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预习衔接.夯实基础 直线和圆的方程
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南海区期中）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（　　）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
3．（2024秋 南阳期中）已知直线l1：ax﹣（a﹣6）y+2＝0，直线l2：x+ay+1＝0．若l1∥l2，则a＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．2或﹣3
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（　　）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（　　）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
（多选）7．（2024秋 黄冈期中）已知直线l：kx﹣y+2＝0和圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列选项正确的是（　　）
A．直线l恒过点（0，2）
B．直线l与圆M相交
C．圆M与圆C：x2+y2＝1有三条公切线
D．直线l被圆M截得的最短弦长为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 启东市期中）过点（1，3）且与直线2x﹣3y＝0平行的直线方程为 　 　．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 　 　．
11．（2024秋 武冈市校级期中）已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，若l1∥l2，则实数a＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 太和县校级期中）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求直线BC的方程及△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
13．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
14．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2）．
（1）求BC边的中垂线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
预习衔接.夯实基础 直线和圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南海区期中）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到|C1C2|＝4＝r1+r2，得到两圆外切．
【解答】解：圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，
圆，故圆心C2（4，0），半径为r2＝3，
则|C1C2|＝4＝r1+r2，
所以圆C1与圆C2的位置关系是外切．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（　　）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
【考点】恒过定点的直线；两点间的距离公式．
【答案】C
【分析】当直线l过点M（4，3）时，求出m的值，可得出d＝0；然后求出直线l所过定点A的作坐标，求出|AM|，分析可知当MA⊥l时，d最大，但此时l不存在，由此可得出d的取值范围．
【解答】解：若直线l过点M（4，3），则4（m+2）+3（m﹣1）﹣3m﹣3＝4m+2＝0，解得，
此时，点M到直线l的距离为d＝0；
由直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，可得m（x+y﹣3）+2x﹣y﹣3＝0，
由，可解得，
即直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0过定点A（2，1），
则，，
当直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0与直线MA垂直时，最大，
此时，直线l的斜率为，m的值不存在，即这样的直线l不存在，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
3．（2024秋 南阳期中）已知直线l1：ax﹣（a﹣6）y+2＝0，直线l2：x+ay+1＝0．若l1∥l2，则a＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．2或﹣3
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据两直线平行的充要条件，可得a的值．
【解答】解：因为l1∥l2，所以a2+a﹣6＝0，且2a≠﹣（a﹣6），
解得a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两条直线平行的充要条件写出关系式，得到a的两个数值，再检验得到结论．
【解答】解：当两条直线平行时，则（a﹣1）×a＝3×2，
∴a2﹣a﹣6＝0，
∴a＝3，a＝﹣2，
当a＝﹣2时，两条直线重合，故舍去，
∴a＝3是直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行的充分必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，解题的关键是正确应用两条直线平行的条件，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（　　）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AC
【分析】A中，求出直线恒过的定点的坐标，判断出A的真假；B中，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，判断出B的真假；C中，由两条直线垂直的充要条件，可得a的值，判断出C的真假；D中，由两条直线平行的充要条件，可得a的值，整理直线l1的方程，由平行线间的距离公式，可得两条直线的距离，判断出D的真假．
【解答】解：A中，直线l1的方程中，令x＝0，可得y，即直线恒过定点（0，），所以A正确；
B中，直线l2的方程中，令x＝0，可得y＝﹣1，所以直线在y轴上的截距为﹣1，所以B不正确；
C中，当l1⊥l2时，则3a+2×4＝0，解得a，所以C正确；
D中，当l1∥l2时，则，解得a，整理直线l1的方程为3x+4y﹣6＝0，
所以两条直线间的距离d2，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，直线恒过定点的坐标的求法，两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（　　）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的性质；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】A中，由a＞0，可得直线的斜率的符号及直线在y轴上的截距的符号，判断出A的真假；B中，写出两条直线平行的充要条件，可得a的值，判断出B的真假；C中，写出两条直线垂直的充要条件，求出a的值，判断出C的真假；D中，整理直线l2的方程，求出直线恒过的定点的坐标，判断出D的真假．
【解答】解：直线l1中，由直线的定义可知，a≠0，
A中，当a＞0，直线的斜率为0，且直线在y轴的截距为0，可知直线l1不过第一象限，所以A正确；
B中，两条直线平行的充要条件为：，解得a，所以B正确；
C中，两条直线垂直时，则，解得a＝﹣3，所以C不正确；
D中，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0整理可得：a（x﹣y）﹣x﹣y﹣4＝0，
令x﹣y＝0，则﹣x﹣y﹣4＝0，
解得x＝y＝﹣2，即直线l2恒过定点（﹣2，﹣2），所以D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，直线恒过定点的求法，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 黄冈期中）已知直线l：kx﹣y+2＝0和圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列选项正确的是（　　）
A．直线l恒过点（0，2）
B．直线l与圆M相交
C．圆M与圆C：x2+y2＝1有三条公切线
D．直线l被圆M截得的最短弦长为
【考点】直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据定点的特征即可求解A；根据定点在圆内判断B；判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C；根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D．
【解答】解：对于选项A，由直线的方程l：kx﹣y+2＝0，当x＝0时，y＝2，可知直线系恒经过定点P（0，2），故选项A正确；
对于选项B，因为直线恒经过定点（0，2），由圆的方程M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，可得圆心M（3，4），半径r1＝4，
满足（0﹣3）2+（2﹣4）2＜16，定点（0，2）在圆内，
所以直线l与圆M相交，故选项B正确；
对于选项C，由直线l：kx﹣y+2＝0，圆C：x2+y2＝1，圆心C（0，0），半径r2＝1，
此时，所以圆M与圆相外切，有三条公切线，故选项C正确；
对于选项D，由，根据圆的性质，可得当直线l和直线PM垂直时，
此时截得的弦长最短，最短弦长为，故选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 启东市期中）过点（1，3）且与直线2x﹣3y＝0平行的直线方程为 　2x﹣3y+7＝0　．
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】2x﹣3y+7＝0．
【分析】设与已知直线平行的直线方程，将点的坐标代入，可得参数的值，进而求出直线的方程．
【解答】解：设与直线2x﹣3y＝0平行的方程为2x﹣3y+c＝0，c≠0，
将点（1，3）代入直线的方程为：2×1﹣3×3+c＝0，
解得c＝7，
即直线的方程为2x﹣3y+7＝0．
故答案为：2x﹣3y+7＝0．
【点评】本题考查与已知直线平行的直线方程的求法，属于基础题．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 　（4，8）　．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（4，8）．
【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解．
【解答】解：点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，
则，解得4＜a＜8，
故正实数a的取值范围是（4，8）．
故答案为：（4，8）．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
10．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 　　．
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：∵A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1），
∴（﹣1，0，1），（﹣1，﹣1，1），
设，的夹角为θ，
则cosθ，
∵θ∈[0，π]，∴sinθ，
∴点B到直线AC的距离为：
d＝||sinθ．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2024秋 武冈市校级期中）已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，若l1∥l2，则实数a＝ 　2　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据题意，由l1∥l2，列出方程组，即可求解．
【解答】解：因为l1∥l2，可得，
即，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 太和县校级期中）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求直线BC的方程及△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
【考点】经过三点的圆的方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣y﹣4＝0，9；
（2）x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0．
【分析】（1）两点式求出直线方程，化为一般式即可；
（2）设出外接圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求出答案．
【解答】（1）直线BC的方程为，化简，得x﹣y﹣4＝0，
点A到直线BC的距离d，
|BC|，
所以△ABC的面积为；
（2）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得，
即，
解得
故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查直线方程、圆的方程的求解，属于基础题．
13．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（2，1）；
（2）x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【分析】（1）由已知结合直线垂直时的斜率关系可求l2的斜率，进而可求直线方程；
（2）由已知对所求直线的截距是否为0进行分类讨论，进而可求．
【解答】解：（1）因为直线l2过点（，0），且l1⊥l2，
所以直线l2的方程为y＝2（x），即2x﹣y﹣3＝0，
联立，解得x＝2，y＝1，
所以直线l1和直线l2的交点坐标为（2，1）；
（2）当直线l3在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为yx，
当直线l3在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线l3过（2，1），
所以1，
所以a，此时直线方程为1，即2x+y﹣5＝0，
综上直线l3的方程为：x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查了直线的交点坐标，直线垂直的斜率关系，直线的截距式方程的应用，属于基础题．
14．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x+2y﹣12＝0；
（2）x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【分析】（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），再结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）根据平行间的距离公式可得两条平行间的距离为3，即可得到l与l1成45°角，再根据两角和与差的正切公式可得直线的斜率，进而求出答案．
【解答】解：（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），
因为直线过P（2，3），
所以1，
所以12，
所以ab≥24，当且仅当即a＝4且b＝6时取等号，△AOB的面积Sab≥12，△AOB面积的最小值为12，
此时直线l的方程为1，即直线l的方程为3x+2y﹣12＝0；
（2）两直线间的距离d3，
又因为，
所以l与l1成45°角，
设所求直线的斜率为k，
所以tan45°＝||，
∴k或k＝﹣7，
∴y﹣3＝﹣7（x﹣2）或y﹣3（x﹣2），
故直线l的方程为：x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2）．
（1）求BC边的中垂线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x﹣5y﹣7＝0；
（2）．
【分析】（1）先求出直线BC的斜率及BC中点坐标；再根据两直线垂直的性质得到BC中垂线所在直线的斜率；最后利用点斜式求出方程，化简即可得出．
（2）先求出直线BC的方程；再利用点到直线距离公式可得点A到直线BC的距离，利用两点间距离公式可得|BC|，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵B（3，﹣3），C（0，2）
∴，BC中点坐标．
∴BC边的中垂线所在直线的方程：，即3x﹣5y﹣7＝0．
故BC边的中垂线所在直线的方程为：3x﹣5y﹣7＝0．
（2）∵B（3，﹣3），，
∴BC边所在直线方程为：，即5x+3y﹣6＝0．
∴点A（﹣5，0）到直线BC的距离为：．
∵B（3，﹣3），C（0，2），
∴，
∴，
故求△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查垂直的性质，属于基础题．
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