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2024-2025 学年四川省成都市盐道街中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+2 . 的虚部是( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.某学校高一、高二、高三年级的人数之比为 2：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样
本，高三年级抽取的人数为 20 人，则 =( )
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
3.长方体 1 1 1 1中， 1 = 3， = 1， = 2，则异面直线 1与 1所成角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.设 为△ 所在平面内一点， = 3 ，则( )
A. = 13
+ 4 3 B.
= 3 1 2 2
C. = 3 + 1 D. = 4 2 2 3
1 3

5.已知平面向量 = ( 1,2)， = (3,4)，则 在 上的投影向量为( )
A. ( 35 ,
4
5 ) B. (
3
5 ,
4
5 ) C. (
1
4 ,
1 1 1
3 ) D. ( 4 , 3 )
6.在△ 中，已知 = 2 ( + ) ，那么△ 一定是( )
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
7.已知函数 ( ) = 2 ( )( > 0, | | < ) 4 2 的部分图象如图所示，则 ( 3 ) =( )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
8.若 cos( ) = 3，则 sin(2 +

6 5 6
) =( )
A. 2425 B.
7 7 24
25 C. 25 D. 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为 8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，
10.1，则( )
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A.该组数据的极差为 1.8
B.该组数据的众数为 10.1
C.该组数据的 75%分位数为 9.9
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知不重合的直线 ， ， 和平面 ， ， ，则( )
A.若 // ， ，则 //
B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 ， ， ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 ∩ = ， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = ，则直线 过点
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 4， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.存在无数个点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为定值
D.三棱锥 的外接球表面积为 36
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量| | = 2 2，| | = 4，且(2 + ) = 32，则向量 与 的夹角为______．
13.如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两
个测量基点 与 .现测量得∠ = 60°， = 30 米，在点 ， 处测得塔顶 的仰
角分别为 30°，45°，则塔高 =______．
14.一个圆锥的母线长为 2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (0,1), = (1,2)．
(1)求|3 2 |；
(2)若( 2 ) ⊥ ( )，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 3cos2 3．
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(1)求 ( )的最小正周期和单调区间；
(2)若 ( ) = 10 13， ∈ ( 4 , 2 )，求 cos(2 + 6 )的值．
17.(本小题 15 分)
汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满
意情况，随机抽取 200 名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在[40,100]内，将这些数据分
成 6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出样本的频率分布直方图，因不
慎，使得图形残缺，如图所示．
(1)求样本中打分在[70,80)内的客户人数并估计样本的中位数；
(2)已知打分在[60,70)内的样本数据的平均值为 63，方差为 5，打分在[70,80)内的样本数据的平均值为 78，
方差为 2，求打分在[60,80)内的样本数据的平均值与方差．
18.(本小题 17 分)
1
如图，已知等腰梯形 中， // ， = = 2 = 2， 是 的中点， ∩ = ，将△
沿着 翻折成△ 1 ，使 1 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求二面角 1 的大小；
(3)在线段 1 上是否存在点 ，使得 //平面 1 ，若存在，求 的长；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
+ 3
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = = ．
(1)求 ．
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(2)若 = 1，点 ， 是边 上的两个动点，当∠ = 3时，求△ 面积的取值范围．
(3)若点 ， 是直线 上的两个动点，记∠ = (0 < ≤ 2 ), ∠ = , ∠ = .若 (sin
2 +
) + ( 1) = 恒成立，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45°
13.15 米
14.2( 2 + 1)
15.(1)因为 = (0,1), = (1,2)，
所以 3 2 = ( 2, 1)，
故|3 2 | = 5；
(2) 2 = ( 2, 4)， = (1,1)，
若( 2 ) ⊥ ( )，则 2 + 4 = 0，即 = 6．
16.解：(1) ( ) = 2 + 2 3cos2 3
= 2 + 3(1 + 2 ) 3
= 2 + 3 2
= 2 (2 + 3 )，
2
函数 ( )的最小正周期为 = 2 = ，
令 2 + 3 ∈ [2 2 , 2 + 2 ]( ∈ )，
∈ [ 5 解得 12 , +

12 ]( ∈ )，
所以函数 ( )的单调增区间是[ 5 12 , +

12 ]( ∈ )，
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令 2 + 3 ∈ [2 +
3
2 , 2 + 2 ]( ∈ )，
解得[ + 12 , +
7
12 ]( ∈ )，

所以函数 ( )的单调减区间是[ + 12 , +
7
12 ]( ∈ )．
(2) (1) ( ) = 2 (2 + ) = 10由 得 3 13，
5
则 sin(2 + 3 ) = 13，
因为 ∈ ( 4 ,

2 )，
所以 2 + 5 4 3 ∈ ( 6 , 3 )，cos(2 +

3 ) =
12
13，
所以 cos(2 + 6 ) = cos[(2 +

3 ) 6 ]
= cos(2 + 3 )cos

6 + sin(2 +

3 )sin

6
= 12 × 3 + 5 113 2 13 × 2
= 5 12 326 ．
17.(1)根据频率分布直方图可知，打分在[70,80)内的频率为：
1 10 × (0.005 + 0.010 + 0.015 + 0.015 + 0.025) = 0.30，
所以样本中打分在[70,80)内的客户人数为 200 × 0.30 = 60 人．
由图可知，打分在[40,70)内的频率为 0.35，在[70,80)内的频率为 0.30，
设样本的中位数为 ，则 ∈ [70,80)，
则 0.35 + ( 70) × 0.030 = 0.5，解得 = 75，
故样本的中位数为 75；
(2)由题可知，打分在[60,70)，[70,80)内的频数分别为 30，60，
所以打分在[60,80) 30×63+60×78内的样本数据的平均值为 30+60 = 73．
打分在[60,80)内的样本数据的方差为：
1
90 × {30 × [5 + (63 73)
2] + 60 × [2 + (78 73)2]} = 53，
综上所述打分在[60,80)内的样本数据的平均值与方差分别为 73，53．
18.(1)证明：因为在等腰梯形 中，
// ， = = 12 = 2， 是 的中点，
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所以四边形 为菱形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥ 1 ， ⊥ ，又 1 ∩ = ，
所以 ⊥平面 1 ；
(2)由 1 ⊥平面 ， 平面 ，可得 1 ⊥ ；
易知 // ， ⊥ ，所以 ⊥ ；
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，又 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥ ，又 ⊥ ，
所以∠ 1 即为二面角 1 的平面角，
在直角三角形 1 中， 1 = ，
所以 tan∠ 1 = 1，
所以∠ 1 = 45°；
(3)假设线段 1 上是否存在点 ，使得 //平面 1 ，
过点 作 // 交 1 于 ，连接 ， ，如下图所示：
所以 // // ，即可得 ， ， ， 四点共面，
又因为 //平面 1 ，所以 // ，
所以四边形 为平行四边形，所以 = = 12 ，点 为 1 的中点；
故在线段 1
1
上存在点 ，使得 //平面 1 ，且 1 =1 2
，
易知△ 为正三角形，且 = 2，所以 1 = = 3，
由勾股定理可得 = 2 + 2 = 7，
所以 = 2 + 21 1 = 7 + 3 = 10，
所以 = 102 ．
19. (1) = 3 解： 因为 ，
所以由正弦定理得 = 3 ，
因为 ≠ 0，
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= 3所以 3 ，
因为 ∈ (0, )，

所以 = 6，
= +
2+ 2 2 +
由 ，可得
2 = 2 + ，即 2 = 2 ，
所以 + = 2 ，
由正弦定理可得 + = 2 ，则 sin( + ) + = 2 ，
得 = sin( )，则 = 或 + = (舍去)，

所以 = 2 = 3 = = 2；
(2) ∠ = , ∈ [0, ] △ 设 6 ，在 中，由正弦定理得 = sin∠ ，
3
所以 = sin∠ = 2 ( + )，6
在△ 中，由正弦定理得 = sin∠ ，
3 3 3
所以 = sin∠ = 2 ( +∠ ) = 2 ( 3+6 )
= 2 ，
△ = 1 的面积 2 3
= 12
3 3 3
2 2 ( + 6) 2
= 3 316 ( + 6)
= 3 3 ，
8[sin(2 + 6)+
1
2]
因为 ∈ [0, 6 ]，

所以 2 + 6 ∈ [ 6 , 2 ], sin(2 +

6 ) ∈ [
1
2 , 1]，
3 3 ∈ [ 3 , 3 3则 ]，
8[sin(2 + )+16 2] 4 8
△ 3 3 3故 面积的取值范围为[ 4 , 8 ]；
(3)因为 (sin2 + ) + ( 1) = ，
所以sin2 + + = ，
则 ( + ) + cos( + ) = ，即 [sin( + ) 1] + cos( + ) = 0，
又 + = 是定值，
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所以 sin( + )，cos( + )是定值，
sin( + ) 1 = 0
所以 cos( + ) = 0 ，
因为 ， 为△ 的内角，
+ = 所以 2 , =

2，

故 的值为2．
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