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预习衔接.夯实基础 双曲线
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西宁期中）下列双曲线中，焦点在y轴上的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 金坛区期中）双曲线x2+my2＝1实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．﹣4
3．（2024秋 东湖区校级期中）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　　）
A．4 B．2 C．3 D．1
4．（2024秋 和平区校级期中）抛物线y2＝2ax（a＞0）上的点M（x0，3）到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，|PQ|＝3，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西山区校级期中）已知双曲线，当双曲线C的离心率最小时（　　）
A．m＝2
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的一个焦点坐标为
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
（多选）6．（2023秋 泸州期末）已知双曲线C的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．焦点F2到l的距离为1
B．若|OP|＝|OF1|，则△F1PF2的面积为1
C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为
D．若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则
（多选）7．（2024春 六盘水期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，经过双曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点（3，﹣1），其左、右焦点分别为F1，F2．若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的方程为x2﹣y2＝8
B．过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C．若PF2⊥PQ，则|PF1| |PF2|＝18
D．若∠F1PF2＝60°，则|PT|
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南昌县校级期中）已知双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为 　 　．
9．（2024秋 赣州期中）已知曲线可以由双曲线绕原点O逆时针旋转得到，则k＝ 　 　．
10．（2024 西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　 　，cos∠F1MF2＝　 　．
11．（2024 回忆版）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 开福区校级期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，E的一条渐近线方程为，且c＝2．
（1）求E的方程；
（2）A，B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C（0，4），求直线AB的斜率的取值范围．
13．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点P（0，4），Q（2，0），直线PQ与双曲线C交于A，B两点，，，求λ1+λ2的值．
14．（2024秋 长宁区校级期中）已知双曲线C的中心在原点，焦点，双曲线过点，且直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A、B两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）k为何值时．
15．（2024春 让胡路区校级期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝|AB|＝4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（4，0）的直线l：x＝my+4，交C的右左两支于D，E两点（异于A，B），
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上．
预习衔接.夯实基础 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西宁期中）下列双曲线中，焦点在y轴上的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的焦点和焦距．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】结合双曲线的性质求解．
【解答】解：根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在y轴上，
选项中其余的双曲线的焦点在x轴上．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属基础题．
2．（2024秋 金坛区期中）双曲线x2+my2＝1实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．﹣4
【考点】双曲线的实轴和虚轴．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】结合双曲线的性质求解．
【解答】解：已知x2+my2＝1为双曲线的方程，
则，
又双曲线x2+my2＝1实轴长是虚轴长的2倍，
则，
即m＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属基础题．
3．（2024秋 东湖区校级期中）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　　）
A．4 B．2 C．3 D．1
【考点】双曲线的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解
【解答】解：F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，
则双曲线的实半轴长为a＝2，
延长F2N交直线MF1于点H，
由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，
又O是F1F2中点，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
4．（2024秋 和平区校级期中）抛物线y2＝2ax（a＞0）上的点M（x0，3）到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，|PQ|＝3，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得a，x0，进而可得A、B坐标，结合双曲线渐近线性质及|PQ|＝3列方程求双曲线参数c，即可得离心率．
【解答】解：由题设得，解得，故C：，
所以A（﹣3，0），B（3，0），渐近线方程为，
设P、Q在上，设直线的倾斜角为α，则，
又，解得，
所以，故，
即c＝6，所以．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线和抛物线的性质，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西山区校级期中）已知双曲线，当双曲线C的离心率最小时（　　）
A．m＝2
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的一个焦点坐标为
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
【考点】求双曲线的焦点和焦距；求双曲线的渐近线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AB
【分析】由重要不等式的应用，结合双曲线的性质求解．
【解答】解：已知双曲线，
则a2＝m，b2＝m2﹣m+4，c2＝a2+b2＝m2+4，
则，
当且仅当m2＝4，即m＝2时取等号，
此时双曲线的方程为，
对于A，当双曲线C的离心率最小时，m＝2，
则A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，
则B正确；
对于C，双曲线的焦点坐标为和，
则C错误；
对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了双曲线的性质，属中档题．
（多选）6．（2023秋 泸州期末）已知双曲线C的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．焦点F2到l的距离为1
B．若|OP|＝|OF1|，则△F1PF2的面积为1
C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为
D．若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A；根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解判断B；由已知可得tan30°，计算可判断C；由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），计算可判断D．
【解答】解：因为F2焦点（c，0）到渐近线x+ay＝0的距离是1，故A正确；
|OP|＝|OF1|时，则PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝90°，
由勾股定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，得4c2＝（||PF1|﹣|PF2||）2﹣2|PF1||PF2|，
所以4c2＝4a2+2|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|＝2b2，
由三角形的面积公式可得b2＝1，故B正确；
若l的倾斜角为30°，则tan30°，则a，所以实轴长为2，故C不正确，
由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），
k1，k2，则k1k2 ，
则由P在椭圆上可得y2＝1，所以，
所以k1k2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）7．（2024春 六盘水期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，经过双曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点（3，﹣1），其左、右焦点分别为F1，F2．若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的方程为x2﹣y2＝8
B．过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C．若PF2⊥PQ，则|PF1| |PF2|＝18
D．若∠F1PF2＝60°，则|PT|
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线上的点求双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点（﹣3，1），即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解．
【解答】解：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得a2＝8，得到双曲线的方程为x2﹣y2＝8，正确；
对于B，如图，
由题知；，所以，
若HP⊥TM，所以，正确；
对于C，记|PF1|＝m，|PF2|＝n，
所以，
又F1F2|＝2c，m﹣n＝2a，得到，
所以，
又，由，得mn＝16，错误；
对于D，因为∠F1PF2＝60°，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由，得mn＝32，
又，得到m2﹣2mn+n2＝32，得到m2+n2＝96，
从而有（m+n）2＝160，得到，
由，
得到，
从而有，解得，正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南昌县校级期中）已知双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为 　　．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得a，b，c的等量关系，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，且，
因为
，
所以，则∠F1F2M＝∠F1MF2，
过M作MH⊥x轴，垂足为H，
由题意知，则，故，
在Rt△MHF1中，，
故，又点M在双曲线上，
则，将b2＝c2﹣a2代入整理得4c4﹣8a2c2+a4＝0，
则4e4﹣8e2+1＝0，解得，又e＞1，得到，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
9．（2024秋 赣州期中）已知曲线可以由双曲线绕原点O逆时针旋转得到，则k＝ 　4　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案．
【解答】解：双曲线，
则a2＝8，即a＝2，
故双曲线的右顶点坐标为，
且双曲线绕点O逆时针旋转得曲线，
又曲线的其中一个顶点坐标为，所以，
解得k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
10．（2024 西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　2　，cos∠F1MF2＝　　．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2；．
【分析】第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到|F2A|＝3|AF1|，从而得到c＝2a，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在△F1NF2与△F1MF2中，得到与cos∠F1MF2，从而得解．
【解答】解：如图，
由题意，知A（﹣a，0），设双曲线C的焦距为2c，则F1（﹣c，0），F2（c，0）．
由，得MF2∥NA，且|MF2|＝4|NA|，
所以|F2A|＝3|AF1|，|MN|＝3|NF1|，所以c+a＝3（c﹣a），即c＝2a，
所以双曲线C的离心率．
连接NF2，设|MF2|＝m，
则．
在△F1NF2和△F1MF2中，由余弦定理的推论，
得，
化简整理，得，
所以在△F1MF2中，由余弦定理的推论，
得．
故答案为：2；．
【点评】本题考查双曲线的性质以及余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（2024 回忆版）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意求出|F1A|，|F2A|，利用双曲线的定义求出a和b2、c，即可求出双曲线C的离心率．
【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A||AB|＝5，
所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；
又x＝c时，y，即|F2A|5，
所以b2＝5a＝20，
所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，
所以双曲线C的离心率为e．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 开福区校级期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，E的一条渐近线方程为，且c＝2．
（1）求E的方程；
（2）A，B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C（0，4），求直线AB的斜率的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）（2，+∞）．
【分析】（1）借助渐近线斜率结合a、b、c间的关系计算即可得解；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立后，可得与x有关一元二次方程，即根据韦达定理列出与横坐标有关的式子，结合中垂线的性质计算可得所设直线方程的斜率与纵截距的具体关系，再利用A、B都在右支上，结合根的判别式计算即可得解．
【解答】解：（1）根据已知得，所以，
因此可得双曲线E的方程为；
（2）根据已知可知直线AB斜率存在且，
令AB：y＝kx+m，B（x2，y2），A（x1，y1），令AB的中点为M，
根据，整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，并且3﹣k2≠0，
所以Δ＝4k2m2+4（3﹣k2）（m2+3）＝12（3+m2﹣k2）＞0，所以m2＞k2﹣3，
根据韦达定理可得，，
因为，
因此M点为，，
根据中垂线性质知kMC kAB＝﹣1，因此，解得：m＝3﹣k2，
根据A，B在双曲线的右支上可得：
，，
那么m＜0，k＞0，所以k2＝3﹣m＞3，
又因为m2＞k2﹣3，所以（3﹣k2）2＞k2﹣3，整理得k4﹣7k2+12＝（k2﹣3）（k2﹣4）＞0，
解得k2＞4或k2＜3，所以k2＞4，所以k＞2．
综上可得，k∈（2，+∞）．
【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．
13．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点P（0，4），Q（2，0），直线PQ与双曲线C交于A，B两点，，，求λ1+λ2的值．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）y．
（2）．
【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线PQ的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得λ1+λ2的值．
【解答】解：（1）在双曲线C：中，，
所以该双曲线的渐近线方程为．
（2）由题意可知，直线PQ的方程为，即y＝﹣2x+4，且，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，可得x2﹣16x+19＝0，Δ＝162﹣4×19＞0，
由韦达定理可得x1+x2＝16，x1x2＝19，
，，且，，
则（2，﹣4）＝λ1（x1﹣2，y1）＝λ2（x2﹣2，y2），所以，λ1（x1﹣2）＝λ2（x2﹣2）＝2，
．
【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．
14．（2024秋 长宁区校级期中）已知双曲线C的中心在原点，焦点，双曲线过点，且直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A、B两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）k为何值时．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）4x2﹣y2＝1；
（2）．
【分析】（1）根据焦点坐标得到c值，再根据双曲线过点可建立关于a、b的方程，求出a，b的值，从而得到双曲线的方程；
（2）由，得到（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝0，联立方程组，结合根与系数的关系，建立关于k的方程，即可求解．
【解答】解：（1）设双曲线方程为，
由题可得，，c2＝a2+b2，
解得：，b2＝1，
所以双曲线的方程为：4x2﹣y2＝1；
（2）由题，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，化简得（4﹣k2）x2﹣2kx﹣2＝0，
则Δ＝（﹣2k）2+4×2（4﹣k2）＞0，解得：，且k≠±2，
所以，，
又（x1，y1），（x2，y2），，
所以x1x2+y1y2＝0，
即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝0，
即，
解得：，
即当时，．
【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
15．（2024春 让胡路区校级期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝|AB|＝4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（4，0）的直线l：x＝my+4，交C的右左两支于D，E两点（异于A，B），
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）；
（ii）证明过程见解析．
【分析】（1）由题意，求出a＝2，设出点P的坐标，根据点P在双曲线上以及斜率公式即可得到b的值，进而可得双曲线的方程；
（2）（i）易知直线l的斜率不为0，设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，列出等式即可求出m的取值范围；
（ii）结合（i）中所得信息，利用韦达定理得到，求出直线AD和BE的方程，将两直线方程联立，求出点Q的横坐标，进而即可得证．
【解答】解：（1）易知A（﹣a，0），B（a，0），
因为|AB|＝2a＝4，
所以a＝2，
设P（m，n），
因为点P在双曲线C上，
所以，
即，
又，
所以b2＝16，
则双曲线C的方程为；
（2）（i）若直线l的斜率为0，
此时直线l与双曲线交于点A，B，不符合题意；
所以直线l的斜率不能为0，
设直线l的方程为x＝my+4，D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，消去x并整理得（4m2﹣1）y2+32my+48＝0，
此时4m2﹣1≠0且Δ＞0，
解得m，
所以m的取值范围为；
（ii）证明：由（i）知，
易知直线AD的方程为，直线BE的方程为，
联立，
可得，
即，
整理得（6y2﹣2y1）x＝4my1y2+4y1+12y2，
则
，
所以点Q的横坐标始终为1．
故点Q在定直线x＝1上．
【点评】本题考查了双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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