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预习衔接.夯实基础 不等式
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）存在三个实数a1，a2，a3，满足下列两个等式：①a1a2a3＝2；②a1+a2+a3＝0，其中M表示这三个实数a1，a2，a3中的最大值，则（　　）
A．M的最大值是2 B．M的最小值是2
C．M的最大值是 D．M的最小值是
2．（2024秋 景德镇期中）若a＞b，c＞d，下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＜d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣c＜a﹣d
3．（2024秋 宿州期中）已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
4．（2024秋 朝阳区期中）若函数在x＝a处取得最小值，则a＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 惠城区校级期中）已知a＞b＞0，则下列选项正确的是（　　）
A． B．a+b＞2b C． D．2a﹣b＞0
（多选）6．（2024秋 南宁期中）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则2﹣a＜2﹣b
D．若a＞b，则
（多选）7．（2024秋 江北区校级期中）已知关于x的方程mx2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0
B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1或m＜﹣3
C．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）设实数a，b为常数，已知等式2x2+3x+5＝a（2x+1）（x+1）+b恒成立，则a+b＝ 　 　．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）已知实数a＞b＞c，a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，则c的取值范围为 　 　．
10．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　 　．
11．（2024春 忻州期末）若正实数a，b满足4a+b＝ab，则4a+b的最小值是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 惠城区校级期中）已知二次函数f（x）的最小值为，且﹣1是其一个零点， x∈R都有．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1），其中m∈R．
13．（2024秋 杭州期中）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝x2﹣（2a+b）x+2ab．
（1）若f（1）＝1，求a+2b的最小值；
（2）若f（0）＝4，求不等式f（x）≥0的解集（用a表示）．
14．（2024秋 惠城区校级期中）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）若函数g（x）＝ax2﹣（b+3）x+3，x∈[﹣1，3]，求g（x）值域．
15．（2024秋 平罗县校级期中）若正实数a，b满足：a+b＝2．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
预习衔接.夯实基础 不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）存在三个实数a1，a2，a3，满足下列两个等式：①a1a2a3＝2；②a1+a2+a3＝0，其中M表示这三个实数a1，a2，a3中的最大值，则（　　）
A．M的最大值是2 B．M的最小值是2
C．M的最大值是 D．M的最小值是
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】首先分析出a1，a2，a3的正负，再根据条件，利用基本不等式转化为关于a3的不等式，即可求解．
【解答】解：由题意可知a1，a2，a3中有2个负数，1个正数，
不妨设a1，a2是负数，a3＞0，则M＝a3，
所以，则，且a1a2a3＝2，
所以，即a3≥2，
所以M的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
2．（2024秋 景德镇期中）若a＞b，c＞d，下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＜d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣c＜a﹣d
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】结合不等式的基本性质求解．
【解答】解：已知a＞b，c＞d，
对于A，a﹣b＞0＞d﹣c，
即A错误；
对于B，不妨取a＝2，b＝0，c＝3，d＝0，
则a+d＜b+c，
即B错误；
对于C，不妨取a＝2，b＝0，c＝3，d＝0，
则a﹣c＜b﹣d，
即C错误；
对于D，因为c＞d，
则﹣c＜﹣d，
则a﹣c＜a﹣d，
即D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
3．（2024秋 宿州期中）已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出a+2b的最小值．
【解答】解：正数a，b满足，
则，
当且仅当且，即a＝3，b＝3，
故a+2b取得最小值9．
故选：A．
【点评】本题主要考查基本不等式公式的应用，属于基础题．
4．（2024秋 朝阳区期中）若函数在x＝a处取得最小值，则a＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x4，当且仅当x，即x＝2时取等号，
所以a＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 惠城区校级期中）已知a＞b＞0，则下列选项正确的是（　　）
A． B．a+b＞2b C． D．2a﹣b＞0
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据a＞b＞0结合不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A选项：∵a＞b＞0，
∴，
∴，
故A正确；
对于B选项：∵a＞b＞0，
∴a+b＞b+b＝2b，
∴a+b＞2b，
故B正确；
对于C选项：由a＞b＞0，
可取a＝0.5，b＝0.25，
此时，
故C错误；
对于D选项：∵a＞b＞0，
∴2a＞2b＞b，
∴2a﹣b＞0，
故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
（多选）6．（2024秋 南宁期中）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则2﹣a＜2﹣b
D．若a＞b，则
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BC
【分析】举出反例检验选项A，D，结合不等式性质检验选项B，C即可判断．
【解答】解：当c＝0时，A显然错误；
a＞b＞0时，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，
所以0＜b（a+1）＜a（b+1），
所以，B正确；
若a＞b，则2﹣a＜2﹣b，C正确；
若a＝1，b＝﹣1时，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 江北区校级期中）已知关于x的方程mx2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0
B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1或m＜﹣3
C．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可．
【解答】解：对于A：当m＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x＝1，只有一根，故A错误；
对于B：若方程mx2+（m﹣3）x+m＝0无实数根，则，
解得m＞1或m＜﹣3，故B正确；
对于C：方程有两个正根等价于，
解得0＜m≤1，故C正确；
对于D：当m＝3时，方程为x2+1＝0，方程无解，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布问题，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）设实数a，b为常数，已知等式2x2+3x+5＝a（2x+1）（x+1）+b恒成立，则a+b＝ 　5　．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】5．
【分析】对等式右边展开，结合等式对应项相等即可求解．
【解答】解：2x2+3x+5＝a（2x+1）（x+1）+b＝2ax2+3ax+a+b，
所以a+b＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了等式性质的应用，属于基础题．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）已知实数a＞b＞c，a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，则c的取值范围为 　　．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】．
【分析】确定ab+ac+bc＝0，得到a+b＝1﹣c，ab＝﹣c（1﹣c），根据方程根的关系得到（1﹣c）2+4c（1﹣c）≥0，解得答案．
【解答】解：因为a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，
所以（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝a2+b2+c2，
即1﹣2（ab+ac+bc）＝1，
故ab+ac+bc＝0，
又a+b＝1﹣c，ab＝﹣ac﹣bc＝﹣c（a+b）＝﹣c（1﹣c），
将a，b看成方程x2﹣（1﹣c）x﹣c（1﹣c）＝0的两根，则Δ≥0，
即（1﹣c）2+4c（1﹣c）≥0，故（c﹣1）（1+3c）≤0，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了方程根的存在条件的应用属于中档题．
10．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　（1，2）　．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1，2）．
【分析】由题意可知﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，进而求出不等式x2+bx+a＜0的解集．
【解答】解：因为关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，
由韦达定理可得，，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以不等式x2+bx+a＜0可化为x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式x2+bx+a＜0的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
11．（2024春 忻州期末）若正实数a，b满足4a+b＝ab，则4a+b的最小值是 　16　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】16．
【分析】由基本不等式得到，将4a+b＝ab代入，求出最小值．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，由基本不等式得，
即，解得4a+b≥16，
当且仅当4a＝b，即a＝2，b＝8时，等号成立．
故答案为：16．
【点评】本题考查了基本不等式求最值的相关知识，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 惠城区校级期中）已知二次函数f（x）的最小值为，且﹣1是其一个零点， x∈R都有．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1），其中m∈R．
【考点】二次函数的应用．
【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝x2﹣x﹣2；
（2）当m＜0时，原不等式的解集为；
当m＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，1）；
当0＜m≤2时，原不等式的解集为；
当m＞2时，原不等式的解集为．
【分析】（1）根据给定条件，求出二次函数f（x）图象的对称轴，利用顶点式设解析式，再结合零点求解；
（2）由（1）的结论，分类求解含参数的一元二次不等式即得．
【解答】解：（1）由 x∈R都有，得二次函数f（x）的图象对称轴为，
又f（x）的最小值为，设，f（x）＝a（x）2，
由﹣1是f（x）的一个零点，得f（﹣1）＝a（﹣1）20，解得a＝1，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x﹣2；
（2）由（1）知，不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1） m（x2﹣x﹣2）＞2（x﹣m﹣1），
整理得mx2﹣（m+2）x+2＞0，即（mx﹣2）（x﹣1）＞0，
当m＜0时，不等式化为，解得；
当m＝0时，﹣2（x﹣1）＞0，解得x＜1；
当m＞0时，不等式化为，
当0＜m＜2时，解得x＜1或；
当m＝2时，解得x≠1；当m＞2时，解得或x＞1，
综上所述：当m＜0时，原不等式的解集为；
当m＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，1）；
当0＜m≤2时，原不等式的解集为；
当m＞2时，原不等式的解集为．
【点评】本题考查分类讨论求不等式的解集，属于基础题．
13．（2024秋 杭州期中）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝x2﹣（2a+b）x+2ab．
（1）若f（1）＝1，求a+2b的最小值；
（2）若f（0）＝4，求不等式f（x）≥0的解集（用a表示）．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）当0＜a＜1时，原不等式的解集为，当a＝1时，原不等式的解集为R；当a＞1时，原不等式的解集为．
【分析】（1）由f（1）＝1得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
（2）由f（0）＝4得到ab＝2，即代入不等式中分类讨论解不等式即可．
【解答】解：（1）由f（1）＝1，得1﹣（2a+b）+2ab＝1，即，而a＞0，b＞0，
则，
当且仅当时取等号，所以当时，a+2b取得最小值；
（2）由f（0）＝4，得ab＝2，即，不等式，
当0＜a＜1时，解得x≤2a或；当a＝1时，x∈R；当a＞1时，解得或x≥2a，
所以当0＜a＜1时，原不等式的解集为，
当a＝1时，原不等式的解集为R；
当a＞1时，原不等式的解集为．
【点评】本题考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，属于基础题．
14．（2024秋 惠城区校级期中）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）若函数g（x）＝ax2﹣（b+3）x+3，x∈[﹣1，3]，求g（x）值域．
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1，b＝2；
（2）．
【分析】（1）由不等式ax2﹣3x+2＞0的解集知ax2﹣3x+2＝0的两个根，根据方程根的定义或韦达定理便可得到a、b的值；
（2）先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最小值，从而确定值域．
【解答】解：（1）由题意可知，方程ax2﹣3x+2＝0的根为1，b，且a＞0，
所以，
解得a＝1，b＝2；
（2）因为a＝1，b＝2，
所以，x∈[﹣1，3]，
抛物线g（x）＝x2﹣5x+3开口向上，对称轴为．
因为，所以，
又g（﹣1）＝9，g（3）＝﹣3，
所以g（x）max＝9．
所以g（x）函数的值域为．
【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了二次函数的性质，属于中档题．
15．（2024秋 平罗县校级期中）若正实数a，b满足：a+b＝2．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）2．
【分析】（1）利用基本不等式，求ab的最大值；
（2）由，利用基本不等式求的最小值；
（3）由，利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：（1）正实数a，b满足a+b＝2，
则ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，
所以ab的最大值为1．
（2），
当且仅当且a+b＝2，即时等号成立，
所以的最小值为．
（3）正实数a，b满足a+b＝2，
，
，当且仅当且a+b＝2，即a＝b＝1时等号成立，
所以（）2≥4，
则，
所以的最小值为2．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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