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预习衔接.夯实基础 导数的运算
一．选择题（共4小题）
1．（2024 安宁区校级模拟）已知0＜x1＜x2＜x3＜4π，函数f（x）＝sinx在点（xi，sinxi）（i＝1，2，3）处的切线均经过坐标原点，则（　　）
A．
B．
C．x1+x3＜2x2
D．x1+x3＞2x2
2．（2023秋 滨州期末）若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（　　）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
4．（2024春 合肥期末）已知直线y＝ax+b（a∈R，b＞0）是曲线f（x）＝ex与曲线g（x）＝lnx+2的公切线，则a+b等于（　　）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 青羊区校级期中）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．若a＝1，则曲线f（x）在（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0
B．若f（x）＜0当且仅当x∈（0，1），则a的取值范围（﹣∞，2）
C．
D．若函数有三个零点为x1，x2，x3，则ax1x2x3的取值范围（2，+∞）
（多选）6．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（　　）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
（多选）7．（2024秋 牡丹江期中）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（x），g（x）的图象与直线l1：y＝a1x+b1分别切于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），与直线l2：y＝a2x+b2分别切于点C，D，且l1，l2相交于点P（x0，y0），则（　　）
A．x1﹣lnx2＝0
B．
C．a1＞2﹣a2
D．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 　 　．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ 　 　．
10．（2024秋 绍兴期中）若曲线y＝elnx在点（e，e）处的切线与圆（x﹣a）2+y2＝1相切，则a＝ 　 　．
11．（2024秋 和平区校级期中）已知函数f（x）为偶函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y+1＝0，记f（x）的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区期中）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小；
（2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程．
13．（2024秋 赣州期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c是偶函数，且经过点（1，7），（3，﹣1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）设曲线y＝f（x）在点（t，f（t））处的切线与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求S△OAB的最小值．
14．（2024 浦东新区校级模拟）设函数y＝f（x）的定义域为开区间I，若存在x0∈I，使得y＝f（x）在x＝x0处的切线l与y＝f（x）的图像只有唯一的公共点，则称y＝f（x）为“L函数”，切线l为一条“L切线”．
（1）判断y＝x﹣1是否是函数y＝lnx的一条“L切线”，并说明理由；
（2）设g（x）＝e2x﹣6x，求证：y＝g（x）存在无穷多条“L切线”；
（3）设f（x）＝x3+ax2+1（0＜x＜c），求证：对任意实数a和正数c，y＝f（x）都是“L函数”．
15．（2024秋 大连期中）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程．
预习衔接.夯实基础 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 安宁区校级模拟）已知0＜x1＜x2＜x3＜4π，函数f（x）＝sinx在点（xi，sinxi）（i＝1，2，3）处的切线均经过坐标原点，则（　　）
A．
B．
C．x1+x3＜2x2
D．x1+x3＞2x2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；直观想象；运算求解．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出曲线f（x）在点（x1，sinx1），（x2，sinx2），（x3，sinx3）处的切线方程，由即可判断AB；画出函数y＝tanx与y＝x图象，由kAD＜kEC，可得，化简计算即可判断CD．
【解答】解：由题意知，f′（x）＝cosx，则f′（x1）＝cosx1，f′（x2）＝cosx2，f′（x3）＝cosx3，
所以曲线f（x）在点（x1，sinx1），（x2，sinx2），（x3，sinx3）处的切线方程分别为，
y﹣sinx1＝cosx1（x﹣x1），y﹣sinx2＝cosx2（x﹣x2），y﹣sinx3＝cosx3（x﹣x3），
因为切线均过原点，所以sinx1＝x1cosx1，sinx2＝x2cosx2，sinx3＝x3cosx3，
即x1＝tanx1，x2＝tanx2，x3＝tanx3，所以，故AB错误；
由，得tanxi＝xi（i＝1，2，3），画出函数y＝tanx与y＝x图象，如图，
设A（x1，tanx1），B（x2，tanx2），C（x3，tanx3），
如上图易知，D（x2﹣π，tanx2），E（x2+π，tanx2），
由正切函数图象性质kAD＜kEC，得，
即，又x2﹣π﹣x1＞0，x3﹣x2﹣π＞0，
所以（x2﹣x1）（x3﹣π﹣x2）＜（x3﹣x2）（x2﹣π﹣x1），
即x1π+x3π＜2πx2，解得x1+x3＜2x2，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了数形结合思想，属中档题．
2．（2023秋 滨州期末）若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，以及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：直线l：x+y﹣6＝0，
则直线l的斜率为﹣1，
y＝lnx﹣x2，
则y'，
令，解得x＝1（负值舍去），
当x＝1时，y＝﹣1，
故平行于直线l：x+y﹣6＝0且与直线y＝lnx﹣x2相切的切点坐标为（1，﹣1），
所以点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为：．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于中档题．
3．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（　　）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】B
【分析】令F（x）＝sin2x﹣f（x），可得F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．可得f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案．
【解答】解：令F（x）＝sin2x﹣f（x），则F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．
∴f（﹣x）+f（x）＝2sin2x，
∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，
故F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递增，∴F．
即F，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性奇偶性、利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2024春 合肥期末）已知直线y＝ax+b（a∈R，b＞0）是曲线f（x）＝ex与曲线g（x）＝lnx+2的公切线，则a+b等于（　　）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】分别设切点求出各自的切线方程，然后两切线相等求出切点坐标，即可求出a，b的值．
【解答】解：设曲线f（x）＝ex的切点为（m，em），而f′（x）＝ex，
故切线为y﹣em＝em（x﹣m），即y＝em x+em（1﹣m）……①；
设曲线g（x）＝lnx+2的切点为（t，lnt+2），
故切线为，即②，
由题意①②是同一条直线，故，解得t，或1，
当t时，切线为y＝ex，不符合题意，舍去；
当t＝1时，切线为y＝x+1，即a＝b＝1，所以a+b＝2．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义以及公切线的求法，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 青羊区校级期中）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．若a＝1，则曲线f（x）在（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0
B．若f（x）＜0当且仅当x∈（0，1），则a的取值范围（﹣∞，2）
C．
D．若函数有三个零点为x1，x2，x3，则ax1x2x3的取值范围（2，+∞）
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；由函数的零点求解函数或参数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义可判定A，含参讨论函数的单调性结合特例可判定B，利用解析式直接计算可判定C，根据B结合含参讨论函数的单调性得出函数大致图象，结合C，得出零点间关系计算即可．
【解答】解：对于A选项，当a＝1时，，所以f′（1）＝1，
所以f（x）在（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0，所以A选项正确；
对于B选项，因为，所以，其分子的Δ＝a2﹣4，
易知a≤2时，则f′（x）≥0，此时f（x）定义域上单调递增，而f（1）＝0，
即f（x）＜0当且仅当x∈（0，1），所以a≤2，所以B选项错误；
对于C选项，因为，所以C选项正确；
对于D选项，由B选项项分析知：当a＞2时，，
由a＞2可知：，
所以f（x）在和上单调递增，
在上单调递减，
又f（1）＝0，且x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，
作出其大致图象，如下：
不妨设x1＜x2＜x3，可知，
因为f（x1）＝f（x3）＝0，所以由C知，即，
因为，根据函数单调性知，即ax1x2x3＝a，所以D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的性质，导数的综合应用，数形结合思想，属难题．
（多选）6．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（　　）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【解答】解：y，
则y'，故A正确；
y＝2x，
则y'＝2xln2，故B正确；
y＝lnx，
则y'，故C正确；
y＝cos2x，
则y'＝﹣2sin2x，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 牡丹江期中）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（x），g（x）的图象与直线l1：y＝a1x+b1分别切于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），与直线l2：y＝a2x+b2分别切于点C，D，且l1，l2相交于点P（x0，y0），则（　　）
A．x1﹣lnx2＝0
B．
C．a1＞2﹣a2
D．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】根据公切线的有关概念判断x1与x2的关系，可判断A、B选项的真假；
根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；
也可求两条公切线的交点，判断D的真假．
【解答】解：由题意得f'（x）＝ex，，所以，
即，
由，整理得x1＝﹣lnx2，且lnx2≠0，A错误；
把x2，lnx2＝﹣x1，代入，整理得，B正确；
分别作出y＝ex与的图象如下：
两图象有2个交点，所以f（x）图象上的切点有2个，即f（x）与g（x）的公切线有2条．
因为f（x），g（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以点关于直线y＝x的对称点为，a1＝ex，a2＝g′（），
，C正确；
因为直线AB，CD关于直线y＝x对称，则点P就是直线AB与直线y＝x的交点，
直线AB的方程为，与y＝x联立得x，
所以x0＝y0，所以x0+y0＝2 ，
由且x1＞x2可得1＜x1＜2，
设h（x）＝（x﹣1）ex（1＜x＜2），则h'（x）＝xex＞0，所以h（x）＜h（2）＝e2，
所以x0+y0，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查导数综合应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 　3　．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案．
【解答】解：由题意可知，y′＝2x+1，
当x＝1时，y′＝2×1+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ 　4　．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】求导代值即可．
【解答】解：f′（x）＝4x3，∴f′（1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
10．（2024秋 绍兴期中）若曲线y＝elnx在点（e，e）处的切线与圆（x﹣a）2+y2＝1相切，则a＝ 　　．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】利用导数求出曲线y＝elnx在点（e，e）处的切线方程，再由点到直线的距离公式列式求解．
【解答】解：由y＝elnx，得y′，
∴y′|x＝e＝1，可得曲线y＝elnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e＝1×（x﹣e），
即x﹣y＝0．
又曲线y＝elnx在点（e，e）处的切线与圆（x﹣a）2+y2＝1相切，
∴，解得a．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
11．（2024秋 和平区校级期中）已知函数f（x）为偶函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y+1＝0，记f（x）的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知结合导数的几何性质求解即可．
【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（﹣x），
两边求导得，[f（x）]′＝[f（﹣x）]′，则f′（x）＝f′（﹣x） （﹣x），即f′（x）＝﹣f′（﹣x）．
又f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：x﹣2y+1＝0，∴．
可得．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区期中）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小；
（2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；不等式比较大小．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）a2+b2≥2a﹣2b﹣2；（2）6x+y+3＝0．
【分析】（1）应用作差法比较大小；
（2）利用导数几何意义求切线方程．
【解答】解：（1）a2+b2﹣（2a﹣2b﹣2）＝a2+b2﹣2a+2b+2
＝（a2﹣2a+1）+（b2+2b+1）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，
当且仅当a＝1，b＝﹣1时等号成立，
所以a2+b2≥2a﹣2b﹣2；
（2）函数f（x）＝3x2，可得f（x）的导数为f′（x）＝6x，则f′（﹣1）＝﹣6，
因此，曲线y＝3x2在点P（﹣1，3）处的切线斜率为﹣6，
于是，所求切线方程为y﹣3＝﹣6（x+1），即6x+y+3＝0．
【点评】本题考查不等式的性质和导数的运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题．
13．（2024秋 赣州期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c是偶函数，且经过点（1，7），（3，﹣1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）设曲线y＝f（x）在点（t，f（t））处的切线与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求S△OAB的最小值．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）4x+y﹣12＝0；
（2）．
【分析】（1）由题意，根据偶函数及函数经过的点求解函数解析式；利用导数求解切线斜率，进而求解切线方程；
（2）首先借助导数求解切线方程，表示出A、B点的坐标，进而可得三角形面积表达式，然后分t＞0及t＜0两种情况分类讨论，借助导数求解面积的最小值即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝ax2+bx+c，
解得b＝0，
又f（1）＝a+c＝7，f（3）＝9a+c＝﹣1，
解得：a＝﹣1，c＝8，
所以f（x）＝﹣x2+8，
可得f′（x）＝﹣2x．
此时f′（2）＝﹣4，
又f（2）＝4，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4＝﹣4（x﹣2），
即4x+y﹣12＝0；
（2）由（1）知f′（x）＝﹣2x，
所以曲线y＝f（x）在点（t，f（t））处的切线斜率是k＝﹣2t，
又f（t）＝8﹣t2，
所以切线方程为y﹣（8﹣t2）＝﹣2t（x﹣t），
即2tx+y﹣（t2+8）＝0，
此时，
则．
当t＞0时，，
令，
可得，
当0＜x时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；
当x时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
所以；
当t＜0时，，
设，
可得．
当时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；
当时，h′（t）＜0，h（t）单调递减．
所以．
综上所述，当时，S△OAB的最小值为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
14．（2024 浦东新区校级模拟）设函数y＝f（x）的定义域为开区间I，若存在x0∈I，使得y＝f（x）在x＝x0处的切线l与y＝f（x）的图像只有唯一的公共点，则称y＝f（x）为“L函数”，切线l为一条“L切线”．
（1）判断y＝x﹣1是否是函数y＝lnx的一条“L切线”，并说明理由；
（2）设g（x）＝e2x﹣6x，求证：y＝g（x）存在无穷多条“L切线”；
（3）设f（x）＝x3+ax2+1（0＜x＜c），求证：对任意实数a和正数c，y＝f（x）都是“L函数”．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）记f（x）＝lnx，设切点为（x1，lnx1），利用导数的几何意义求出x1，再证明直线y＝x﹣1与f（x）＝lnx的图象只有唯一的公共点，将y＝x﹣1与函数y＝lnx联立，得lnx﹣x+1＝0，记n（x）＝lnx﹣x+1，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点（x2，g（x2））处的切线l的方程与y＝g（x）联立得g（x）﹣g（x2）＝g′（x2）（x﹣x2），记h（x）＝g（x）﹣g（x2）﹣g′（x2）（x﹣x2），利用导数说明函数h（x）存在唯一零点x2，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在（0，c）上有且仅有一解x0，则x0＝﹣2x0﹣a∈（0，c）或，再分a≥0、a＜0两种情况说明即可．
【解答】解：（1）记f（x）＝lnx，则，设切点为（x1，lnx1），
由切线方程为y＝x﹣1知f′（x1）＝1，则，解得x1＝1．
所以切点为（1，0），下面证明直线y＝x﹣1与f（x）＝lnx的图象只有唯一的公共点，
将y＝x﹣1与函数y＝lnx联立，得lnx﹣x+1＝0．
记n（x）＝lnx﹣x+1，则，
当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，
故n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，n（x）max＝n（1）＝0，
故函数n（x）＝lnx﹣x+1只有一个零点x＝1，故y＝x﹣1是一条“L切线”；
（2）证明：因为g（x）＝e2x﹣6x，所以g′（x）＝2e2x﹣6，
则点（x2，g（x2））处的切线l方程为y﹣g（x2）＝g′（x2）（x﹣x2），
将点（x2，g（x2））处的切线l的方程与y＝g（x）联立得g（x）﹣g（x2）＝g′（x2）（x﹣x2），
记h（x）＝g（x）﹣g（x2）﹣g′（x2）（x﹣x2），
则直线l为“L切线” 函数h（x）有且仅有一个零点x2（此时，一个x2对应一条“L切线”），显然x2是h（x）的零点，
故只要h（x）没其它零点，此时，
当x＜x2时，h′′（x）＜0，当x＞x2时，h′（x）＞0，
则h（x）在（﹣∞，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
故此时x2为h（x）唯一的极小值点（也是最小值点），而h（x2）＝0，
故h（x）无其他零点，故直线l为“L切线”，因为x2的任意性，
故函数y＝g（x）存在无穷多条“L切线”，
（3）证明：因为f（x）＝x3+ax2+1（x∈（0，c）），则f′（x）＝3x2+2ax，
设点Q（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，
则点Q的切线为l：y﹣f（x0）＝f′（x0）（x﹣x0），与y＝f（x）联立得：
f（x）﹣f（x0）＝f′（x0）（x﹣x0）
，
由题意得直线l为“L切线”，故方程（*）在（0，c）上有且仅有一解x0，
则x0＝﹣2x0﹣a∈（0，c）或，
若a＜0，则（此时只有一条“L切线”，切点的横坐标为），
或（此时有无数条“L切线”，切点横坐标为（0，c）上的任意值），
若a≥0，则x0∈（0，c）是方程（*）的唯一解（此时有无数条“L切线”，切点横坐标为（0，c）上的任意值）．
综上，a∈R，即证．
【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
15．（2024秋 大连期中）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）9x﹣y﹣26＝0；
（2）3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0．
【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求b，c，再根据导数的几何意义求切线方程．
（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解x0，进而可得结果．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3x2+3bx+c，得f′（x）＝3x2﹣6x+3b，
依题意得，，解得，
可得f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
验证b＝0，c＝1时，f（x）在x＝0处取得极大值1，符合题意．
∴f（3）＝1，f′（3）＝9，即切点坐标为（3，1），切线斜率k＝9，
∴曲线y＝f（x）在（3，f（3））处的切线方程为y﹣1＝9（x﹣3），即9x﹣y﹣26＝0；
（2）由（1）得：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
把点（0，2）代入，
得，
整理得，解得x0＝1或．
所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或，即3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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