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预习衔接.夯实基础 对数函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 碑林区校级期中）已知集合A＝{x|ln（x+3）＞0}，集合B＝{x∈N|（x+2）（x﹣3）≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}
C．{0，1，2，3，4} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
2．（2024秋 嘉兴期中）已知a＝30.2，b＝30.5，c＝log0.25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
3．（2024秋 荔湾区校级期中），b＝20.3，c＝0.30.2，则下列正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．（2024秋 和平区校级期中）若a＝4.2﹣0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．（2024 九龙坡区校级模拟）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
（多选）7．（2024秋 天心区校级期中）已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．（2024秋 大理市校级期中）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 上城区校级期中）如果，则x的取值范围为 　 　．
11．（2024秋 西城区校级期中）已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）已知集合A＝{x|log3（x+2）≤3}，B＝{x|2m﹣4＜x＜m+2}．
（1）当m＝0时，求A∪B，（ RA）∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
14．（2024秋 吕梁期中）已知函数．
（1）证明：曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）若函数在[﹣3，3]上有三个零点，求实数a的取值范围．
15．（2023秋 昌黎县校级期末）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
预习衔接.夯实基础 对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 碑林区校级期中）已知集合A＝{x|ln（x+3）＞0}，集合B＝{x∈N|（x+2）（x﹣3）≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}
C．{0，1，2，3，4} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意求出集合A和B，再求其交集即可．
【解答】解：因为对数要有意义，所以x+3＞0，解得x＞﹣3，
所以A＝{x|x＞﹣2}，
因为（x+2）（x﹣3）≤0，
所以﹣2≤x≤3，
因为x∈N，所以B＝{0，1，2，3}
所以A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2．（2024秋 嘉兴期中）已知a＝30.2，b＝30.5，c＝log0.25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用指数函数以及对数函数单调性即可限定出a，b，c的范围，可得结论．
【解答】解：y＝3x在R上单调递增，0.5＞0.2，
则1＜30＜a＝30.2＜b＝30.5，即1＜a＜b；
c＝log0.25＜log0.21＝0，即c＜0，
综上所述，c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，是基础题．
3．（2024秋 荔湾区校级期中），b＝20.3，c＝0.30.2，则下列正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先判断每一个值的范围，再比较大小即可．
【解答】解：0.3＜0.30.2＜0.30＝1，
则0＜c＜1，
，b＝20.3＞20＝1，
综上所述，a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
4．（2024秋 和平区校级期中）若a＝4.2﹣0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可．
【解答】解：a＝4.2﹣0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，
因为y＝4.2x在R上递增，且﹣0.3＜0＜0.3，
所以0＜4.2﹣0.3＜4.20＜4.20.3，
所以0＜4.2﹣0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b，
因为y＝log4.2x在（0，+∞）上递增，且0＜0.2＜1，
所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0，
所以b＞a＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性的应用，属于基础题．
5．（2024 九龙坡区校级模拟）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．
能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较；求全称量词命题的否定；复合函数的单调性；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合函数的解析式，即可求解；对于C，结合复合函数的单调性，即可求解；对于D，结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（1，+∞），使得x2 1”，故A错误；
，
则f（1）＝f（2）＝f（3）＝f（4）＝log3（4﹣1）＝1，故B正确；
令x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1，
二次函数y＝x2﹣2x﹣3开口向上，对称轴为x＝1，
故函数的单调递增区间是[3，+∞），故C错误；
a＝log2（log381）＝2＝21，b，c，
y＝2x在R上单调递增，，
故b＜a＜c，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 天心区校级期中）已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断
【解答】解：由ab＝1，a＞0，且a≠1，则，所以，
若a＞1，则0＜a＜1，曲线函数图象下降，即为减函数，
且y＝logax单调递增，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以函数y＝loga（﹣x）的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，
若0＜a＜1时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且y＝logax单调递减，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以曲线y＝loga（﹣x）为增函数，选项B符合条件．
故选：BC．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 大理市校级期中）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
【考点】对数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A，B项，对于C，D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式f（a）＞f（b）即得
【解答】解：依题意作出函数f（x）的图象，如图，
因f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，观察图形易判断A，B项正确；
对于C，D项，当a＞2时，若b≥2，则成立；
若1＜b＜2，则由f（a）＞f（b） |ln（a﹣1）|＞|ln（b﹣1）| ln（a﹣1）＞﹣ln（b﹣1），即ln[（a﹣1）（b﹣1）]＞0，
故得：ab﹣a﹣b+1＞1，则成立，故C项正确，D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　（0，4）　．
【考点】求对数函数的定义域；必要不充分条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，4）．
【分析】根据已知条件，对a分类讨论，并结合必要条件、充分条件的定义，即可求解．
【解答】解：条件p：log2（4x﹣x2）有意义，即4x﹣x2＞0，即0＜x＜4，
条件q：0，
当a＝2时，条件q无解，即x为空集，
当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x≤a}，
当a＜2时，不等式的解集为{x|a≤x＜2}，
p是q的必要不充分条件，
当a＝2时，符合题意，
当a＞2时，a＜4，
故2＜a＜4，
当a＜2时，
则a＞0，
故0＜a＜2，
综上所述，实数a的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
10．（2024秋 上城区校级期中）如果，则x的取值范围为 　（﹣3，1）　．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣3，1）．
【分析】结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：3﹣2x，
因为y＝3x在R上单调递增，
则x2﹣3＜﹣2x，解得﹣3＜x＜1，
故x的取值范围为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，属于基础题．
11．（2024秋 西城区校级期中）已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　8　．
【考点】求对数型复合函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据已知条件，可知f（x）在[0，+∞）上的最小值小于或等于3，然后判断其单调性，列出不等式求出a的范围．
【解答】解：当x＜0时，．
因为f（x）的值域为R，所以当x≥0时，f（x）min≤3．
当x≥0时，f（x）＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得[f（x）]min＝f（0）≤3，
即log2a≤3，解得log2a≤log223，可得0＜a≤8，因此a的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查函数的单调性与值域、分段函数的应用等知识，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）已知集合A＝{x|log3（x+2）≤3}，B＝{x|2m﹣4＜x＜m+2}．
（1）当m＝0时，求A∪B，（ RA）∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【考点】指、对数不等式的解法；集合的包含关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）A∪B＝{x|﹣4＜x≤25}，（ RA）∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣2}；
（2）[1，+∞）．
【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的基本运算即可求解；
（2）若A∪B＝A，则B A，结合集合的基本运算即可求解．
【解答】解：（1）因为A＝{x|log3（x+2）≤3}＝{x|﹣2＜x≤25}，B＝{x|2m﹣4＜x＜m+2}．
当m＝0时，B＝{x|﹣4＜x＜2}， RA＝{x|x＞25或x≤﹣2}，
则A∪B＝{x|﹣4＜x≤25}，（ RA）∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣2}；
（2）若A∪B＝A，则B A，
当B＝ 时，2m﹣4≥m+2，即m≥6，
当B≠ 时，，解得1≤m＜6，
所以实数m的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞8}；
（2）{a|1＜a＜1或a＞1}．
【分析】（1）分x≤3、3＜x＜4、x≥4三种情况解不等式|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，由此可得出结果；
（2）解出使得N有意义时的取值范围是[﹣4，﹣1]，由题意可知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，通过去绝对值，再由a＞0且a≠1，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，M＝log2（|x﹣4|+|x﹣3|﹣9），
所以|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，
当x≤3时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣3）﹣9＝﹣2﹣2x＞0，解得x＜﹣1，所以x＜﹣1；
当3＜x＜4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝﹣8＜0，原不等式无解；
当x≥4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝2x﹣16＞0，解得x＞8，所以x＞8；
综上，实数x的取值集合是{x|x＜﹣1或x＞8}．
（2）因为，
所以，解得﹣4≤x≤﹣1，
由题意知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，
即|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＞9有解，
因为a＞0且a≠1，则a2＞2a﹣1＞﹣1，
所以|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＝a2﹣x+2a﹣1﹣x＝a2+2a﹣1﹣2x＞9，
即﹣2x+a2+2a﹣1＞9在x∈[﹣4，﹣1]时有解，所以a2+2a﹣2＞0，
又因a＞0且a≠1，解得且a≠1，
所以实数a的取值范围为{x|1＜a＜1或a＞1}．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
14．（2024秋 吕梁期中）已知函数．
（1）证明：曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）若函数在[﹣3，3]上有三个零点，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证明f（x）＝f（2﹣x），即可说明曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）首先求出，然后将问题转化为y＝a与的图象在[﹣3，3]上有三个交点，结合h（x）的图象即可求出实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：由函数，定义域为R，
则，
因此可得f（x）＝f（2﹣x），
故函数y＝f（x）的图象关于x＝1，即曲线y＝f（x）是轴对称图形．
（2）解：由，
若函数在[﹣3，3]上有三个零点，
则方程在[﹣3，3]上有三个实根，
即在[﹣3，3]上有三个实根，
令，则y＝a与h（x）的图象在[﹣3，3]上有三个交点，
又h′（x）＝﹣2x2﹣2x+4＝﹣2（x+2）（x﹣1），
当﹣3≤x＜﹣2或1＜x≤3时，h′（x）＜0，
则h（x）在[﹣3，﹣2）和（1，3]上单调递减，
当﹣2＜x＜1时，h′（x）＞0，则h（x）在（﹣2，1）上单调递增，
又，，
，，
因此可得h（x）的图象如图所示，
结合图象，要使y＝a与h（x）的图象在[﹣3，3]上有三个交点，
则实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查对数型复合函数图象的应用，属于难题．
15．（2023秋 昌黎县校级期末）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
【考点】由对数函数的最值求解参数；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）2或．
（2）答案详见解析．
【分析】（1）已知函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集．
【解答】解：（1）因为y＝logax在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2或．
（2）因为函数是（0，+∞）上的减函数，
所以，即，
当a＞1时，，原不等式解集为．
当0＜a＜1时，，原不等式解集为 ．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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