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预习衔接.夯实基础 抛物线
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 金坛区期中）过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为120°，则的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024秋 靖远县校级期中）抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 西宁期中）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　）
A． B．2 C． D．3
4．（2024秋 南阳期中）如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C．y＝﹣9 D．y＝﹣3
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 雁塔区校级期中）已知α∈（0，π），方程x2+y2cosα＝1表示的曲线可以是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．两条直线
（多选）6．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
（多选）7．（2024秋 东湖区校级期中）关于曲线E：mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（　　）
A．若曲线E表示两条直线，则m＝0，n＞0或n＝0，m＞0
B．若曲线E表示圆，则m＝n＞0
C．若曲线E表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0
D．若曲线E表示双曲线，则mn＜0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 赣州期中）抛物线的准线方程为 　 　．
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 　 　．
10．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 　 　．
11．（2024 南明区校级一模）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，O为原点，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 雨花区期中）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，6）到焦点F的距离为9．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA⊥MB，求△MAB的面积．
（3）过点Q（2，0）的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．
13．（2024秋 碑林区校级期中）已知动圆P与圆相切，且与圆相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，过点F2作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，记△QMN的面积为S，求S的最大值．
14．（2024 湖南模拟）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty+1表示过点（1，0）的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
（1）若圆是直线族mx+ny＝1（m，n∈R）的包络曲线，求m，n满足的关系式；
（2）若点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
（3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P．已知点C（0，1），若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由．
15．（2024秋 西湖区校级期中）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心的直线交抛物线于圆分别为A、C、D、B（从左到右）．
（1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；
（2）若抛物线和圆只有一个公共点，求p的取值范围；
（3）在（1）的条件下，△AOC，△BOC的面积满足：S△AOC＝4S△BOD，求弦AB的长．
预习衔接.夯实基础 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 金坛区期中）过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为120°，则的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由直线与抛物线的位置关系，结合抛物线的定义求解．
【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，
联立，
消y可得：3x2﹣10x+3＝0，
又点A在第一象限，
则xA＜xB，
则，xB＝3，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
2．（2024秋 靖远县校级期中）抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义，转化距离，利用数形结合，即可求解．
【解答】解：已知抛物线的方程为y2＝8x，
则其焦点坐标为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
设抛物线上的点M到其准线的距离为|MM′|，点M到直线y＝2x+3的距离为|MN|，
由抛物线的定义可知|MM′|＝|MF|，
则|MM′|+|MN|＝|MF|+|MN|，
其最小值为焦点F（2，0）到直线y＝2x+3的距离，
结合点到直线的距离公式可得：，
即抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x+3的距离之和的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
3．（2024秋 西宁期中）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】抛物线的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由抛物线的性质，结合了抛物线的定义求解．
【解答】解：已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，且|BF|＝8，
如图，过点A作准线的垂线，垂足为D，
则|AD|＝|AF|，，
所以，
设|AD|＝|AF|＝m，
则|AB|＝3m，
所以|BF|＝m+3m＝8，
解得|AF|＝m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
4．（2024秋 南阳期中）如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C．y＝﹣9 D．y＝﹣3
【考点】求抛物线的准线方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】设出抛物线的方程，结合图象可得p，即可得其准线方程．
【解答】解：设这条抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），
由吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，宽6m，高1m，
可知B点的坐标为（3，1），所以32＝2p×1，得，
故准线方程为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 雁塔区校级期中）已知α∈（0，π），方程x2+y2cosα＝1表示的曲线可以是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．两条直线
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】设m＝cosα∈（﹣1，1），由m的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案．
【解答】解：令m＝cosα∈（﹣1，1），因此方程可表示为x2+my2＝1（﹣1＜m＜1），
对于选项A，如果使得方程x2+y2cosα＝1表示圆，那么m＝1，不符合题意；
对于选项B，当0＜m＜1时，，方程为，此时为焦点在y轴上的椭圆，符合题意；
对于选项C，当﹣1＜m＜0时，，方程为，此时为焦点在x轴上的双曲线，符合题意；
对于选项D，当m＝0时，方程为x2＝1，解得x＝±1，此时为两条直线，符合题意．
故选：BCD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），
则，
则p＝4，
则抛物线C：y2＝8x，准线方程为x＝﹣2，
则直线的方程为，
设B（x1，y1），A（x2，y2），
联立，
解得，，
所以点，点，
所以，
，
故选项BC正确；
又，
所以tan∠AOF≠tan∠BOF，
故∠AOF≠∠BOF，
故A错误；
因为，
所以，
即为钝角，
所以∠AOB为钝角，
故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
（多选）7．（2024秋 东湖区校级期中）关于曲线E：mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（　　）
A．若曲线E表示两条直线，则m＝0，n＞0或n＝0，m＞0
B．若曲线E表示圆，则m＝n＞0
C．若曲线E表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0
D．若曲线E表示双曲线，则mn＜0
【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据直线、圆、椭圆、双曲线方程的特点及性质逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A，曲线E：mx2+ny2＝1，
若曲线E表示两条直线，则可能有m＝0，n＞0，此时，
或者n＝0，m＞0，此时，故选项A正确；
对于选项B，曲线E：mx2+ny2＝1，曲线E表示圆，则必有m＝n＞0，
此时，曲线E是以原点为圆心，
半径为的圆，故选项B正确；
对于选项C，曲线E：mx2+ny2＝1，若曲线E表示焦点在x轴上的椭圆，
，
若焦点在x轴上，则，
可得0＜m＜n，故C错误；
对于选项D，曲线E：mx2+ny2＝1，若曲线E表示双曲线，
，
此时或，
即mn＜0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，标准方程的判断，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 赣州期中）抛物线的准线方程为 　x＝1　．
【考点】求抛物线的准线方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】x＝1．
【分析】整理抛物线方程为标准方程，结合准线的定义，可得答案．
【解答】解：由可得：y2＝﹣4x，
可得2p＝4，解得p＝2，
所以其准线方程为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题．
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 　3　．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；点到直线的距离公式；抛物线的定义．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再结合点到直线的距离公式，以及数形结合，即可求解．
【解答】解：由题意可得：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），准线l：y＝﹣1，
设动点P直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，
点F到直线l1的距离为，
则d2＝d+1＝|PF|+1，可得d1+d2＝d1+|PF|+1≥d3+1＝3，
当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，
动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
10．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 　　．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得|PF1|，|PF2|，|F1F2|的长，再结合余弦定理，求出a1，a2，c的关系式，从而得到，利用基本不等式，即可得到e1e2的最小值．
【解答】解：如图，
不妨设点P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
又|F1F2|＝2c，
所以由余弦定理可知：，
即，
化简得，
所以，
即，
化简得，
由基本不等式可得，
因为e1e2＞0，所以，
当时，取“＝”．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线定义、方程的应用，属于中档题．
11．（2024 南明区校级一模）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，O为原点，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝　19　．
【考点】抛物线与平面向量．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】19．
【分析】由OD⊥AB，可得kAB＝2，进而求得直线AB方程，与抛物线联立，结合韦达定理得x1+x2＝4p，x1x2＝﹣10p，代入，可解出p，利用抛物线的定义即可求出结果．
【解答】解：因为OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），
kAB kOD＝﹣1，即kAB＝2
所以直线AB的方程为y﹣1＝2（x+2），即y＝2x+5，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得x2﹣4px﹣10p＝0，Δ＝16p2+40p＞0，
x1+x2＝4p，x1x2＝﹣10p，y1y2 25，
因为，
所以x1x2+y1y2＝﹣10p+25＝15，解得p＝1，
y1+y2＝2（x1+x2）+10＝18，
所以|AF|+|BF|＝y1+y2+p＝19．
故答案为：19．
【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 雨花区期中）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，6）到焦点F的距离为9．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA⊥MB，求△MAB的面积．
（3）过点Q（2，0）的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线与平面向量；抛物线的定义．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x2＝12y；
（2）；
（3）存在定点，为常数．
【分析】（1）利用抛物线的定义得，计算出p得抛物线方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出A，B两点坐标，利用求出M点坐标，求出M点到直线l的距离和弦长|AB|，可求△MAB的面积；
（3）设T（x0，y0），C（x3，y3），D（x4，y4），过点Q的直线为y＝k（x﹣2），与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出，求出算式的值与k无关的条件，可得为定值的常数．
【解答】解：（1）由抛物线的定义得，
此时，
解得p＝6．
则抛物线的方程为x2＝12y；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知F（0，3），
所以直线l的方程为．
联立消去x并整理得y2﹣10y+9＝0，
由韦达定理得y1+y2＝10，y1y2＝9，
所以，
不妨取y1＝1，y2＝9，
此时点A，B．
设点M（t，﹣3），
可得，，
所以，
解得．
即，
又点M到直线l的距离，
所以，
则△MAB的面积；
（3）设T（x0，y0），C（x3，y3），D（x4，y4），过点Q的直线为 y＝k（x﹣2），
联立，消去y并整理得x2﹣12kx+24k＝0，
由韦达定理得x3+x4＝12k，x3x4＝24k，
同理，消去x并整理得y2+（4k﹣12k2）y+4k2＝0，由韦达定理得，
要使与k无关，
则24﹣12x0+4y0＝0且4﹣12y0＝0，
所以，．
故存在，此时为定值，定值为．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 碑林区校级期中）已知动圆P与圆相切，且与圆相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，过点F2作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，记△QMN的面积为S，求S的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由题意，可得|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，所以圆心P的轨迹是以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程；
（2）由题意可得△QMN等于△OMN的面积，设直线MN的方程为x＝my+3，联立椭圆方程，结合韦达定理可得，令，则可由基本不等式求出S的最大值．
【解答】解：（1）因为F1（﹣3，0），F2（3，0），圆F1半径为9，圆F2半径为1，
不妨设动圆圆心P（x，y），半径为r，
由于动圆P与圆F1相切，且与圆F2相内切，
所以动圆P与圆F1只能内切，
此时，
所以|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，
则圆心P的轨迹是以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点，实轴长为8的椭圆，
可得2a＝8，2c＝6，
解得a＝4，c＝3，
又b2＝a2﹣c2＝7，
则曲线C的方程为；
（2）因为OQ∥MN，
所以△QMN等于△OMN的面积，
即△OMN的面积为S，
不妨设直线MN的方程为x＝my+3，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，
由韦达定理得，，
所以，
不妨令，t≥1，
此时m2＝t2﹣1，
所以，
当且仅当，即，时，S取最大值．
综上，当时，△QMN的面积S取得最大值为．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
14．（2024 湖南模拟）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty+1表示过点（1，0）的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
（1）若圆是直线族mx+ny＝1（m，n∈R）的包络曲线，求m，n满足的关系式；
（2）若点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
（3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P．已知点C（0，1），若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）m2+n2＝1；
（2），直线族Ω的包络曲线E为；
（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）利用圆心C1（0，0）到直线mx+ny＝1的距离等于1即可求解；
（2）由题可得关于a的一元二次方程：a2+（2x0﹣4）a+（4+4y0﹣4x0）＝0无解，利用判别式即可求解y0的取值范围，然后猜测直线族Ω的包络曲线E为并证明即可；
（3）利用导数的几何意义和抛物线的下载即可判断．
【解答】解：（1）由定义可知，mx+ny＝1与x2+y2＝1相切，
则圆的圆心C1（0，0）到直线mx+ny＝1的距离等于1，
则，即m2+n2＝1；
（2）点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，
所以无论a取何值时，无解，
将整理成关于a的一元二次方程：a2+（2x0﹣4）a+（4+4y0﹣4x0）＝0，
若该方程无解，则，即，
猜测直线族Ω的包络曲线E为，理由如下：
在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为，即，
令直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0中2a﹣4＝﹣2x1，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意a∈R，（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0都是抛物线在点处的切线，
所以直线族Ω的包络曲线E为；
（3）如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，
因为，又A′（xA，﹣1），C（0，1），
所以，显然，
所以AP⊥A′C，又由抛物线定义得AA′＝AC，
故PA为线段A′C的中垂线，得到PA′＝PC，
即，同理可知，
所以PA′＝PC＝PB′，即，
则，
所以∠PCA＝∠PCB成立．
【点评】本题考查了圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．
15．（2024秋 西湖区校级期中）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心的直线交抛物线于圆分别为A、C、D、B（从左到右）．
（1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；
（2）若抛物线和圆只有一个公共点，求p的取值范围；
（3）在（1）的条件下，△AOC，△BOC的面积满足：S△AOC＝4S△BOD，求弦AB的长．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）x2＝4y；
（2）[1，+∞）；
（3）．
【分析】（1）由圆的方程，结合抛物线的性质求解；
（2）联立圆的方程与抛物线的方程，结合判别式求解；
（3）由直线与抛物线的位置关系，结合三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）由题意可知圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为（0，1），
则，
则p＝2，
即抛物线方程为x2＝4y；
（2）联立，
消x得y2+（2p﹣2）y＝0，
解得y1＝0，y2＝2﹣2p，
因为抛物线和圆恒有公共点（0，0）且y≥0恒成立，
所以令2﹣2p≤0，
得p≥1，
即p的取值范围为[1，+∞）；
（3）设A（x1，y1） B（x2，y2），
直线AB为y＝kx+1，原点O到直线AB的距离为d，
由得x2﹣4kx﹣4＝0，
其中Δ＝（4k）2+16＞0，x1x2＝﹣4，
则，
那么，，
则，
因为|AC| |BD|＝y1y2＝1，
解得|AC|＝2，，
则．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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