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预习衔接.夯实基础 函数y＝Asin（ωx+φ）
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 浙江期中）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，，当t＝45秒时，|PA|＝（　　）
A． B． C． D．4
2．（2024秋 宁德期中）将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象．若y＝f（x）的图象关于点对称，则|φ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 无锡期中）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
4．（2024秋 房山区期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x）为奇函数，则t的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 凤冈县期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．点是f（x）图象的一个对称中心
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）在上的值域为
D．将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos8x
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6
C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像
D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像
（多选）7．（2024秋 五华区期中）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0）的最大值为，其部分图象如图所示，则（　　）
A．a＝1
B．函数为偶函数
C．y＝f（x）在[0，m]上有4个零点，则
D．当时，函数的值域为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 普陀区校级期中）如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　 　．
9．（2024秋 菏泽期中）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x，将f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线y＝f（x）关于原点对称，则f（0）＝ 　 　．
10．（2023秋 闵行区期末）若将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则φ＝　 　．
11．（2024春 浦东新区校级期中）若将函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后其图像关于y轴对称，则φ＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 河西区期中）已知函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象．
（i）求g（x）的解析式及g（）值；
（ii）求g（x）上[0，]的值域．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）若函数f（x）的图像向左平移个单位，得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间；
（2）设集合A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10 T}，求集合A中的元素个数．
14．（2024秋 赣州期中）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝2f（x）+2f（x），试求g（x）在区间上的最值．
15．（2024秋 海淀区期中）设函数f（x）＝Asin2x﹣2sin2x+1（A＞0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，m）上有且仅有两个极大值点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称；
条件③：对于任意的实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为4．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
预习衔接.夯实基础 函数y＝Asin（ωx+φ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 浙江期中）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，，当t＝45秒时，|PA|＝（　　）
A． B． C． D．4
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】由A点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中∠POA（小于平角的那个），然后由勾股定理计算．
【解答】解：由题意可得，
可得函数周期T＝60，
经过45秒后，即旋转了个周期，
因此，
如图，
所以|PA|，
故选：A．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．
2．（2024秋 宁德期中）将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象．若y＝f（x）的图象关于点对称，则|φ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解．
【解答】解：将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，
可得，
由于y＝f（x）的图象关于点对称，
故，
故，
解得，
取k＝﹣1，为最小值，
故选：A．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．
3．（2024秋 无锡期中）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用三角函数的平移变换即可求出结果．
【解答】解：函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点向右平移个单位即可．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2024秋 房山区期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x）为奇函数，则t的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由图象可得x时，函数y＝Asin（ωx+φ）的函数值为0，可以解出φ的表达式，再利用平移的知识可以得出t的最小值．
【解答】解：由图象可得x时，函数y＝Asin（ωx+φ）的函数值为0，即φ＝kπ（k∈Z），
∴φkπ（k∈Z），
∴y＝Asin（ωxkπ），将此函数向左平移t个单位得，
f（x）＝Asin（ω（x+t）kπ），又因为f（x）为奇函数，
∴ωtkπ＝k1π（k1∈Z），
∴t（k∈Z，k1∈Z），
∴t．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数图象与性质，奇函数的定义，图象的平移，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 凤冈县期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．点是f（x）图象的一个对称中心
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）在上的值域为
D．将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos8x
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式，根据函数图像及其形式即可得到ABC选项的判断，D选项由函数的变换诱导公式即可判断．
【解答】解：已知函数，
因为，
所以点是f（x）图象的一个对称中心，故A正确；
令（k∈Z），则（k∈Z），
故f（x）的单调递增区间为（k∈Z），故B错误；
因为，所以，故f（x）在上的值域为，故C正确；
将f（x）的图象先向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin（4x）＝﹣cos4x的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得g（x）＝﹣cos8x的图象，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6
C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像
D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】计算两个函数的零点，即可求解A，根据，求解或，即可判断B，根据函数图象的变换即可求解CD．
【解答】解；对于A，f（x）＝sinx的零点为x＝kπ，k∈Z，的零点满足，解得x，k∈Z，两个函数的零点不相同，选项A错误；
对于B，令，得或，解得xkπ或x，k∈Z，所以x∈[0，2π]时，零点有，共有6个，选项B正确；
对于C，将f（x）的图像向右平移个单位，得到，再把的横坐标变为原来的倍，得，选项C正确；
对于D，将f（x）的图像横坐标变为原来的倍，得到y＝sin3x，再将y＝sin3x向右平移个单位，得的图象，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
（多选）7．（2024秋 五华区期中）已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（ω＞0）的最大值为，其部分图象如图所示，则（　　）
A．a＝1
B．函数为偶函数
C．y＝f（x）在[0，m]上有4个零点，则
D．当时，函数的值域为
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】化函数f（x）sin（ωx+φ），其中tanφ＝a，根据f（x）的最大值和f（0）＜0求出a，写出f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx+acosωxsin（ωx+φ），其中tanφ＝a；
因为f（x）的最大值为，所以a2＝1，解得a＝±1，
由f（0）＝a＜0知，a＝﹣1，选项A错误；
由f（x）＝sinωx﹣cosωxsin（ωx），且T＝2×（）＝2π，所以ω1，
所以f（x）sin（x），所以f（x）sin（x）cosx，是偶函数，选项B正确；
x∈[0，m]时，x∈[，m]，
由f（x）在[0，m]上有4个零点，则3π≤m4π，解得x，选项C正确；
x∈（0，）时，tanx∈（0，），所以ytanx﹣1∈（﹣1，1），选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 普陀区校级期中）如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由图象过点结合正弦函数性质可得答案．
【解答】解：令y＝f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π），
则f（0）＝2sinφ sinφ，又|φ|≤π，
故或，又图象过点（0，）时单调递增，则；
又f（π）＝0，由五点作图法，可得ωπ2π，
则ω．
故答案为：．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题．
9．（2024秋 菏泽期中）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x，将f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线y＝f（x）关于原点对称，则f（0）＝ 　　．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由题可得f（x）图象向左平移个单位长度后所对应解析式g（x），后由g（x）＝﹣f（﹣x）可得a，后可得答案．
【解答】解：将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到图象对应解析式为，
若g（x）与曲线y＝f（x）关于原点对称，可得﹣f（﹣x）＝g（x），
即sin2x﹣acos2x＝sin（2x）+acos（2x），
sin2x﹣sin（2x）＝acos2x+acos（2x），
整理得，所以，
由于不恒等于0，
所以，解得a，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式恒等变换，函数图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2023秋 闵行区期末）若将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则φ＝　　．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数的平移可得函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y＝sin（2x+φ），
要使该函数为奇函数，则，k∈Z，
即，k∈Z，
又0＜φ＜π，则．
故答案为：．
【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及三角函数的性质，属于中档题．
11．（2024春 浦东新区校级期中）若将函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后其图像关于y轴对称，则φ＝　　．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据三角函数的图像变换及三角函数的性质求解即可．
【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后，
得到函数y＝sin[2（x）+φ]＝sin（2xφ）的图像，
此时函数图像关于y轴对称，则φkπ，k∈Z，
即φkπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以k＝0时，．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数图像的变换及三角函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 河西区期中）已知函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象．
（i）求g（x）的解析式及g（）值；
（ii）求g（x）上[0，]的值域．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝2cos（2x），其值域为[﹣2，2]；
（Ⅱ）（i）g（x）＝2cos（4x），g（）＝1；
（ii）[﹣2，1]．
【分析】（Ⅰ）由图象求出A，ω和φ的值即可求出函数的解析式．
（Ⅱ）（i）根据函数图象变换求出g（x）的解析式，进而求出g（）的值；
（ii），则，4x∈[，π]，利用余弦函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象知A＝2，，即T＝π，
又ω＞0，，
所以ω＝2，f（x）＝2cos（2x+φ），
又函数过点，由五点作图法，得2+φ＝﹣π，
解得φ，故f（x）＝2cos（2x）．
（Ⅱ）（i）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到f（x）＝2cos[2（x）]＝2cos（2x），
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数的解析式为g（x）＝2cos（4x），
g（）＝2cos1；
（ii）当，则，4x∈[，π]，cos（4x）∈[﹣1，]，
2cos（4x）∈[﹣2，1]．
即g（x）在上的值域为[﹣2，1]．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，属于中档题．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）若函数f（x）的图像向左平移个单位，得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间；
（2）设集合A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10 T}，求集合A中的元素个数．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1），k∈Z；（2）10．
【分析】（1）化简函数解析式，根据函数的平移变化可得函数g（x）；
（2）根据函数解析式可得M＝2，T＝π，解方程可得集合A中元素．
【解答】解：（1），
函数f（x）的图象向左平移个单位，
可得函数g（x）＝2cos2x的图象，
令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以g（x）的单调减区间为，k∈Z．
（2）因为，所以M＝2，T＝π，
则A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10T}＝{x|f（x）＝2，0＜x＜10π}，
由f（x）＝2，得，k∈Z，
解得，k∈Z，
因为0＜x＜10π，所以，
解得k＝0，1， ，9，
所以集合A中元素的个数为10．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 赣州期中）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝2f（x）+2f（x），试求g（x）在区间上的最值．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）根据三角函数的周期公式算出ω＝2，然后根据f（x）在x处取得最大值，列式算出φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的辅助角公式，化简得g（x）sin（2x），然后根据正弦函数的单调性与最值，算出g（x）在区间上的最值．
【解答】解：（1）根据所给图象，可得f（x）的最小正周期，所以，
由，可得，即，
结合，取k＝0得，所以f（x）的解析式为；
（2）由（1）的结论，可得g（x）＝（2）f（x）sin（2x）．
由，可得2x∈[，]，
当2x∈[，]，即x∈[0，]时，g（x）单调递增；
当2x∈[，]，即x∈[，]时，g（x）单调递减．
所以g（x）的最大值为g（），最小值为Min{g（0），g（）}＝g（）．
综上所述，g（x）在区间上的最大值为，最小值为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
15．（2024秋 海淀区期中）设函数f（x）＝Asin2x﹣2sin2x+1（A＞0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，m）上有且仅有两个极大值点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称；
条件③：对于任意的实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为4．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）（，]．
【分析】（Ⅰ）化简f（x）后，选条件①，根据化简得解；选条件②，由平移可知f（）＝0，化简求解；选条件③，转化为振幅得解；
（Ⅱ）由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知在区间内，不在区间内即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）条件①，f（x）＝Asin2x+cos2x，
所以，
所以，
解得，
条件②，f（x）＝Asin2x+cos2x，
所以f（x）的图象向右平移后所得图象关于原点对称，
所以，即，
解得，经验证：符合题意，
条件③，f（x）＝Asin2x+cos2x，
所以，其中，φ∈（0，2），
由题意知，|f（x）max﹣f（x）min|＝4，即，
因为A＞0，所以；
（Ⅱ），
当，k∈Z时，f（x）取得极大值，即，
因为f（x）在（0，m）上有且仅有两个极大值点，
所以k＝0，1符合题意，
所以．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
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