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2024-2025 学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = ，其中 为虚数单位，则| | =( )
A. B. 0 C. 1 D. 1
2.如图，某图形的直观图是一个边长为 2 的菱形 ′ ′ ′ ′，则原图形的面积为( )
A. 2 2
B. 4 2
C. 8
D. 8 2
3. 105° =( )
A. 6 2 B. 6+ 24 4 C.
6+ 2 2 6
4 D. 4
4.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有 7 个评委打分，去掉一个最
高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，7
个评委的原始评分分别为：75，80，85，90，85，95，85，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征
数中，发生改变的是( )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数
5.若三点 (2, 3)， (4,3)， (5, )在同一条直线上，则 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
6 1 1.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为3，乙能破译的概率为2，则密码被成功破译的
概率为( )
A. 12 B.
2
3 C.
3
4 D.
5
6
7.如图，在 △ 中， = 3， = 2， 是 边上靠近点 的三等分点， 是 的中点， 与 交于
点 ，cos∠ =( )
A. 6565
B. 2 6565
C. 1313
D. 2 1313
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8.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面
上 ， 两点与点 在同一条直线上，且在点 的同侧.若小明同学在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角
为 60°和 20°，且 = 米，则该球体建筑物的高度为( )米．
A. 10° 10°4 10 B. 2 10 C. 2 40 D. 40
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A.若 ， ，则 、 是异面直线 B.若 // ， ， ，则 //
C.若 // ， ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
10.如图是函数 ( ) = 2 (3 + )的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 点 的坐标为( 3 , 0)
B. 的一个可能值是4
C. 将函数 ( )的图象向右平移12个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D. ( 7 15 ) < ( )
11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在 19 世纪 30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但
在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．
群的定义如下：设 是一个非空集合，“ ”是 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①封闭性：对任意的 ， ∈ ，有 ∈ ；
②结合律成立：对任意的 ， ， ∈ ，有( ) = ( )；
③单位元存在：存在 ∈ ，使得对任意的 ∈ ，有 = = ， 称为单位元；
④逆元存在：对任意的 ∈ ，存在 ∈ ，使 = = ，称 与 互为逆元．
则称 关于“ ”新构成一个群.则下列结论正确的有( )
A.自然数集 关于数的加法构成群
B.某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群
C. = { 1,1, , }( 为虚数单位)关于复数的乘法构成群
D. = { + 2 | , ∈ , ≠ 0}关于数的乘法构成群
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1+2 .计算 =______．
13 .在△ 中， ， ， 分别三个内角 ， ， 的对边， = 3， = 4，若该三角形有两个解，则边 长的
取值范围为______．
14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3，6，侧棱长为 2，则该三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知 1 2 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，其中 ， ∈ ．
(1)求 、 的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根．
16.(本小题 15 分)
某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了 100 名学生进行问卷测试，将这 100 名学生测试的得分按
[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]分成 5 组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩
在 85 分以上的学生为“优秀”，成绩小于 85 分的学生为“良好”．
(1)求 的值；
(2)估计样本的中位数与平均数；
(3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么恰有一
人是“优秀”的概率是多少？
17.(本小题 15 分)
在△ 中， = 2， = 3， = 45°．
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(1)求 的值；
(2)取一点 ，使得 = 2 ，求点 到直线 的距离．
18.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥底面 ， = ， 为线段 的中点， 为
线段 上的动点．
(1)当 为线段 的中点时，
( )求证： ⊥平面 ；
( )求二面角 的余弦值；
(2) 在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ，若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
如图，圆 的半径为 2．
(1)设 为圆 的一条弦，如图①，当∠ = 60°时，
( )当 取何值时，| |取得最小值，并求出此最小值；
( )设 是圆 上的一动点，求 的最大值；
(2)设 、 为圆 的两条弦，如图②，已知∠ = 60°，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.(2 3, 4)
14.112
15.(1)因为 1 2 为方程 2 + + = 0 的一个根，
所以(1 2 )2 + (1 2 ) + = 0，
整理得(1 4 + + ) + ( 4 2 ) = 0，
1 4 + + = 0
所以 4 2 = 0 ，
= 2
解得 = 5 ；
(2)因为 = 2， = 5，
所以 2 2 + 5 = 0，
配方得( 1)2 = 4，
解得 1 = 1 2 或 2 = 1 + 2 ，
所以原方程的另一根为 1 + 2 ．
16.(1)由频率分布直方图的性质，可得( + 3 + 3 + 2 + ) × 5 = 1，解得 = 0.02．
(2)设样本的中位数为 ，
因为(0.02 + 0.06) × 5 = 0.4 < 0.5，0.4 + 0.06 × 5 = 0.7 > 0.5，所以 85 < < 90，
260
则 0.4 + ( 85) × 0.06 = 0.5，解得 = 3 ，
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260
所以样本中位数的估计值为 3 ；

由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得 = 77.5 × 0.1 + 82.5 × 0.3 + 87.5 × 0.3 + 92.5 × 0.2 +
97.5 × 0.1 = 87．
(3)由题意，测试成绩良好的人数为 100 × (0.1 + 0.3) = 40，
优秀的人数为 100 × (0.1 + 0.2 + 0.3) = 60，
成绩优秀与良好的人数比为 3：2，采用分层抽样的方法抽取的 5 人中优秀 3 人，良好 2 人，
记“从这 5 人中选 2 人恰有 1 人是优秀”为事件 ，
将优秀的三名学生记为 ， ， ，考试成绩良好的两名学生记为 ， ，
从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 个基本事件，
事件 包含的情况是： ， ， ， ， ， ，共 6 个，
所以恰有一人是“优秀”的概率 ( ) = 610 =
3
5．
17.(1)过点 作 ⊥ ，垂足为 ．
在 △ 中，因为 = 2， = 45°，
所以 = = 2 ．2 × 2 = 1
因为 = 3，所以 = = 3 1 = 2，
在 △ 中，由勾股定理可得： = 2 + 2 = 1+ 4 = 5，
所以 = 1 5． = 5 = 5
(2)因为 = 2 ，
所以点 为 靠近点 的三等分点，
所以 = 2， = 1．
过 作 ⊥ ，交 的延长线于 ，
所以 即为点 到直线 的距离．
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在△ 中，由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 = 2 + 4 2 × 2 × 2 × 2 = 2，2
因为 = 2， = 2，所以 2 = 4 = 2 + 2，所以∠ = 90° = ∠ ，
2
又因为∠ = ∠ ，所以△ ∽△ ，所以 = = 1，
所以 = 1 = 2，所以点 到直线 的距离为 2．2 2 2
18.(1)(ⅰ)证明：∵ ⊥底面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵底面 为正方形，∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ = ， 为线段 的中点，∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(ⅱ)如图所示，取 的中点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
∵ 为△ 的中位线，∴ // ，
∵ ⊥底面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
所以∠ 即为二面角 的平面角，
设 = = 2，则 = = 1， = 2 + 2 = 5，
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由△ ∽△ ，
= 1可得 ，即 5 =

1 ，
解得 = 5，5
在直角△ 中， = 2 + 2 = 30，5
∴ cos∠ = = 6． 6
∴二面角 的余弦值为 6；
6
(2)如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，
假设在线段 上存在点 ，使得 / /平面 ，
∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴由线面平行的性质定理可知 // ，
∴ △ = 在 中，有 ，
∵△ ∽△ ，∴ =

= 2，

则 = 2，
∴ 假设成立，即在 上存在点 ，使得 / /平面 ，此时 = 2．
19.解：(1)(ⅰ)设 = ，即 为直线 上某一点，则 = =
，
要使| |取得最小值，即| |最小，则此时只需 ⊥ ，
⊥ = 1 = 1过点 作 ′ 于点 ′，则 ′ 2 ，即 2，
3
因为∠ = 60°，所以 ′ = 2 × 2 = 3，
所以当 = 1时，| 2 |取得最小值，其最小值为 3．
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(ⅱ)因为∠ = 60°，| | = 2| 1′| = 2 × ( 2 × 2) = 2，
过点 作 ⊥ 于点 ，
= + ， = ( + ) = + = ，
所以 = | | | |或 = | || |，
要使 的最大，则需 ， 同向，且| |最大，此时 与圆 相切，
平移 的垂线 至 ′ ′，使 ′ ′圆 相切，
此时 ′ ⊥ ′ ′， // ′，所以 = ′ + ′ = 1 + 2 = 3，
( ) = | | | | = |
′| | | = 3 × 2 = 6．
(2)过点 作 ⊥ 于点 ， = + + ，
= + + ，而 = ，
所以 = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + )
=
2 2 2
+ + 2 = | |2 + | |2 + 2 | |2，
因为∠ = 60°，所以∠ = 120°，∠ = ∠ = 30° 1， = 2 = 1， = =
3
2 = 3，
所以 = | |2 + | |2 + 2 | |2 = 4 + 1 + 2 3 = 2 + 2 ，
所以当 ， 共线时， 取得最大值，
( ) = 2 + 2| || | = 2 + 2 × 2 × 1 = 6．
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