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2024-2025 学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 2 1 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.若数据 1， 2，…， 的方差为 1，则数据 3 1 1，3 2 1，…，3 1 的方差为( )
A. 1 B. 3 C. 8 D. 9
3.已知向量 = (1,2)， = ( 2, )，若 / / ，则 =( )
A. 4 B. 1 C. 2 D. 4
4.已知△ 的面积为 3， = 2 ， = 3，则 =( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为 .“拟柱体” 的统
1
一体积公式为 = 6 ( + 4 + )(其中 ， ， 分别为 的上底面面积、中截面(与上下底面平行且距离相
等的截面)面积、下底面面积，如图.在多面体 中，底面 是边长为 2 的正方形， // ， = 4，
点 到底面 的距离是 2，则该多面体的体积为( )
A. 5 B. 163 C.
17
3 D. 6
6. ， 为不同的平面， ， 为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
7.在复平面内，复数 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 2 ， + 对应的点 1， 2， 3， 4在同一个圆周上，则实
数 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 或 2 D. 2 或 2
8.已知对任意平面向量 = ( , )，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 = (
, + )，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点 (2,1)， (3,1 + 3)，

把点 绕点 沿顺时针方向旋转3后得到点 的坐标为( )
A. (1,1 + 3) B. (1,2) C. (2,0) D. (4,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有 1000 名学生，随机抽取 100 名学生的成绩，整理成如图所示的
频率分布直方图，则( )
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A. = 0.025
B.估计该校学生成绩的众数为 70
C.估计该校学生成绩的中位数为 68.3
D.估计该校学生成绩的平均数在 65 到 75 之间
10.假设 ( ) = 0.2， ( ) = 0.5， ( ) = 0.8，则( )
A. 与 互为对立
B.若 ( ∪ ) = 0.6，则 ( ) = 0.1
C.若 ，则 ( ) = 0.5

D.若 ， 相互独立，则 ( ) = 0.4
11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为 1：2，其内切球的半径为 1，则该正四棱台( )
A.上底面边长 2 B. 28下底面边长 2 C.高为 2 D.体积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一组数据 1，2，4，6，7，8，11，12 的第 25 百分位数是______．
13.将函数 ( ) = 2 的图象向右平移6个单位长度，得到函数 = ( )的图象，则 ( )在[0, 2 ]上的最小值
为______．
14 .已知三棱锥 的体积为 ， ⊥平面 ， = 2，∠ = 3，若三棱锥 的外接球半径
最大值为 5，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某企业拟招聘部分技术人员，有 200 人参与竞聘，其中研究生 50 人，本科生 150 人，现采用分层抽样的
方式，对他们的竞聘成绩(满分 10 分)进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9．
(1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
(2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为 6，方差为 1，求整体样本数据的平均数 和方差 2．
参考公式：若总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，

2 2. 2 = + 1

， 1； ， ， 2 记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
2 2 2 2
+ ， = + { [ 1 + ( ) ] + [ 2 +

( )2]}．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥底面 ， = ， 为线段 的中点．
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(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角的大小．
17.(本小题 15 分)
如图，在平面四边形 中，△ 是等边三角形，点 ， 分别是 ， 的中点， = 1， = 2，∠ =
120°．
(1)求 ；
(2)求 sin∠ ；
(3)求 ．
18.(本小题 17 分)
如图，由三棱锥 顶点 出发的三条棱两两垂直.设 = ， = ， = ．
(1)若 = = = 2，求点 到平面 的距离；
(2)若△ 的面积为 8，二面角 的大小为 60°．
(ⅰ)求△ 的面积；
(ⅱ)求三棱锥 体积的最大值．
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19.(本小题 17 分)
在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“ ”传输，每个符号( ⊙或 )的传输可能出错，传输结
果相互独立.系统只有两种传输模式：模式 1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正
确接收的概率为 ，错误接收的概率为 1 ；当发送“ ”时，正确接收的概率为 ，错误接收的概率为 1 .
模式 2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为 ， = {1 , 1 }.假设 ， ， ∈ (0,1)，已知字
母 的密码为“⊙ ”，字母 的密码为“ ⊙”．
(1)若 = 0.6， = 0.8.求字母 A 正确接收的概率；
(2)若 + = 1，在字母 接收的 3 个符号中，记 =“收到⊙的个数为 1”， =“收到⊙的个数为 2”，
试比较 ( )和 ( )的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 32
14.2 3
15. (1) 7+7+8+9+9 1平均数为 = 5 = 8，方差为：
2 = 2 21 5 (1 + 1 + 0
2 + 12 + 12) = 0.8；
(2)因为研究生有 50 人，本科生 150 人，且研究生抽取 5 人，
由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取 15 人，
故整体样本数据的平均数 = 120 × (5 × 8 + 15 × 6) = 6.5，
5
整体样本数据的方差 2 = 20 [0.8 + (8 6.5)
2] + 1520 [1 + (6 6.5)
2] = 1.7，
所以整体样本数据的平均数为 6.5，方差为 1.7．
16.(1)证明：因为 = ， 为线段 的中点，所以 ⊥ ，
又 ⊥底面 ，底面 为正方形，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
又 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)由(1)知， ⊥平面 ，
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所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
设 = = = 2，则 = 2 2， = 2，
在直角三角形 中，
则 sin∠ = 1 = 2，
所以直线 与平面 所成角为 30°．
17.(1)在△ 中， = 1， = 2，∠ = 120°，
由余弦定理，可得 2 = 2 + 2 2 cos∠
= 1 + 4 2 × 1 × 2 × ( 12 ) = 7，
所以 = 7；
(2)在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
又 = 7， = 2，∠ = 120°，
3
sin∠ = ∠
2×
所以 =
2 = 217 7 ；
(3) 3 21因为△ 是等边三角形，所以 = 2 = 2 ，
1
因为点 ， 分别是 ， 的中点， = 1，所以 = 2，
所以 = | | | | cos∠
21 21
= 4 cos(90° + ∠ ) = 4 cos(90° + ∠ )
= 214 sin∠ =
21 × 21 34 7 = 4．
18.(1)因为 = = = 2，
所以 = = = 2 2 3， 2△ = 4 × (2 2) = 2 3．
设 到平面 的距离为 ，
1 1
则 = 3 △ = 3 × 2 3 × =
2 3
3 ．
= 1又 3 =
1
△ 3 ×
1
2 × 2 × 2 × 2 =
4
3，
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2 3
所以 3 =
4
3，
2 3
解得 = 3 ，
所以 到平面 2 3的距离为 3 ．
(2)(ⅰ)在三棱锥 中，过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，故 A ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
因此∠ 为二面角 的平面角，
所以∠ = 60°，在直角△ 中， = 2 ，
1 1
因为 △ = 2 = 2 × 2 = 2 △ = 8，
所以 △ = 4．
(ⅱ) 1在△ 中，因为 △ = 2 = 4，所以 = 8，
所以 = 2 + 2 ≥ 2 = 4，当且仅当 = = 2 2时等号成立．
又因为 △ =
1
2 = 4
8
，所以 = ≤ 2，
在直角△ 中， = 3 ≤ 2 3，
所以 = 1 8 3 3 △ ≤ 3 ，当且仅当 = = 2 2时等号成立．
8 3
综上，三棱锥 体积的最大值为 3 ．
19.(1)字母 的密码为“⊙ ”，一共接收 2 个符号，2 个都正确，
则字母 A 正确接收，
∵ = 0.6， = 0.8，
∴字母 A 正确接收的概率为 = 0.6 × 0.8 = 0.48；
(2)若 + = 1，在字母 接收的 3 个符号中，
记 =“收到⊙的个数为 1”， =“收到⊙的个数为 2”，
= {1 , 1 } = 1 , ≥ 1 , < ，
若字母 接收的 3 个符号中，收到“⊙”的个数为 1，可分 3 种情况：
传输为“⊙ ”或“ ⊙ ”或“ ⊙”，
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∴ ( ) = (1 )(1 )(1 ) + (1 ) + 2 = (1 ) + + 2 = + 2，
同理，若字母 接收的 3 个符号中，收到“⊙”的个数为 2，
可分 3 种情况：传输为“⊙⊙ ”或“⊙ ⊙”或“ ⊙⊙”，
∴ ( ) = (1 ) + (1 )(1 ) + (1 )(1 )，
当 ≥ 时， = 1 = ，
∴ ( ) = 3 + 2 + 2 = ( 2 + + 2) = [ ( + ) + 2] = ( + 2)，
当 < 时， = 1 = ，
∴ ( ) = 2 + 3 + 2 = ( 2 + + 2) = ( + 2)，
∴ ( ) ( ) = 2 = ( )，
若 = ，则 ( ) = ( )；
若 > ，则 ( ) < ( )；
若 < ，则 ( ) > ( )．
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