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预习衔接.夯实基础 数列的概念
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 平度市期中）已知数列{an}的通项公式为an＝（﹣1）n n，则该数列是（　　）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列
2．（2024秋 金塔县期中）已知数列1，，，，3，…，，…，则该数列的第25项是（　　）
A．7 B． C． D．5
3．（2024秋 东城区校级期中）已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2，…，在an，an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为dn，则（　　）
A．当0＜q＜1时，数列{dn}单调递减
B．当q＞1时，数列{dn}单调递增
C．当d1＞d2时，数列{dn}单调递减
D．当d1＞d2时，数列{dn}单调递增
4．（2024秋 齐齐哈尔期中）若数列{an}的前n项和Sn＝n（n+1），则a6等于（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2024春 淮南期末）数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 兰州期中）下列关于等差数列{an}单调性的结论正确的是（　　）
A．若数列{an}是递增数列，则公差d＞0
B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列
C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递减数列
D．若a2＜a4＜a6，则数列{an}是递增数列
（多选）7．（2024春 余干县校级期中）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．（2024春 喀什市期中）已知数列，2，，2，则下列说法正确的是（　　）
A．此数列的通项公式是
B．8是它的第32项
C．此数列的通项公式是
D．8是它的第4项
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 朝阳区期中）已知数列{an}的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对（A，B）＝ 　 　，使得数列{an}是递增数列．
10．（2024春 海淀区校级期末）已知数列{an}满足a1＝﹣9，nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），设，则bn＝　 　；an的最小值为 　 　．
11．（2023秋 诸暨市期末）数列{an}中，若an+1，a1＝1，则a6等于　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 江西模拟）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3 ），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：（其中θn是正3×2n边形的一条边所对圆心角的一半）
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求证：对于任意正整数依次成等差数列；
（3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由．
13．（2024春 未央区校级期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn．
（1）求P2、P3的值；
（2）探究数列{Pn}的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
14．（2024 顺庆区校级模拟）用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若an＝341，求n．
15．（2024春 青羊区校级期中）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2＝0.3）；
（3）若bn＝n（a1﹣1049），，求数列{cn}的前n项和Sn．
预习衔接.夯实基础 数列的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 平度市期中）已知数列{an}的通项公式为an＝（﹣1）n n，则该数列是（　　）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】利用数列的递推公式列出数列的前几项，结合数列的分类能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}的通项公式为an＝（﹣1）n n，
∴数列{an}为：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，（﹣1）n n，
∴数列{an}为摆动数列．
故选：A．
【点评】本题考查数列的递推公式、数列的分类等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024秋 金塔县期中）已知数列1，，，，3，…，，…，则该数列的第25项是（　　）
A．7 B． C． D．5
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】根据通项公式即可得．
【解答】解：由已知，则7．
故选：A．
【点评】本题考查通项公式，属于基础题．
3．（2024秋 东城区校级期中）已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2，…，在an，an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为dn，则（　　）
A．当0＜q＜1时，数列{dn}单调递减
B．当q＞1时，数列{dn}单调递增
C．当d1＞d2时，数列{dn}单调递减
D．当d1＞d2时，数列{dn}单调递增
【考点】数列的单调性．
【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】D
【分析】由等差数列得，然后在0＜q＜1或q＞1分别确定{dn}的单调性判断AB，进行讨论判断各选项．再由d1＜d2或d1＞d2确定q的范围，从而确定{dn}的单调性判断CD．
【解答】解：数列{an}是各项为正数的等比数列，则公比为q＞0，
由题意an+1＝an+（n+1）dn，得，
0＜q＜1时，dn＜0，有，dn+1＞dn，数列{dn}单调递增，A选项错误；
q＞1时，dn＞0，，若数列{dn}单调递增，则，即，
由n∈N*需要，故B选项错误；
d1＞d2时，，解得，
q＞1时，dn＞0，由，若数列{dn}单调递减，则．
即，而不能满足恒成立，C选项错误；
d1＜d2时，，解得0＜q＜1或，
由AB选项的解析可知，数列{dn}单调递增，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查数列综合应用，属于中档题．
4．（2024秋 齐齐哈尔期中）若数列{an}的前n项和Sn＝n（n+1），则a6等于（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】方程思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】C
【分析】根据an与Sn关系求解即可．
【解答】解：a6＝S6﹣S5＝6×7﹣5×6＝12．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式，属于基础题．
5．（2024春 淮南期末）数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学抽象．
【答案】B
【分析】结合数列各项的规律检验各选项即可判断．
【解答】解：结合选项可知，当n＝1时，A，C，D与已知显然不符合；
故﹣2，，…的通项公式可以为（﹣1）n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由数列项的特点求解数列通项公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 兰州期中）下列关于等差数列{an}单调性的结论正确的是（　　）
A．若数列{an}是递增数列，则公差d＞0
B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列
C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递减数列
D．若a2＜a4＜a6，则数列{an}是递增数列
【考点】数列的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由等差数列的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数列{an}是递增数列，则an+1﹣an＞0，即公差d＞0，故A正确；
对于B，若公差d≠0，则d＞0或d＜0，
当d＞0时，{an}是递增数列，当d＜0时，{an}是递减数列，
则数列{an}一定是递增数列或者递减数列，故B正确；
对于C，若a1＜a2＜a3，因为数列{an}是等差数列，
则a2﹣a1＝a3﹣a2＝d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；
对于D，若a2＜a4＜a6，因为数列{an}是等差数列，
则a4﹣a2＝a6﹣a4＝2d＞0，即d＞0，所以数列{an}是递增数列，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
（多选）7．（2024春 余干县校级期中）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得．
【解答】解：对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，A是；
对于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，B是；
对于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，C是；
对于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合题意，D不是．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
（多选）8．（2024春 喀什市期中）已知数列，2，，2，则下列说法正确的是（　　）
A．此数列的通项公式是
B．8是它的第32项
C．此数列的通项公式是
D．8是它的第4项
【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解．
【解答】解：数列，2，，2，即，，，，…，
则此数列的通项公式为，故A正确，C错误，
令，解得n＝32，
故8是它的第32项，故B正确，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 朝阳区期中）已知数列{an}的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对（A，B）＝ 　（1，0）（答案不唯一，只要A＞0即可）　，使得数列{an}是递增数列．
【考点】数列的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1，0）（答案不唯一，只要A＞0即可）．
【分析】先利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），然后研究an的单调性求解．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝A+B，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2An﹣A+B，
要使{an}为单调递增数列，只需 ，
解得A＞0，B∈R，可取（A，B）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）（答案不唯一，只要A＞0即可）．
【点评】本题考查数列和与通项的关系，数列单调性的判断及应用，属于基础题．
10．（2024春 海淀区校级期末）已知数列{an}满足a1＝﹣9，nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），设，则bn＝　2n　；an的最小值为 　﹣15　．
【考点】数列的函数特性．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】2n；﹣15．
【分析】结合已知递推关系构造等差数列，结合等差数列的通项公式求出bn，进而可求an，然后结合二次函数的性质即可求解an的最小值．
【解答】解：因为 且nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），
所以，
又因为b1＝a1＝﹣9，所以数列{bn}是以﹣9为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，
所以an＝n（2n﹣11）＝2n2﹣11n，
结合二次函数的性质可知，f（x）＝2x2﹣11x的开口向上，对称轴为x∈（2，3），
因为n为正整数，
当n＝3时，an取得最小值﹣15．
故答案为：2n；﹣15．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系及等差数列通项公式的应用，还考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
11．（2023秋 诸暨市期末）数列{an}中，若an+1，a1＝1，则a6等于　　．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据递推公式代值计算即可．
【解答】解：∵an+1，a1＝1，
∴a2，
a3，
a4，
a5，
a6，
故答案为：
【点评】本题考查了数列的递推公式，正确代值计算是关键，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 江西模拟）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3 ），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：（其中θn是正3×2n边形的一条边所对圆心角的一半）
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求证：对于任意正整数依次成等差数列；
（3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由．
【考点】由实际问题归纳出数列的通项．
【专题】新定义；探究型；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学抽象；逻辑思维；数学建模．
【答案】（1）；（2）证明见解答；（3）能，理由见解答．
【分析】由题意及θn＝2θn+1，结合三角函数的公式运用，利用等差中项法、等比中项法证明数列是等差数列，等比数列．
【解答】解：（1）如图，等腰三角形OAB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝2θn，
所以，即；
（2）证明：因为，，
所以，θn＝2θn+1，
所以
，
故对于任意正整数依次成等差数列．
（3）因为，，
所以，，
所以（3×2n+1sinθn+1）2＝9×22n+2sin2θn+1，
an+1bn＝3×2n+1tanθn+1×3×2nsinθn＝9×22n+1tanθn+1sin2θn+1
＝9×22n+12sinθn+1cosθn+1＝9×22n+2sin2θn+1；
即an+1bn；
所以，对任意正整数n，bn、bn+1、an+1能构成等比数列．
【点评】本题考查了运用等差中项法、等比中项法证明数列问题，结合三角函数的公式，属于中档题．
13．（2024春 未央区校级期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn．
（1）求P2、P3的值；
（2）探究数列{Pn}的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【考点】数列的函数特性；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）．
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意所给的抽奖概率进行求解即可．
（2）先求出Pn再根据n的不同情况进行分析即可．
【解答】（1）记该顾客第i（i∈N*）次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，，
同理 ．
（2）因为，，Pn＝P（An），
所以
所以，所以，
又因为，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
证明：当n为奇数时，，当n为偶数时，，则Pn随着n的增大而减小，
所以，，
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
【点评】本题考查了数列的函数特性，属于基础题．
14．（2024 顺庆区校级模拟）用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若an＝341，求n．
【考点】数列的函数特性；数列的应用．
【专题】等差数列与等比数列．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意写出数列{an}的前8项，即可得到这个数列的第8项的值．
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，根据分步计数原理，求得结果．
（3）比an＝341小的数有两类：①百位上是1或2的；②百位上是3且十位上是1或2或3的，根据分类计数原理，
把这两类数的个数相加后再加上1，即得n的值．
【解答】解：（1）由题意可得，数列{an}的前8项分别为：111，112，113，114，121，122，123，124，
故这个数列的第8项为124．（3分）
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，
根据分步计数原理，共有4×4×4＝64项．（6分）
（3）比an＝341小的数有两类：①百位上是1或2的，共有2×4×4＝32（个）；
②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有1×3×4＝12（个）．
再根据分类计数原理可得，比an＝341小的数有 32+12＝44 （个）．
∴所求的n＝44+1＝45．（10分）
【点评】本题主要考查数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
15．（2024春 青羊区校级期中）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2＝0.3）；
（3）若bn＝n（a1﹣1049），，求数列{cn}的前n项和Sn．
【考点】由实际问题归纳出数列的通项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）；（2）12年；（3）Sn．
【分析】（1）由题意可得anan﹣1﹣200（n≥2），推得数列{an﹣800}是首项为a1﹣800＝250，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式可得所求；
（2）令an≥4000，结合对数的运算性质，可得所求值；
（3）求得bn＝n，，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）由1000×（1+25%）﹣200＝1050，可得a1＝1050，
第n年后，资金为，
即有，
所以数列{an﹣800}是首项为a1﹣800＝250，公比为的等比数列．
所以，即，
（2），即为，
得，即，即至少要12年．
（3）bn＝n，，
则．
【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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