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2024-2025 学年湖南省岳阳市湘阴县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，复数 满足 (2 + ) = 1，则| | =( )
A. 5 B. 3 C. 33 D.
5
5
2.已知 {1,2,3,4}， = {1,3}，若 ∩ ≠ ，那么符合条件的集合 的个数是( )
A. 4 B. 10 C. 11 D. 12
3.八名学生的高考总分分别为 648，667，642，665，671，654，680，675，则这组数据的第 75 百分位
数是( )
A. 667 B. 671 C. 673 D. 675
4.在△ 中， = 2， = 3， = 4， 为 的中点，则 =( )
A. 16 B. 52 C.
5
2 D. 16
5.已知 > 1， > 2 且 2 = 0，则 + 的最小值为( )
A. 4 2 B. 2 2 + 3 C. 4 D. 6
6.《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为 2，下底面边长为 6，侧棱与下底面

所成的角为4，则此方亭的体积为( )
A. 104 2 B. 92 2 80 2 68 23 3 C. 3 D. 3
7.已知函数 ( )是定义在 上的增函数，且 ( + 1) 2 为奇函数，对任意的 ∈ [ 3,2]，不等式 (2 + ) +
( 2 1) ≤ 4 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 5] B. ( ∞,0] C. [0, + ∞) D. [ 5, + ∞)
8.已知大于 1 的三个实数 ， ， 满足( )2 2 + = 0，则 ， ， 的大小关系不可能是( )
A. = = B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于一个古典概型的样本空间 和事件 ， ，其中 ( ) = 60， ( ) = 30， ( ) = 20， ( ∪ ) = 40，
则( )
A. ( ) = 1 212 B. ( ∪ ) = 3 C. 与 互斥 D. 与 相互独立
10.已知函数 ( ) = 3 + sin2 ，则( )
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A.函数 ( )的最小正周期为
B. ( 12 , 0)是 ( )的一个对称中心
C. 函数 ( )在(0, 2 )上单调递增
D.函数 = ( ) 12图象与直线 3 = 0 有 3 个交点
11.如图，四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 为矩形， ⊥ ， = = 2，
若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 1，其外接球球心为 2，则下列结论正确的是( )
A.平面 ⊥平面
B.四棱锥 的内切球半径为 2 1
C.四棱锥 的体积为2 2
3
D. 1 22 = 4 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 1 的零点是______．
13.已知向量 = (1,0)， 满足 ⊥ (2 )，则 在 上的投影向量的坐标为______．
14.已知 15 个数 1， 2，…， 15的平均数为 6，方差为 9，现从中剔除 1， 2， 3， 4， 5这 5 个数，且剔
除的这 5 个数的平均数为 7，方差为 5，则剩余的 10 个数 6， 7，…， 15的方差为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全
常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为 100 分.测试完后抽取了 400 份试卷，把分数按[40,50)，
[50,60)， ，[90,100]依次分为第一至第六组(所有得分 均满足 40 ≤ ≤ 100)，其中[50,60)与[90,100]的
人数均为 40 人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为 74 分．
(1)求图中 的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为 60 分及以上的市民所占比例)；
(2)分别求图中 的值与 的值．
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16.(本小题 12 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， = 2 ， + 6 ( + ) = 0．
(1)求角 和边 ；
(2)若点 是边 上的中点，求 的最大值．
17.(本小题 12 分)
如图，在直三棱柱 1
1
1 1中， = 2 = 2， 1 = 3，cos∠ = 2， 是四边形 1 1(含边
界)内的动点且 = 2．
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求点 的轨迹长．
(3)若点 又在线段 1 上，求此时直线 与直线 所成角的余弦值．
18.(本小题 12 分)
几何体 是从棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中截取所得，其中 ， 分别为 1， 1的中点，
点 在线段 上．
(1)若 为 的中点，求证： //平面 ；
(2)求二面角 的正切值；
(3) ⊥ 证明：存在点 ，使得 平面 ，并求 的值．
19.(本小题 12 分)
双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函
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( ) =

( ) = +

数，最基础的是双曲正弦函数 2 和双曲余弦函数 2 ．
(1)证明： ( + ) = ( ) ( ) + ( ) ( )；
(2)是否存在正实数 ，使得 2 ( )在[ , ]上的取值范围是[ , ]？若存在，求 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
2
(3)求证：函数 ( ) = + sin 4 存在唯一零点 0且 2 (sin

4 0) <
1
．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(2,0)
1410.25
15(1)由题意 = 40400×10 = 0.01，
所以及格率为 1 (0.005 + 0.01) × 10 = 0.85 = 85%．
(2)由题意可知( + + 0.025 + 0.01) × 10 = 0.85，可得 + = 0.05，

所以平均分 = 45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 10 + 75 × 10 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74，
解得 = 0.02， = 0.03．
16.(1) 因为 = 2 ，所以由正弦定理得： = 2 ，
化简得：2 = + = sin( + ) = ，
1
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，所以 = 2，
因为 ∈ (0, )，所以 = 3，
又因为 + 6 ( + ) = 0，所以 = 6 ( + ) = 6 ( ) = 6 = 3；
(2) = 1因为点 是边 上的中点，所以 + 1 2 2 ，
所以| |2 = 1 | |2 + 1 | |2 + 1 4 4 2 | || | =
1 2 + 1 2 14 4 + 4 ，
又由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
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得 9 = 2 + 2 ≥ 2 ，即 ≤ 9，当且仅当 = 时等号成立，
所以| |2 = 14 (
2 + 2 + ) = 14 (9 + 2 ) ≤
1
4 × (9 + 18) =
27
4．
17.(1)证明：在直三棱柱 1 1 1中， = 2 = 2， 1 = 3，
cos∠ = 12， 是四边形 1 1(含边界)内的动点且 = 2，
= 2 = 2 1，cos∠ = 2，
在△ 中，由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 4 4 × 12 = 3，
∴ = 3，
由勾股定理得 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵ 1 1 1为直三棱柱，则 1 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，则 ⊥ 1，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1C.
(2) ∵ ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，∴ ⊥ ，
∵ = 2，∴ = 2 2 = 22 ( 3)2 = 1，
则点 在以 为圆心，半径为 1 的圆上，
又 是四边形 1 1(含边界)内，

故点 的轨迹所对圆心角为2，∴点 的轨迹长为2．
(3) ∵点 又在线段 1 上且 1 = 3，∴ ∠ 1 = ∠ =

3，
过点 作直线 的平行线交 1 于 ，连接 ，
则直线 与直线 所成角为∠ 或其补角，
又 = 12 , =
3， 3 2 2 15，
2 ∴ = ( 2 ) + ( 3) = 2
= 2 + 2 = 1 3 ，4+ 4 = 1
在 △ 中， = 2 + 2 = 1+ 3 = 2，
2 2 1 15
∴ cos∠ = +
2 4+
2 =
4 4 1
2×2×1
= 4，
2
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1
故直线 与直线 所成角的余弦值为4．
18.(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
因为正方形 ，
所以 为 中点，
又矩形 中， 为 的中点，
所以 // 且 = ，
所以 为平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)在平面 中，过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
因为几何体 是从棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中截取所得，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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又 平面 ，
所以 ⊥ ，
所以∠ 是二面角 的平面角，
因为 = 1， = 2，
所以 = 12 + 22 = 5，
1×2 2 5
所以 = = 5 = ，5
在 △ 中， = 2 5， = 2，5
2
所以 tan∠ = = = 52 5
5
所以二面角 的正切值为 5．
(3)证明：连接 交 于点 ，
因为 是正方形，
所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 面 ， 面 ，
所以 ⊥平面 ，
平面 ，
所以 ⊥ ，
当 ⊥ 时， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
此时 = = 2 2， = 2， = 1，则 = 12 + ( 2)2 = 3，
又△ ∽△ ，
1
所以 = ，即 2 = 3，
所以 = 2 3，则 3，3 = 3
= 2所以 1，
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又△ ∽△ ，

所以 1 = = 2，则 = 2 =
2，
2
所以 = 3 2，2
3 2
所以 2 3．
= 2 2 = 4
19.(1)证明：右边= ( ) ( ) + ( ) ( )
+ +
= 2 × 2 + 2 × 2
+ + + + + + = =

4 2 ，
+ ( + ) +
左边= ( + ) = 2 = 2 ，
因此 ( + ) = ( ) ( ) + ( ) ( )．
(2)假设存在正实数 满足题意，易知 2 ( ) = 在[ , ]上单调递增，
1
因此
=
1 ， =
1
因此 ， 为关于 的方程 = 的两个不等实数根，
令 = > 0，即关于 的一元二次方程( 1) 2 + 1 = 0 有两个不等正根 1， 2，
= ( )2 4( 1) > 0
1 + 2 =
> 0
因此 1 ，解得 > 1 且 ≠ 2
1
1
2 = 1 > 0
1 ≠ 0
因此存在正实数 满足题意， 的取值范围{ | > 1 且 ≠ 2}．
(3) 证明： ( ) = + sin 4 ，定义域为(0, + ∞)，
①当 ∈ (0,2] 时，函数 ( ) = + sin 4 在(0,2]上单调递增，
因为 ( 1 ) = ln
1
+ sin 4 = 1 + sin 4 < 0， (1) = sin
= 24 2 > 0
因此 ( 1 ) (1) < 0
1
，根据零点存在定理， 0 ∈ ( , 1)使得 ( 0) = 0，
故 ( )在(0,2]上有且只有一个零点 0．
②当 ∈ (2, ]时，因为 = 单调递增， = sin 4 单调递减，
> 2 > 0 ，sin 4 > sin 4 > > 0，因此 ( ) > 0，
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因此 ( )在(2, ]上不存在零点；
③当 ∈ ( , + ∞)时，因为 = 单调递增， > > 1 ，因为 = sin 4 ≥ 1
因此 ( ) > 1 1 = 0，因此 ( )在( , + ∞)上不存在零点；
综上： ( ) 1有且只有一个零点 0，且 0 ∈ ( , 1)．
因为 ( 0) = 0 + sin 4 0 = 0，因此 sin 4 0 = 0，

因此 2 (sin ) = 04 0
0 = 1 0，0
1 1 1 2 1
因为 = 在( , 1)上单调递减，因此 0 < ，0
2 1
因此 2 (sin 4 0) < ．
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