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预习衔接.夯实基础 椭圆
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 荔湾区校级期中）点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2024秋 启东市期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　）
A． B． C．m＜﹣3 D．m＞2
3．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆的焦距为2，则C的长轴长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 启东市校级模拟）已知椭圆的一个焦点坐标为（0，﹣2），则实数m的值为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 五华区校级期中）已知P（x0，y0）是椭圆上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，则下列结论正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝8
B．矩轴长为
C．离心率为
D．三角形PF1F2周长为16
（多选）6．（2024秋 寻甸县校级期中）已知椭圆，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是（　　）
A．C的短轴长为
B．△PF1F2的周长为12
C．|PF1|的最小值为3
D．|PF1| |PF2|的最大值为16
（多选）7．（2024秋 青羊区校级期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），经过左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两点，ca，则以下说法正确的是（　　）
A．△ABF2的周长为4b
B．△ABF2的面积的最大值为b2
C．记A关于坐标原点O的对称点为A'，则|kBA′﹣kBA|min＝1
D．若M为AB的中点，则M的轨迹方程为4y2+x2bx＝0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：以及圆Γ2：x2+y2＝4，若点A、B分别在Γ1、Γ2上，点C满足，则的最小值为 　 　．
9．（2024秋 温江区校级期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 　 　．
10．（2024秋 寻甸县校级期中）法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆C：的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 　 　．
11．（2024秋 大理市校级期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 重庆期中）已知椭圆E：的长轴长为，且点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E相交于不同的两点P和Q，当时，求实数k的值．
13．（2024秋 上城区校级期中）已知椭圆的一个焦点为F（2，0），且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，若AB中点为M，求kOM．
14．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
15．（2024 海淀区校级三模）已知椭圆C：的左焦点为，且点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知M（﹣1，0），N（1，0），点P为椭圆C上一点．
（i）若点P在第一象限内，NP延长线交y轴于点Q，△ONP与△MPQ的面积之比为1：2，求点P坐标；
（ii）设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D．设，，求证：当点P在椭圆C上运动时，λ1+λ2为定值．
预习衔接.夯实基础 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 荔湾区校级期中）点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】椭圆的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程求出a，b，c，由椭圆的定义可求出|PF1|+|F1F2|+|PF2|＝2a+2c，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标．
【解答】解：由，得，
所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|＝2a+2c＝8+6＝14，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为，
所以，得．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
2．（2024秋 启东市期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　）
A． B． C．m＜﹣3 D．m＞2
【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合椭圆的性质，列出不等式，即可求解．
【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则3+m＞2﹣m＞0，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
3．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆的焦距为2，则C的长轴长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的长短轴．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】只需根据已知求得m即可得解．
【解答】解：由题可得：，
从而C的长轴长为．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，属于基础题．
4．（2024 启东市校级模拟）已知椭圆的一个焦点坐标为（0，﹣2），则实数m的值为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先确定焦点位置，再根据c2＝a2﹣b2计算即可．
【解答】解：由已知可得椭圆的焦点在y轴上，
故a2＝m，b2＝5，c＝2，
则c2＝a2﹣b2＝m﹣5＝4，
得m＝9．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 五华区校级期中）已知P（x0，y0）是椭圆上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，则下列结论正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝8
B．矩轴长为
C．离心率为
D．三角形PF1F2周长为16
【考点】求椭圆的离心率；椭圆的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据椭圆的性质逐项判断即可．
【解答】解：P（x0，y0）是椭圆上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，
则a＝4，b，c3，
故|PF1|+|PF2|＝2a＝8，A对，
短轴长为2b＝2，B对，
离心率为：，C对；
三角形PF1F2周长为：|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝14，D错．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 寻甸县校级期中）已知椭圆，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是（　　）
A．C的短轴长为
B．△PF1F2的周长为12
C．|PF1|的最小值为3
D．|PF1| |PF2|的最大值为16
【考点】椭圆的焦点三角形；椭圆的定义；椭圆的长短轴．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义及基本不等式的应用逐一判断．
【解答】解：已知椭圆C：，
则a＝4，，，
对于A：短轴长为，
故A错误；
对于B：△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝12，
故B正确；
对于C：|PF1|的最小值为a﹣c＝2，
故C错误；
对于D：，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属基础题．
（多选）7．（2024秋 青羊区校级期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），经过左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两点，ca，则以下说法正确的是（　　）
A．△ABF2的周长为4b
B．△ABF2的面积的最大值为b2
C．记A关于坐标原点O的对称点为A'，则|kBA′﹣kBA|min＝1
D．若M为AB的中点，则M的轨迹方程为4y2+x2bx＝0
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意，利用椭圆的性质进行逐项分析，进而可解．
【解答】解：因为ca，
所以b，
即a＝2b，
易知△ABF2的周长为4a，
所以△ABF2的周长为8b，故选项A错误；
易知椭圆方程为，
设直线AB的方程为x＝myb，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，故选项B错误；
因为（）max，故选项B正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则A′（﹣x1，﹣y1），
此时，
两式相减得，
即，
因为e，
所以kBA′ kBA，
此时|kBA′﹣kBA|＝|kBA|＝|kBA|≥21，故选项C正确；
设M（x，y），
此时x，y，
所以kOM，
因为，
所以kOM kAB，
又kAB，
即，x≠0且xb，
整理得，
此时点（b，0）或（0，0）均满足条件，
则M的轨迹方程为4y2+x2bx＝0，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查轨迹方程以及椭圆的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：以及圆Γ2：x2+y2＝4，若点A、B分别在Γ1、Γ2上，点C满足，则的最小值为 　　．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由得到，再由，结合函数单调性即可求解．
【解答】解：设O为坐标原点，
因为A、B分别在Γ1、Γ2上，
所以4≤|AO|≤5，
又圆Γ2：x2+y2＝4的半径为2，
结合图象可知，2≤|BA|≤3，
因为，
所以，
所以0＜cosB≤1，
且，
由，
所以，
即，
所以，
因为4≤|BA|2≤9，
易知函数在（1，+∞）上单调递增，
所以y在|BA|2＝4时，取得最小值，
所以，当B＝0°，|BA|＝2时，取得最小值，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量模长问题，重点考查了利用基本不等式或对勾函数求最值问题，属中档题．
9．（2024秋 温江区校级期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率．
【解答】解：椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，所以，所以，
设A（0，b），F（c，0），设直线，
点B在直线AF上，所以，
点B在椭圆上，可得，
所以，即得．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
10．（2024秋 寻甸县校级期中）法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆C：的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 　x2+y2＝7　．
【考点】椭圆的几何特征；由椭圆的离心率求解方程或参数．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】x2+y2＝7．
【分析】根据已知求得椭圆方程中的a和b，进而求解结论．
【解答】解：椭圆C：的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，
所以a＝2且，解得c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以，
故答案为：x2+y2＝7．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
11．（2024秋 大理市校级期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 　　．
【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解．
【解答】解：方程表示焦点在x轴上的椭圆，
则，解得，
故实数k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 重庆期中）已知椭圆E：的长轴长为，且点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E相交于不同的两点P和Q，当时，求实数k的值．
【考点】椭圆的弦及弦长；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）k＝±1．
【分析】（1）根据题意，列方程组求出a，b，即可得解；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得，，然后代入弦长公式即可求解．
【解答】解：（1）由题可得：，解得：，
所以椭圆E的方程为：；
（2）由题，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，化简得：，
则Δ＝72k2﹣12（1+3k2）＞0，即，
则，，
所以
，
化简得：9k4+6k2﹣15＝0，
解得：k2＝1或，
所以k＝±1，满足，
即k的值为±1．
【点评】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
13．（2024秋 上城区校级期中）已知椭圆的一个焦点为F（2，0），且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，若AB中点为M，求kOM．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；根据椭圆上的点求椭圆的标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据椭圆的性质列方程，然后解方程得到a2，b2，即可得到椭圆方程；
（2）根据直线l的斜率得到，然后利用点差法求OM的斜率即可．
【解答】解：（1）由题意得c＝2，a2﹣b2＝c2，，
解得：a2＝8，b2＝4，
所以椭圆C得方程为：；
（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
因为直线l的方程为y＝x+m，所以，
由题意得，
两式相减得，
整理得，则，
所以kOM．
【点评】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
14．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；
（2）①联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出2m2＝3+4k2，表示出△AOB的面积并化简可证明△AOB的面积为定值；
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出4m2＝3+4k2，与2m2＝3+4k2矛盾，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意知，焦距2c＝2，故c＝1，
又，故a＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
故椭圆C的方程为．
（2）①证明：由消去y，化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则Δ＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝48（4k2﹣m2+3）＞0，
，，
故，
因为，
所以2m2＝3+4k2，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以△AOB的面积为，
故△AOB的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设P（x0，y0），则，
又因为，即，得4m2＝3+4k2，
与2m2＝3+4k2矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2024 海淀区校级三模）已知椭圆C：的左焦点为，且点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知M（﹣1，0），N（1，0），点P为椭圆C上一点．
（i）若点P在第一象限内，NP延长线交y轴于点Q，△ONP与△MPQ的面积之比为1：2，求点P坐标；
（ii）设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D．设，，求证：当点P在椭圆C上运动时，λ1+λ2为定值．
【考点】椭圆与平面向量．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）P（，）；（ii）λ1+λ2为定值，证明过程请见解答．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，列方程组求解即可；
（Ⅱ）（i）设直线NP的方程为y＝k（x﹣1），k＜0，利用已知条件推出点P是NQ的中点，从而得P（，k），再代入椭圆方程中，求出k的值即可；
（ii）设P（x0，y0），B（x1，y1），D（x2，y2），分别联立直线PM、PN和椭圆的方程，结合韦达定理与平面向量的坐标运算，化简求出λ1+λ2的值即可．
【解答】（Ⅰ）解：由题意知，，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（i）解：由题意知，直线NP的斜率一定存在，设其方程为y＝k（x﹣1），k＜0，
令x＝0，则y＝﹣k，即Q（0，﹣k），
设点O到直线NP的距离为h，
因为O是MN的中点，所以点M到直线NP的距离为2h，
又△ONP与△MPQ的面积之比为1：2，
所以，所以PN＝PQ，即点P是NQ的中点，
所以P（，k），
因为点P在椭圆C上，所以，解得k＝±（舍正），
所以P（，）．
（ii）证明：设P（x0，y0），B（x1，y1），D（x2，y2），直线PM的方程为x＝ty﹣1，其中t，则，
联立，得（t2+4）y2﹣2ty﹣3＝0，
所以y0y1，
因为，所以（﹣1﹣x0，﹣y0）＝λ1（x1+1，y1），所以﹣y0＝λ1y1，
所以λ1y0 ，
设直线PN的方程为x＝my+1，其中m，
同理可得，λ2，
所以λ1+λ2 [] [] ，为定值．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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