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2024-2025 学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos260° sin260° =( )
A. 3 B. 1 1 32 2 C. 2 D. 2

2.复数 = 2 + ，它的共轭复数 对应的点位于第几象限( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 ， 为空间中不重合的直线， ， ， 为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ， ，则 ⊥ B.若 // ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
4.已知 = (1, 3)， = (2,0)，则 在 上的投影向量为( )
A. (1,0) B. ( 3, 0) C. ( 12 ,
3
2 ) D. (
3 3
2 , 2 )
5.如图，正八面体(所有面都是等边三角形)中异面直线 与 所成角的正弦值为( )
A. 36
B. 32
C. 63
D. 1
6.某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为 1～8 的 8 个大小形状相同的小球，现抽奖者从中
抽取 1 个小球.事件 =“取出的小球编号为奇数”，事件 =“取出的小球编号为偶数”，事件 =“取出
的小球编号小于 6”，事件 =“取出的小球编号大于 6”，则下列结论错误的是( )
A. 与 互斥 B. 与 互为对立事件
C. 与 互为对立事件 D. 与 相互独立
7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生 800 人，其每
天睡眠时间均值为 9 小时，方差为 1，抽取高中生 1200 人，其每天睡眠时间均值为 8 小时，方差为 0.5，
则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75
8.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，sin( ) = ，则 的取值范围为( )
A. ( 12 , 2) B. (
2
2 , 2) C. (
2 1
4 , 2 2) D. ( 4 , 4)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，则下列结论错误的是( )
A. + 3 + 5 + 7是纯虚数
B.若 (1 + ) = 2，则 是方程 2 + 1 = 0 的一个复数根
C.若 ∈ ，则| 2| = | |2
D.若复数 满足 1 < | | < 2，则复数 在复平面内对应的点所构成的图形面积为
10.已知点 是平面直角坐标系的原点，点 的坐标为(3,2)，点 的坐标为( 1,3)，若点 满足 = 2 ，
⊥ ，垂足为 ，则( )
A. | | = 17 B. 5 7点 的坐标为( 3 , 3 )
C. △ 11的面积为 2 D.
= ( 9 613 , 13 )
11.如图所示，在直角梯形 中，∠ = ∠ = 90°， ， 分别是 ， 上的点，且 // ， = =
2 = 2 = 2，将四边形 沿 向上折起，连接 ， ， .在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A. //平面 B. 与 所成的角先变大后变小
C. 5几何体 体积有最大值3 D.平面 与平面 不可能垂直
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥高为 3 ，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的母线长为______ .
13 ( ) = 2 ( + .已知函数 )( ∈ 6 )，若 ( )在(0, )上有且仅有3 个零点，则正整数 的取值为______．
14.现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次.若每场比
1
赛中每队胜、平、负的概率都为3，则在比赛结束时，甲队胜 2 场且乙队胜 2 场的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率
分布直方图．
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(1)试估计全市参赛者成绩的第 40 百分位数(保留小数点后一位)和平均数(单位：分)；
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[50,60)，[60,70)，[70,80)三层中抽取一个容量为 6 的样本，
再从这 6 人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格(大于等于 60 分为及格)的概率．
16.(本小题 15 分)

已知向量 = (sin( 4 + ), 3 ), = (sin(

4 ), )，设函数 ( ) = ．
(1)化简 ( )的解析式，并写出 ( )的最小正周期；
(2) ( + ) = 2 2 5 若 12 2 3 ，且 6 < < ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
已知△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 是△ 的内心，若 = 2， 3 = ．
(1)求角 ；
(2)延长 2 3交 于点 ，若 = 3 ，求△ 的周长．
18.(本小题 17 分)
如图，在正方体 ′ ′ ′ ′中， = 2，点 为棱 上的动点(不含端点)，点 为 ′ 上一点，
直线 交平面 ′ ′ ′ ′于点 ．
(1)求证 ′ //平面 ′ ．
(2)若 ′ ⊥ ，
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(ⅰ)求证 ′ ⊥平面 ′ ；
(ⅱ) 3当 为何值时，直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值为5．
19.(本小题 17 分)
(本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分. )
如图，在四棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 45°， = 1， = 2， ⊥ .现设 = ，
= 4 ，其中 0 < < 3．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 3，求二面角 的余弦的取值范围；
(3)当∠ = 120°时，求三棱锥 的外接球体积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.3
14. 127
15.(1)(0.005 + 0.010 + 0.015 + + 0.040) × 10 = 1，则 = 0.030，
∵ 0.05 + 0.1 + 0.15 = 0.3 < 0.4；0.3 + 0.3 = 0.6 > 0.4，
故 40 百分位数在[80,90)，
40 80 + 0.4 0.3则 百分位数为 0.6 0.3 × 10 ≈ 83.3，
平均数为 55 × 0.05 + 65 × 0.1 + 75 × 0.15 + 85 × 0.3 + 95 × 0.4 = 84；
(2)因为按比例分配的分层随机抽样，故[50,60)，[60,70)，[70,80)三层中抽取的样本量分别为：
6 × 0.050.05+0.10+0.15 = 1，
6 × 0.10.05+0.10+0.15 = 2，
6 × 0.150.05+0.10+0.15 = 3，
从这 6 人中随机抽取两人，
记[50,60)中抽取的人编号为 1，
[60,70)抽取的人编号为 2、3，
[70,80)抽取的人编号为 4、5、6，
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记事件 =“抽取的两人都及格”，
= {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，
所以 ( ) = 15，
= {(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，
所以 ( ) = 10，
( ) = ( ) 10 2所以 ( ) = 15 = 3．
16.(1)因为 = (sin( 4 + ), 3 ), = (sin(

4 ), )，
所以 ( ) = = sin( + )sin( 4 4 ) + 3
3 1 3
= cos( 4 )sin( 4 ) + 2 2 = 2 sin( 2 2 ) + 2 2
= 12 2 +
3 2
2 2 = sin(2 + 6 )，故最小正周期 = 2 = ；
(2) ( + ) = sin( + ) = 2 2 5 < < 7 7 < + 12 2 3 3 ，由 6 6，可得 6 3 <
3
2，
因为 cos( + 2 2 23 ) = 1 ( 3 ) =
1 = sin[( + ) 3，且 3 3 ]，
所以 = sin( + 2 2 1 1 3 3 2 23 )cos 3 cos( + 3 )sin 3 = 3 × 2 + 3 × 2 = 6 ．
17.(1)由正弦定理及 3 = 得， 3 = ，
因为 ≠ 0，所以 3 = ，即 = 3，
而 ∈ (0, ) ，所以 = 3．
(2)因为点 是△ 的内心，
所以 是∠ 的平分线，即∠ = ∠ = 6，
因为 △ = △ + △ ，
1
所以2 ∠ =
1
2 ∠ +
1
2 ∠ ，
即 32 =
2 3 13 2+
2 3 1，3 2
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整理得 3 = 2( + )①，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
所以 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ②，
由①②得 4 = ( + )2 2( + )，
解得 + = 1 ± 5，
因为 + > 0，所以 + = 1 + 5，
所以△ 的周长为 + + = 2 + 1 + 5 = 3 + 5．
18.(1)证明：∵ ′ ∩ = ，∴ ′， ， ， 四点共面，
∵平面 ′ ′ ′ ′//平面 ，平面 ′ ∩平面 ′ ′ ′ ′ = ′ ，
平面 ′ ∩平面 = ，
∴ ′ // ，
∵ ′ 平面 ′ ， 平面 ′ ，
∴ ′ //平面 ′ ；
(2)( )证明：连接 ′，
∵ ⊥平面 ′ ′ ， ′ 平面 ′ ′ ，∴ ⊥ ′ ，
又 ′ ⊥ ′， ′， 平面 ′ ， ′ ∩ = ，
∴ ′ ⊥平面 ′ ，
∵ ′ 平面 ′ ，
∴ ′ ⊥ ′ ，
又∵ ′ ⊥ ， ′ ， 平面 ′ ， ′ ∩ = ，
∴ ′ ⊥平面 ′ ；
(ⅱ)解：设 = ，作 ⊥ ′ 交 ′ 于点 ，
∵ ⊥ ′ ， ⊥ ′ ， ′ ∩ ′ = ′， ′ ， ′ 平面 ′ ，
∴ ′ ⊥平面 ′ ，
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∴ ∠ ′ 即为所求，
∵ ′ //平面 ′ ，
∴ ′ = 2 平面 ′ = = 2 ， +4
∵ ′ ⊥平面 ′ ， ′ 平面 ′ ，
2
∴ ′ ⊥ ′ ，∴ = 2 +4′ ，
2+8
设直线 ′ 与平面 ′ 所成角为 ，
2
= ′
2+4
= =
2+8
则 2+4 =
3
′ ，2 2+4 5
2+8
整理可得 4 8 2 9 = 0，解得 = 1，
∴ 3当 = 1 时，直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值为5．
19.(1)证明：因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)如图，因为 ⊥ ， ⊥ ，
所以二面角 的平面角即为∠ ．
2 2 2
cos∠ = +(4 ) 9 2 8 +7 72 (4 ) = 2 2+8 = 1 2 2 8 ，
在△ 中，由 (4 ) < 3 且(4 ) < 3 0 < < 3. 1，结合 可得 ∈ ( 2 , 3)，
故 2 2 8 = 2( 2)2 8 ∈ [ 8, 72 )，所以 cos∠ 的范围是[
1
8 , 1),
1
即二面角 的余弦的取值范围是[ 8 , 1)．
(3)如图，设△ 和△ 的外接圆圆心分别 和 ，
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则球心为过点 和 且分别垂直于平面 、平面 的两直线的交点为 ．
在△ 中，因为∠ = 120°，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠
= 2 + (4 )2 2 (4 ) 120° = 2 4 + 16，
2
再由正弦定理得△ 的外接圆半径 1 = =
= 4 +162 120 3 ．
在△ 中，由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠
= ( 2)2 + (4 )2 2 × 2 × (4 ) 45° = 2 6 + 10，
2 6 +10
再由正弦定理得△ 的外接圆半径 2 = = 2 45 = 2 ．
过点 作 ⊥ 于 ，连接 ，设 = ，显然四边形 为矩形，
所以 2 = 2 2 = 2 = 2 2，
则 2 21 = 2
2
2 ( 2 ) ，
2 2 2
即 2 = 2 2 2 4 +16 6 +10 8 +161 + 2 ( 2 ) = 3 + 2 4 ，
7 2 28 +76 7
整理得 2 = 12 = 12 ( 2)
2 + 4，
故当 = 2 时， 2取得最小值为 2，
4 ×23 32
此时三棱锥 外接球的体积最小值为 3 = 3 ．
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