，ωπ]上单调递增，则ω的最大值为 　　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：由于，函数在[0，ωπ]上单调递增，
可得x∈[0，ωπ]，，
要使在[0，ωπ]上单调递增，
则，
解得，
故ω的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
11．（2023秋 广东期末）已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 　　．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据x的范围求出2的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
【解答】解：当x∈[0，π]时，，
因为f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点，所以，，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西城区校级期中）已知函数f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）π，递减区为[]（k∈Z）．（Ⅱ）x＝0时，函数的最小值为，当x时，函数的最大值为2．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单点递减区间；
（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2xsin（2x），
故函数的最小正周期为；
令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递减区为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，故，
故，
故当x＝0时，函数的最小值为，当x时，函数的最大值为2．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 通州区期中）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cosx，．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）最小正周期为π，；（2）．
【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可．
（2）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可．
【解答】解：（1）由于f（x）＝2sin（π﹣x）cosx＝sin2x，
所以，f（x）的最小正周期为．
（2）由题意可知，M，N两点的坐标为（t，f（t）），（t，g（t）），
则|MN|＝|f（t）﹣g（t）|，即，
|MN|，
因为，所以，
所以，
所以|MN|在时的最大值为．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）已知f（x）＝sinωx（ω＞0）．
（1）函数y＝f（x）的最小正周期是4π，求ω，并求此时的解集；
（2）已知ω＝1，，求函数y＝g（x），的值域．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω，再求出方程的解集即得．
（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出g（x），再利用正弦函数性质求出值域即可．
【解答】解：（1）依题意，，解得，则，由，得，
解得或，即或，
所以的解集为或．
（2）依题意，f（x）＝sinx，
，
当时，，则有，，
所以函数y＝g（x），的值域为．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于中档题．
15．（2024秋 和平区校级期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的最大值为2，且，f（0）＝1．若，且0＜ωφ≤π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）的零点．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2），k∈Z；
（3），k∈Z．
【分析】（1）根据已知条件列方程求解即可；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数单调性求解可得；
（3）直接解方程求解即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的最大值为2，所以A＝2，
由f（0）＝2sinφ＝1，得，k∈Z或，k∈Z，
又，所以，
又由，得，k∈Z，即，k∈Z，
当时，ω＝2+12k，k∈Z，
此时，得，则ω＝2；
所以；
（2）令，k∈Z，
解得，k∈Z，
即f（x）的单调递增区间是，k∈Z；
（3）令，则，k∈Z，
解得，k∈Z．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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