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3.3　幂函数
一、选择题
1．若幂函数f (x)＝(9m－2)xm，则m＝(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．1
2．若幂函数y＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　)
A．－2 　 B．2
C． 　 D．
3．已知函数f (x)＝则y＝－f (x)的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
4．设α∈，则使f (x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
5．(多选)幂函数f (x)＝(m2＋m－1)x－m-1，m∈N*，则下列结论正确的是(　　)
A．m＝1
B．函数f (x)是偶函数
C．f (－2)＜f (3)
D．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
6．已知幂函数f (x)＝(m2－m－1)x1-m在(0，＋∞)上单调递减，则函数g(x)＝(x－3)f (x)在区间上的最小值是(　　)
A．－1 　 B．－2
C．－4 　 D．－8
7．给出幂函数：①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
8．已知幂函数f (x)＝，且0A．f (a2)B．f C．f (a2)D．f 二、填空题
9．已知幂函数f (x)＝(m2－m－1)xm的图象是轴对称图形，则实数m＝________．
10．已知幂函数f (x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)的解析式可以为________．(写出一个即可)
11．已知幂函数f (x)的图象过点，且f (2b－1)12．已知函数f (x)＝若f (x)在R上具有单调性，则a的取值范围是________．
三、解答题
13．(源自湘教版教材)比较下列各组中两个数的大小：
(1)1.51.4，1.61.4；
(2)1.50.4，1.60.4；
(3)1.5-1.5，1.6-1.5．
14．点(，3)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f (x)>g(x)；f (x)＝g(x)；f (x)15．已知幂函数f (x)＝(m2＋3m－9)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若>，求实数a的取值范围．
答案解析
1．A　[根据幂函数定义可知，9m－2＝1，解得m＝．故选A．]
2．D　[y＝x-2>0，图象不经过第三象限，A不符合题意；y＝x2≥0，图象不经过第三象限，B不符合题意；y＝≥0，图象不经过第三象限，C不符合题意；y＝(x∈R)为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，符合题意．故选D．]
3．C　[
结合题意可得：当x<0时，f(x)＝x-2＝为幂函数，在(－∞，0)上单调递增；当x≥0时，f(x)＝为幂函数，在[0，＋∞)上单调递增．故函数f(x)＝的图象如图所示．
要得到y＝－f(x)的图象，只需将y＝f(x)的图象沿x轴向下翻折即可．故选C．]
4．A　[∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，1，3．
又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴α＝－1，故符合题意的α的值的个数为1．]
5．ABD　[因为f(x)＝(m2＋m－1)x-m-1是幂函数，且m∈N*，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1(负值舍去)，则f(x)＝x-2，A正确；
又f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝f(x)，B正确；
又f(－2)＝，f(3)＝，则f(－2)>f(3)，C错误；
由f(x)＝x-2＝>0，可知D正确．故选ABD．]
6．D　[由已知可得解得m＝2，
所以f(x)＝x-1，g(x)＝(x－3)·x-1＝－3x-1＋1．
所以g(x)在区间上单调递增，所以g(x)的最小值为g(-1＋1＝－8．故选D．]
7．A　[①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f(；②在第一象限，函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(；④在第一象限，函数f(x)＝的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(．故选A．]
8．C　[f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为01>b2>a2>0，
所以f(>f(b2)>f(a2)．故选C．]
9．2　[因为f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝－1或m＝2，
当m＝－1时，f(x)＝x-1＝为奇函数，不满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，满足题意．
所以m＝2．]
10．f(x)＝x3(答案不唯一)　[举例f(x)＝x3，因为其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
则f(x)＝x3为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增．]
11．(1，2)　[设f(x)＝xα，α∈R，
因为幂函数f(x)的图象过点(2，，
所以＝2α，解得α＝－，
所以f(x)＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(2b－1)所以2b－1>2－b>0，解得112．[－2，0]　[因为y＝x3在定义域上为增函数，所以f(x)在R上为增函数，
又因为y＝－x2＋2a在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，
所以要使f(x)在R上为增函数，则解得－2≤a≤0．
故a的取值范围是[－2，0]．]
13．解：(1)1.51.4，1.61.4可看作幂函数y＝x1.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.51.4<1.61.4．
(2)1.50.4，1.60.4可看作幂函数y＝x0.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上单调递增，由于底数1.5<1.6，所以1.50.4<1.60.4．
(3)1.5-1.5，1.6-1.5可看作幂函数y＝x-1.5的两个函数值．该函数在(0，＋∞)上单调递减，由于底数1.5<1.6，所以1.5-1.5>1.6-1.5．
14．解：
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ．
因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，
所以f(x)＝x2，g(x)＝x-1．
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0，1)时，f(x)15．解：(1)由于函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm-1是幂函数，故m2＋3m－9＝1，
解得m＝2或m＝－5，
当m＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当m＝－5时，f(x)＝x-6在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故f(x)＝x-6．
(2)由(1)知m＝－5，则(2－a>(2a－1，
幂函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，
所以≤a<1，即a的取值范围为[，1)．
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