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预习衔接.夯实基础 常用逻辑用语
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
2．（2023秋 越秀区期末）“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024秋 温江区校级期中）若命题p： x＞0，x2﹣4x+3＞0，则命题￢p为（　　）
A． x＞0，x2﹣4x+3≥0 B． x≤0，x2﹣4x+3≤0
C． x＞0，x2﹣4x+3≤0 D． x≤0，x2﹣4x+3≤0
4．（2024秋 辽宁期中）已知命题p： x∈R，|x﹣1|＜1，命题q： x∈R，x2﹣x+1＜0，则（　　）
A．命题p和命题q都是真命题
B．命题p的否定和命题q都是真命题
C．命题q的否定和命题p都是真命题
D．命题p的否定和命题q的否定都是真命题
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 辽宁期中）若p：mx+1＝0是q：x2+x﹣6＝0的充分不必要条件，则实数m的值可以为（　　）
A．2 B． C． D．0
（多选）6．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
（多选）7．（2024秋 重庆期中）已知p：“ x∈N，2x+1是奇数”，q：“ x∈N，3x+1是偶数”，则（　　）
A．￢p：“ x∈N，2x+1是偶数”
B．￢p：“ x∈N，2x+1是偶数”
C．￢q：“ x∈N，3x+1是奇数”
D．￢q：“ x∈N，3x+1是奇数”
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）设α：1≤x≤4，β：x＜m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是 　 　．
9．（2024秋 景德镇期中）命题“ x＞0，x2﹣2x+1＞0”的否定是　 　．
10．（2024秋 朝阳期中）命题“”的否定是 　 　．
11．（2024秋 闵行区校级期中）“若a+b＞1且ab＞1，则a＞1且b＞1”是 　 　命题．（填“真”或“假”）
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 南通期中）已知集合，集合B＝{x|3m﹣2 x m+2}．
（1）若m＝1，求A∪（ RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
13．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
14．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
15．（2024秋 余江区校级期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}．
（1）若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
预习衔接.夯实基础 常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
【考点】求全称量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据特值可判断命题p的真假，再结合命题的否定的概念可得 p．
【解答】解：命题p： x∈Q，，
则命题p的否定为 p： x∈Q，，
由4∈Q，，则命题p为假命题．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
2．（2023秋 越秀区期末）“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】A
【分析】由不等式的性质结合充分不必要的条件即可得解．
【解答】解：若（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＞x2+y2，则xy＜0，所以y＜0＜x或者x＜0＜y，
所以“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3．（2024秋 温江区校级期中）若命题p： x＞0，x2﹣4x+3＞0，则命题￢p为（　　）
A． x＞0，x2﹣4x+3≥0 B． x≤0，x2﹣4x+3≤0
C． x＞0，x2﹣4x+3≤0 D． x≤0，x2﹣4x+3≤0
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：命题p： x＞0，x2﹣4x+3＞0，
则题￢p： x＞0，x2﹣4x+3≤0．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
4．（2024秋 辽宁期中）已知命题p： x∈R，|x﹣1|＜1，命题q： x∈R，x2﹣x+1＜0，则（　　）
A．命题p和命题q都是真命题
B．命题p的否定和命题q都是真命题
C．命题q的否定和命题p都是真命题
D．命题p的否定和命题q的否定都是真命题
【考点】全称量词命题的真假判断；存在量词命题的真假判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】D
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解．
【解答】解：对于命题p： x∈R，|x﹣1|＜1，当x≤0或x≥2时，|x﹣1|≥1，故命题p是假命题，命题p的否定为真命题；
对于命题q： x∈R，x2﹣x+1＜0，因为，所以命题q为假命题，命题q的否定为真命题；
综上可得：命题p的否定和命题q的否定都是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定及命题真假关系的判断，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 辽宁期中）若p：mx+1＝0是q：x2+x﹣6＝0的充分不必要条件，则实数m的值可以为（　　）
A．2 B． C． D．0
【考点】充分不必要条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解．
【解答】解：由x2+x﹣6＝0可得x＝2或x＝﹣3，
若p是q的充分不必要条件，
则mx+1＝0无解或解x＝2或x＝﹣3，
故m＝0或m或m．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了充分必要性的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＞b，当c＝0时，推不出ac2＞bc2，所以A错误；
对于B，由ac2＞bc2，得到（a﹣b）c2＞0，又c2＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b，
所以ac2＞bc2可以推出a＞b，由选项A知a＞b推不出ac2＞bc2，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；
对于C，易知a＜b＜0可以推出，取a＝2，b＝3，显然满足，
但不满足a＜b＜0，即推不出a＜b＜0，所以p是q的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由C的结论，推不出a＜b＜0，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及命题真假的判断，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 重庆期中）已知p：“ x∈N，2x+1是奇数”，q：“ x∈N，3x+1是偶数”，则（　　）
A．￢p：“ x∈N，2x+1是偶数”
B．￢p：“ x∈N，2x+1是偶数”
C．￢q：“ x∈N，3x+1是奇数”
D．￢q：“ x∈N，3x+1是奇数”
【考点】求全称量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】BD
【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得．
【解答】解：由q：“ x∈N，3x+1是偶数”，
则 q：“ x∈N，3x+1是奇数”，故C错误，D正确，
由p：“ x∈N，2x+1是奇数”，
则 p： x∈N，2x+1是偶数”，故A错误，B正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的否定，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）设α：1≤x≤4，β：x＜m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是 　（4，+∞）　．
【考点】充分条件的应用与判定定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】（4，+∞）．
【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，由α是β的充分条件，且α：1≤x≤4，β：x＜m，
可得：{x|1≤x≤4} {x|x＜m}，
必有m＞4，即m的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的关系，属于基础题．
9．（2024秋 景德镇期中）命题“ x＞0，x2﹣2x+1＞0”的否定是　 x＞0，x2﹣2x+1≤1　．
【考点】存在量词命题的否定；存在量词和存在量词命题．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要否定量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式．
【解答】解：特称命题的否定是全称命题，
既要否定量词，又要否定结论
故命题“ x＞0，x2﹣2x+1＞0”的否定是“ x＞0，x2﹣2x+1≤1”
故答案为： x＞0，x2﹣2x+1≤1
【点评】本题考查的知识点是特称命题，命题的否定，熟练掌握特称命题的否定方法是解答的关键．
10．（2024秋 朝阳期中）命题“”的否定是 　　．
【考点】全称量词命题的否定．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】．
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定．
【解答】解：根据“ x∈M，P（x）”的否定是“ x∈M， P（x），
可得命题“”的否定是“”．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
11．（2024秋 闵行区校级期中）“若a+b＞1且ab＞1，则a＞1且b＞1”是 　假　命题．（填“真”或“假”）
【考点】全称量词命题真假的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】假．
【分析】直接取特殊值验证即可．
【解答】解：当时，a+b＞1且ab＞1，
显然不满足b＞1，为假命题．
故答案为：假．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 南通期中）已知集合，集合B＝{x|3m﹣2 x m+2}．
（1）若m＝1，求A∪（ RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用；解一元二次不等式；集合的交并补混合运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）（，1）；
（2）[0，]．
【分析】（1）根据题意，求出集合A、B，进而计算可得答案；
（2）根据题意，由充分必要条件与集合的关系，可得A B，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，集合（，2），
若m＝1，则B＝[1，3]，
故A∪（ RB）＝（﹣∞，2）∪（3，+∞）；
（2）根据题意，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A B，
则有，解可得0≤m，
即m的取值范围为[0，]．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的混合运算，属于基础题．
13．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【考点】充要条件的应用；解一元二次不等式；集合的包含关系的应用；集合交集关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）不存在；
（2）{m|m≤0}．
【分析】（1）结合充要条件与集合相等关系的转化即可求解；
（2）结合集合交集性质即可求解．
【解答】解：（1）因为P＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
若存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以，此时m不存在；
（2）若存在实数m，使P∩S＝S，则S P，
当S＝ 时，1﹣m＞1+m，即m＜0，
当S≠ 时，，解得m＝0，
综上，m的范围为{m|m≤0}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，属于基础题．
14．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要不充分条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】（1）（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）；（2）{a|}．
【分析】（1）根据必要不充分条件转化为B是A的真子集，即可对集合B分空集和非空集讨论求解，
（2）因式分解求解集合A，即可利用A B，列不等式求解．
【解答】解：（1）由x∈A是x∈B的必要不充分条件，得B A，
A＝{x|x2﹣4x＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，
当B＝ 时，a+1≤2a﹣10，解得a≥11，满足题意；
当B≠ 时，或，解得a≤﹣1或7≤a＜11，
综上所述，a∈（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）．
（2）由x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0可得（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，
解得a≤x≤a+1，所以A＝{x|a≤x≤a+1}；
由，得，等价于，解得，
令B，
∵已知A是B的充分不必要条件，故A B，
∴，即，
故a的范围为{a|}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的应用，属于中档题．
15．（2024秋 余江区校级期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}．
（1）若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件的判断；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】（1）[0，4]；
（2）（﹣∞，﹣4]∪[8，+∞）．
【分析】（1）x∈B成立的一个必要条件是x∈A，则B A，求解即可；
（2）由A∩B＝ ，则m+2≤﹣2或m﹣2≥6，求解即可．
【解答】解：（1）若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，所以B A，
因为集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}．
则，所以0≤m≤4，
故实数m的取值范围[0，4]．
（2）若A∩B＝ ，则m+2≤﹣2或m﹣2≥6，
所以m≤﹣4或m≥8，
故实数m的取值范围（﹣∞，﹣4]∪[8，+∞）．
【点评】本题主要考查必要条件的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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