资源简介

广东省东莞市石碣新民学校2025年初中学业水平考试数学冲刺卷（一）
1．（2025·东莞模拟）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣π B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵﹣π＜﹣3＜﹣2＜﹣1＜0，
∴比﹣3小的数是﹣π，
故答案为：A．
【分析】利用0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
2．（2025·东莞模拟）下列几何体中，俯视图为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．俯视图底层是四个小正方形，右边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．俯视图底层是三个小正方形，右边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
C．俯视图底层是三个小正方形，左边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
D．俯视图底层是三个小正方形，靠中间下面是一个小正方形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．分别确定各项几何体的俯视图，再确定为轴对称图形，即可解答．
3．（2025·东莞模拟）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C．，原式计算错误，符合题意；
D、，原式计算正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用去括号法则，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用单项式除以单项式的法则，可对D作出判断.
4．（2025·东莞模拟）不等式的解集在数轴上的表示正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得：，
合并得：
解得，
故在数轴上表示为：，
故答案为：C．
【分析】先解出不等式，再在数轴上表示即可．注意空心和实心的区别．
5．（2025·东莞模拟）学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（　　）
A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小
C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定．
∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小，
故答案为：A
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．再对各选项逐一判断即可.
6．（2025·东莞模拟）在2024年下半年，我国大力推进量子计算领域发展，某城市着手打造一座国家级量子计算中心．在该中心的基建工程中，一段用于构建超稳定地基的施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为（单位：天），则与满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意得，与满足反比例关系，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知土石方日平均运送量=需要运送土石方总量÷完成运送任务所需要的时间，列出函数解析式，由函数解析式可作出判断.
7．（2025·东莞模拟）下列说法正确的是(　　)
A．若，且，都大于0小于5，则
B．抛物线与轴只有1个交点
C．若两个锐角相等，则它们是对顶角
D．等边三角形是中心对称图形
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；中心对称及中心对称图形；对顶角及其性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A．若，且，都大于0小于5，则，所以或，故此选项错误，不符合题意．
B．据题意，解得：，所以与轴只有1个交点，故此选项正确，符合题意．
C．若两个锐角相等，他们不一定是对顶角，还有可能是同位角，内错角等等，故此选项错误，不符合题意．
D．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用绝对值的性质，可对A作出判断；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点，可对B作出判断；利用对顶角的性质，可对C作出判断；利用等边三角形的性质，可对D作出判断.
8．（2025·东莞模拟）在化工生产中，常常需要对一些溶液的酸碱性进行快速检测以便后续的工艺操作．实验室现有六瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，分别是．稀硫酸(呈酸性)，．氯化钠溶液(呈中性)，．氢氧化钾溶液(呈碱性)，．碳酸钠溶液(呈碱性)．实验课上老师让学生小李用无色酚酞试液来检测其酸碱性，小李同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色(即两瓶溶液都为碱性)的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，两瓶溶液都变成红色的概率为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两瓶溶液都变成红色的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，，
在四边形中，，
，
，
，
又∵点是的中点，
∴，
在Rt中，，
故答案为：B．
【分析】过作于点，利用矩形的性质可证得DO=BO，同时可求出AD、CD的长；再证明EM∥BC，可证得，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理可求出EF的长.
10．（2025·东莞模拟）已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
抛物线开口向下，抛物线顶点坐标为，
如图1，当抛物线顶点落在上时，则，
解得，满足题意．
把代入得，
解得，
把代入得，
解得，
满足题意，
综上所述，或．
故答案为：C．
【分析】将函数解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后分别求出顶点在线段上时，可得关于a的方程，解方程求出a的值；分别将点Q、P的坐标分别代入函数解析式可求出a的值，结合函数图象可求出a的取值范围.
11．（2025·东莞模拟）多项式的次数是　 　．
【答案】3
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵的次数是3，的次数是2，
∴多项式的次数是3，
故答案为：3．
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解.
12．（2025·东莞模拟）已知函数的图象，当时，的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，当时，，
双曲线经过二四象限，画出图形如下：
∴根据图像可知：的取值范围为或．
故答案为：或.
【分析】求得当时，，再根据题意画出草图，结合图象即可得出y的取值范围．
13．（2025·东莞模拟）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　 　(写出一个即可)．
【答案】4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于的一元二次方程有实数解，
所以，
解得，
所以可以是小于等于4的任意值．
故答案为：4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可)
【分析】根据“关于的一元二次方程有实数解”可知，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，写出一个符合题意的a的值即可.
14．（2025·东莞模拟）5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】利用平行线的性质可知，然后求出tan∠1·的值，可得到tan∠C的值.
15．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，可求出OG的长，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长.
16．（2025·东莞模拟）计算：
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
17．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
=
将代入得原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．（2025·东莞模拟）如图，矩形的对角线，相交于点，请在下方尺规作图：过点作，且，连接．
（1）按照题目的要求补全图形．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点，
∴
∴四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在点处作，则得，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于一点，即点，然后连接，即可作答．
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；利用矩形的性质可证得OD=OC，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论．
（1）解：如图所示：
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点，
∴
∴四边形是菱形，
19．（2025·东莞模拟）习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级 参加阅读人数
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
七年级 25 30 a 40 30
八年级 20 26 24 30 40
合计 45 56 59 70 70
（1）a＝_____；
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；
（3）七年级学生参加阅读人数的众数为______；
（4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．
【答案】（1）35
（2）24
（3）30
（4）该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）
故答案为：35
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：
则中位数为
故答案为：
（3）七年级的阅读人数分别为
众数为30
故答案为：30
【分析】（1）根据统计表中数据，可求出a的值.
（2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解；
（3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解；
（4）用1120乘以七、八年级阅读人数的占比，列式计算即可求解．
（1）故答案为：35
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：
则中位数为
故答案为：
（3）七年级的阅读人数分别为
众数为30
故答案为：30
（4）该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为
20．（2025·东莞模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同．
（1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x万元，可表示出B型编程机器人模型单价，关键已知条件为：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值．
（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元；
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元．
21．（2025·东莞模拟）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
【答案】（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，
（2）解：过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及点D是BC的中点，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出反比例函数解析式；利用点E在反比例函数图象上，可得到点E的坐标，即可求出EC的长，然后求出tan∠EDC的值.
（2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可推出，同理证明得到，设点坐标为，可表示出MF的长，在中利用勾股定理可求出b的值，即可得到点F的坐标.
（3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点．
（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，；
（2）过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为；
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点．
22．（2025·东莞模拟）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点
（2）结论：，
理由：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得BC=BD，同时可得到∠CBD的度数，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求表示出∠BDC的度数，由此可推出，利用等角对等边可证，利用余角的性质可证得∠1=∠2，然后证明CA=CE，即可证得结论.
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，易证∠ABC=∠HBD，利用SAS可证得△ABC≌△HBD，利用全等三角形的性质可推出AC=DH，∠BHD=∠A=α，同时可表示出∠FHD，利用平行线的性质去证明∠HGD=∠FHD，利用等角对等边可推出DG=DH=AC，据此可证得结论.
（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2025·东莞模拟）综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
【答案】（1）①解：如图2，过作，交延长线于，过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；②；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）②由①知：，，
F平分，
，
，由①知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； ．
【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解；
②利用角平分线的概念可表示出∠BAH，利用解直角三角形表示出AH、AG的长；再证明△GFB∽△AFC，利用相似三角形的性质，可表示出AF的长.
（2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到，
，从而得到，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
②利用同弧所对的圆周角相等可证∠B=∠Q，∠BAP=∠PCQ，可证得，利用相似三角形的性质及（2）①的结论，可证得结论.
1 / 1广东省东莞市石碣新民学校2025年初中学业水平考试数学冲刺卷（一）
1．（2025·东莞模拟）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣π B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．（2025·东莞模拟）下列几何体中，俯视图为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·东莞模拟）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）不等式的解集在数轴上的表示正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
5．（2025·东莞模拟）学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（　　）
A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小
C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大
6．（2025·东莞模拟）在2024年下半年，我国大力推进量子计算领域发展，某城市着手打造一座国家级量子计算中心．在该中心的基建工程中，一段用于构建超稳定地基的施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为（单位：天），则与满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
7．（2025·东莞模拟）下列说法正确的是(　　)
A．若，且，都大于0小于5，则
B．抛物线与轴只有1个交点
C．若两个锐角相等，则它们是对顶角
D．等边三角形是中心对称图形
8．（2025·东莞模拟）在化工生产中，常常需要对一些溶液的酸碱性进行快速检测以便后续的工艺操作．实验室现有六瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，分别是．稀硫酸(呈酸性)，．氯化钠溶液(呈中性)，．氢氧化钾溶液(呈碱性)，．碳酸钠溶液(呈碱性)．实验课上老师让学生小李用无色酚酞试液来检测其酸碱性，小李同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色(即两瓶溶液都为碱性)的概率为(　　)
A． B． C． D．
9．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
11．（2025·东莞模拟）多项式的次数是　 　．
12．（2025·东莞模拟）已知函数的图象，当时，的取值范围是　 　．
13．（2025·东莞模拟）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　 　(写出一个即可)．
14．（2025·东莞模拟）5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
15．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
16．（2025·东莞模拟）计算：
17．（2025·东莞模拟）先化简，再求值：其中
18．（2025·东莞模拟）如图，矩形的对角线，相交于点，请在下方尺规作图：过点作，且，连接．
（1）按照题目的要求补全图形．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
19．（2025·东莞模拟）习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级 参加阅读人数
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
七年级 25 30 a 40 30
八年级 20 26 24 30 40
合计 45 56 59 70 70
（1）a＝_____；
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；
（3）七年级学生参加阅读人数的众数为______；
（4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．
20．（2025·东莞模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同．
（1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
21．（2025·东莞模拟）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
22．（2025·东莞模拟）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
23．（2025·东莞模拟）综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵﹣π＜﹣3＜﹣2＜﹣1＜0，
∴比﹣3小的数是﹣π，
故答案为：A．
【分析】利用0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．俯视图底层是四个小正方形，右边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．俯视图底层是三个小正方形，右边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
C．俯视图底层是三个小正方形，左边靠下是一个小正方形，不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
D．俯视图底层是三个小正方形，靠中间下面是一个小正方形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．分别确定各项几何体的俯视图，再确定为轴对称图形，即可解答．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C．，原式计算错误，符合题意；
D、，原式计算正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用去括号法则，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用单项式除以单项式的法则，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
移项得：，
合并得：
解得，
故在数轴上表示为：，
故答案为：C．
【分析】先解出不等式，再在数轴上表示即可．注意空心和实心的区别．
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定．
∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小，
故答案为：A
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．再对各选项逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据题意得，与满足反比例关系，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知土石方日平均运送量=需要运送土石方总量÷完成运送任务所需要的时间，列出函数解析式，由函数解析式可作出判断.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；中心对称及中心对称图形；对顶角及其性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A．若，且，都大于0小于5，则，所以或，故此选项错误，不符合题意．
B．据题意，解得：，所以与轴只有1个交点，故此选项正确，符合题意．
C．若两个锐角相等，他们不一定是对顶角，还有可能是同位角，内错角等等，故此选项错误，不符合题意．
D．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用绝对值的性质，可对A作出判断；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点，可对B作出判断；利用对顶角的性质，可对C作出判断；利用等边三角形的性质，可对D作出判断.
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，两瓶溶液都变成红色的概率为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两瓶溶液都变成红色的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，，
在四边形中，，
，
，
，
又∵点是的中点，
∴，
在Rt中，，
故答案为：B．
【分析】过作于点，利用矩形的性质可证得DO=BO，同时可求出AD、CD的长；再证明EM∥BC，可证得，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理可求出EF的长.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
抛物线开口向下，抛物线顶点坐标为，
如图1，当抛物线顶点落在上时，则，
解得，满足题意．
把代入得，
解得，
把代入得，
解得，
满足题意，
综上所述，或．
故答案为：C．
【分析】将函数解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后分别求出顶点在线段上时，可得关于a的方程，解方程求出a的值；分别将点Q、P的坐标分别代入函数解析式可求出a的值，结合函数图象可求出a的取值范围.
11．【答案】3
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵的次数是3，的次数是2，
∴多项式的次数是3，
故答案为：3．
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解.
12．【答案】或
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，当时，，
双曲线经过二四象限，画出图形如下：
∴根据图像可知：的取值范围为或．
故答案为：或.
【分析】求得当时，，再根据题意画出草图，结合图象即可得出y的取值范围．
13．【答案】4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于的一元二次方程有实数解，
所以，
解得，
所以可以是小于等于4的任意值．
故答案为：4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可)
【分析】根据“关于的一元二次方程有实数解”可知，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，写出一个符合题意的a的值即可.
14．【答案】1
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】利用平行线的性质可知，然后求出tan∠1·的值，可得到tan∠C的值.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，可求出OG的长，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长.
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
17．【答案】解：原式
=
将代入得原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点，
∴
∴四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在点处作，则得，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于一点，即点，然后连接，即可作答．
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；利用矩形的性质可证得OD=OC，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论．
（1）解：如图所示：
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线，相交于点，
∴
∴四边形是菱形，
19．【答案】（1）35
（2）24
（3）30
（4）该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）
故答案为：35
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：
则中位数为
故答案为：
（3）七年级的阅读人数分别为
众数为30
故答案为：30
【分析】（1）根据统计表中数据，可求出a的值.
（2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解；
（3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解；
（4）用1120乘以七、八年级阅读人数的占比，列式计算即可求解．
（1）故答案为：35
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：
则中位数为
故答案为：
（3）七年级的阅读人数分别为
众数为30
故答案为：30
（4）该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为
20．【答案】（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x万元，可表示出B型编程机器人模型单价，关键已知条件为：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值．
（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元；
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元．
21．【答案】（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，
（2）解：过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及点D是BC的中点，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出反比例函数解析式；利用点E在反比例函数图象上，可得到点E的坐标，即可求出EC的长，然后求出tan∠EDC的值.
（2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可推出，同理证明得到，设点坐标为，可表示出MF的长，在中利用勾股定理可求出b的值，即可得到点F的坐标.
（3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点．
（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，；
（2）过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为；
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点．
22．【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点
（2）结论：，
理由：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得BC=BD，同时可得到∠CBD的度数，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求表示出∠BDC的度数，由此可推出，利用等角对等边可证，利用余角的性质可证得∠1=∠2，然后证明CA=CE，即可证得结论.
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，易证∠ABC=∠HBD，利用SAS可证得△ABC≌△HBD，利用全等三角形的性质可推出AC=DH，∠BHD=∠A=α，同时可表示出∠FHD，利用平行线的性质去证明∠HGD=∠FHD，利用等角对等边可推出DG=DH=AC，据此可证得结论.
（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）①解：如图2，过作，交延长线于，过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；②；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）②由①知：，，
F平分，
，
，由①知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； ．
【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解；
②利用角平分线的概念可表示出∠BAH，利用解直角三角形表示出AH、AG的长；再证明△GFB∽△AFC，利用相似三角形的性质，可表示出AF的长.
（2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到，
，从而得到，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
②利用同弧所对的圆周角相等可证∠B=∠Q，∠BAP=∠PCQ，可证得，利用相似三角形的性质及（2）①的结论，可证得结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑