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预习衔接.夯实基础 函数的表示方法
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 辽宁期中）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 津南区校级期中）函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 越秀区期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 九龙坡区校级模拟）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 荔湾区校级期中）函数f（x）＝|ax﹣a|（a＞0，且a≠1）的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）6．（2024秋 绍兴期中）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x
C．y＝2x与y＝3 2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）
（多选）7．（2024秋 辽宁期中）下列选项中正确的是（　　）
A．函数的定义域为
B．函数的对称中心为（1，1）
C．已知函数f（x）﹣2f（3﹣x）＝2x+1，则
D．函数f（x）＝x﹣[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x最大整数，则函数f（x）的最大值为l
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）若对于任意的实数a，关于x的不等式|x+a|≥m在区间[1，2]上总有解，则实数m的取值范围是 　 　．
9．（2024秋 南岗区校级期中）已知一次函数f（x）满足f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣2，则f（x）的解析式为 　 　．
10．（2024秋 平罗县校级期中）已知f（x+1）＝x2﹣3x+2，则f（x）＝　 　．
11．（2024秋 大兴区期中）定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是f（x）＝ 　 　，g（x）＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）如图，△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，且OA＝4．动直线x＝t与△OAB的边共有两个公共点，即0＜t＜4，在△OAB内且位于直线x＝t右侧的区域面积为f（t）．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x+2）﹣2，证明：g（x）是奇函数．
13．（2024秋 新吴区校级期中）（1）函数y＝f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+8，求f（x）的解析式；
（2）已知函数的定义域为（﹣2，2），且，判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
14．（2024秋 宜城市期中）求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式；
（3）已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＝x2+x+1．求函数f（x）的解析式．
15．（2024秋 甘肃期中）设函数f（x）＝2|x|+x﹣2．
（1）将函数f（x）写成分段函数的形式并画出其图象；
（2）写出函数f（x）的单调区间和值域．
预习衔接.夯实基础 函数的表示方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 辽宁期中）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由函数解析式求解函数图象．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得．
【解答】解：函数，定义域为{x|x≠0}，
又因为，
所以函数为偶函数，排除B、D，
当x＝π时，有，排除A．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题．
2．（2024秋 津南区校级期中）函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由函数解析式求解函数图象．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】B
【分析】由函数的解析式，可得函数的定义域，再判断出函数为奇函数，排除CD；再由当x＞0的函数值为正，排除A；进而判断出只有B正确．
【解答】解：由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x≠0}，
又因为f（﹣x）f（x），
所以函数f（x）为奇函数，即函数关于原点对称，
所以排除CD，
又因为x＞0时，f（x）＞0，排除A．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断及大致图象的判断，属于基础题．
3．（2024秋 越秀区期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】根据题意，对B选项，根据f（x）确定a＜0，二次函数开口向下，可得B不成立，对于A、C、D，结合幂函数和二次函数性质分析可得其正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，，当a≠0时，二次函数g（x）对称轴为，
对于A：根据f（x）确定a＜0，二次函数开口向下，对称轴在y轴右边，满足；
对于B：根据f（x）确定a＜0，二次函数开口向下，不满足；
对于C：根据f（x）确定0＜a＜1，二次函数开口向上，对称轴在y轴左边，满足；
对于D：取a＝2，则，，满足图像．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及幂函数、二次函数的性质，属于基础题．
4．（2024 九龙坡区校级模拟）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．
能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 荔湾区校级期中）函数f（x）＝|ax﹣a|（a＞0，且a≠1）的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由函数解析式求解函数图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据函数图象变换规律即可得判断．
【解答】解：当a＞1时，y＝|ax﹣a|的图象如图 （1）所示，故C正确．当0＜a＜1时，y＝|ax﹣a|的图象如图（2）所示．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的图象，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 绍兴期中）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x
C．y＝2x与y＝3 2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）
【考点】函数图象的简单变换．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据题意，由函数图象平移的规律依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sin（x+π）＝﹣sinx，将y＝sinx向左平移π可得y＝﹣sinx的图象，符合题意；
对于B，假设y＝（x+a）3+b＝x3﹣x，变形可得x3+3ax2+3a2x+a3+b＝x3﹣x，不存在a、b的值满足该式，
故y＝x3与y＝x3﹣x不能通过平移重合，不符合题意；
对于C，2x3 2x，则y＝2x与y＝3 2x能通过平移重合，符合题意；
对于D，y＝lg（3x）＝lgx+lg3，将y＝lgx的图象向上平移lg3个单位，可得y＝lg（3x）的图象，符合题意．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数图象的变换，涉及指数、对数的运算以及三角函数的变形，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 辽宁期中）下列选项中正确的是（　　）
A．函数的定义域为
B．函数的对称中心为（1，1）
C．已知函数f（x）﹣2f（3﹣x）＝2x+1，则
D．函数f（x）＝x﹣[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x最大整数，则函数f（x）的最大值为l
【考点】函数解析式的求解及常用方法；简单函数的定义域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，令2x+3＞0即可判断；对于B，在x＝0处有定义，但在x＝2处无定义，由方程组法即可判断C，对x进行适当划分即可判断D．
【解答】解：A项，函数有意义，则2x+3＞0，，则函数的定义域为，故A正确；
B项，函数在x＝1处有定义，但在x＝2处无定义，对称中心为（2，2），所以B错误；
C项，，故C正确；
D项， x∈R， k∈Z，使得k≤x＜k+1，从而f（x）＝x﹣[x]＝x﹣k＜1恒成立，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）若对于任意的实数a，关于x的不等式|x+a|≥m在区间[1，2]上总有解，则实数m的取值范围是 　　．
【考点】函数图象的简单变换．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】将不等式|x+a|≥m在区间[1，2]上有解问题转化为函数f（x）＝|x+a|最值问题，将任意的实数a不等式总有解问题转化为m≤g（a）恒成立问题求解可得．
【解答】解：设f（x）＝|x+a|，x∈[1，2]．
则关于x的不等式|x+a|≥m在区间[1，2]上有解 m≤f（x）max．
分别画出函数f（x）＝|x+a|在[1，2]上的图象，
图1，图2，图3，图4，分别为﹣a＜0，1＜﹣a＜2，1＜﹣a＜2，﹣a＞2的情形，
得 ，即．
设，
由题意，对于任意的实数a，关于x的不等式|x+a|≥m在区间[1，2]上总有解，
则m≤g（a），a∈R恒成立，故m≤g（a）min．
作出函数g（a）的图象，则，所以．
故实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式存在问题，属于中档题．
9．（2024秋 南岗区校级期中）已知一次函数f（x）满足f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣2，则f（x）的解析式为 　f（x）＝﹣2x﹣2　．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】f（x）＝﹣2x﹣2．
【分析】根据待定系数法可解．
【解答】解：设一次函数f（x）＝kx+b，
又f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣2，
则，
则k＝﹣2，b＝﹣2，
则f（x）＝﹣2x﹣2．
故答案为：f（x）＝﹣2x﹣2．
【点评】本题考查一次函数相关知识，属于基础题．
10．（2024秋 平罗县校级期中）已知f（x+1）＝x2﹣3x+2，则f（x）＝　x2﹣5x+6　．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设x+1＝t，则x＝t﹣1，由f（x+1）＝x2﹣3x+2，知f（t）＝（t﹣1）2﹣3（t﹣1）+2，由此能求出f（x）．
【解答】解：设x+1＝t，则x＝t﹣1，
∵f（x+1）＝x2﹣3x+2，
∴f（t）＝（t﹣1）2﹣3（t﹣1）+2
＝t2﹣5t+6，
∴f（x）＝x2﹣5x+6．
故答案为：x2﹣5x+6．
【点评】本题考查函数解析式的求解及其常用方法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
11．（2024秋 大兴区期中）定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是f（x）＝ 　x　，g（x）＝ 　2x　．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】x；2x（答案不唯一）．
【分析】根据定义域、值域相同即可得解．
【解答】解：根据定义域相同，值域相同，可取f（x）＝x，g（x）＝2x，
两个函数的定义域、值域都是R，但对应关系不同．
故答案为：x；2x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了函数的定义域和值域，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）如图，△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，且OA＝4．动直线x＝t与△OAB的边共有两个公共点，即0＜t＜4，在△OAB内且位于直线x＝t右侧的区域面积为f（t）．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x+2）﹣2，证明：g（x）是奇函数．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数f（t）的解析式；
（2）由（1）中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果．
【解答】解：（1）因为△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，且|OA|＝4，得到，所以，
当0＜t＜2时，，当t＝2时，f（t）＝2，当2＜t＜4时，，
所以．
（2）证明：因为g（x）＝f（x+2）﹣2，由（1）知，
所以，
当x＝0时，﹣x＝0，则g（﹣x）＝0，
当0＜x＜2时，﹣2＜﹣x＜0，，
当﹣2＜x＜0时，0＜﹣x＜2，则，
所以，故g（﹣x）＝g（x），又g（x）的定义域为[﹣2，2]，关于原点对称，
所以g（x）是奇函数．
【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．
13．（2024秋 新吴区校级期中）（1）函数y＝f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+8，求f（x）的解析式；
（2）已知函数的定义域为（﹣2，2），且，判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；定义法求解函数的单调性．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣4；
（2）证明见解析，f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．
【分析】（1）函数y＝f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+8，求f（x）的解析式；
（2）已知函数的定义域为（﹣2，2），且，判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
【解答】解：（1）函数y＝f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+8，
设f（x）＝ax+b，则f[f（x）]＝f（ax+b）＝a（ax+b）+b，
∴a2x+ab+b＝9x+8，∴
，解得，或，∴f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣4；
（2）∵，即，∴a＝2．
x1，x2∈（﹣2，2），且x1＜x2，有
，
由于﹣2＜x1＜x2＜2，∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．
【点评】本题考查函数解析式以及函数单调性证明，属于中档题．
14．（2024秋 宜城市期中）求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式；
（3）已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＝x2+x+1．求函数f（x）的解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝x+3；
（2）f（x）＝x2﹣1（x≥1）；
（3）．
【分析】（1）由已知设函数f（x）＝kx+b（k≠0），代入3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9列方程组求解即可；
（2）利用换元法令，代入求解即可；
（3）利用奇函数的定义求解析式，即当x＜0时，有﹣x＞0，利用f（﹣x）求f（x）即可．
【解答】解：（1）设函数f（x）＝kx+b（k≠0），因为3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，
所以3（kx+k+b）﹣（kx+b）＝2kx+3k+2b＝2x+9，
所以，解得，
所以f（x）＝x+3；
（2）令，t≥1，则，即x＝（t﹣1）2，
因为，
则f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）＝t2﹣2t+1+2t﹣2＝t2﹣1，
所以f（x）＝x2﹣1（x≥1）．
（3）奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，又当x＞0时，f（x）＝x2+x+1，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2﹣x+1＝x2﹣x+1，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x﹣1，
故．
【点评】本题考查求函数解析式，属于中档题．
15．（2024秋 甘肃期中）设函数f（x）＝2|x|+x﹣2．
（1）将函数f（x）写成分段函数的形式并画出其图象；
（2）写出函数f（x）的单调区间和值域．
【考点】函数的图象与图象的变换；函数的单调性与函数图象的特征；函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），图象见解析．
（2）单调递增区间为[0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），值域为[﹣2，+∞）．
【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象；
（2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以f（x）的图象如下所示：
（2）由（1）中函数图象可知，f（x）的单调递增区间为[0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），
又f（0）＝﹣2，所以f（x）的值域为[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数的图象以及函数的单调性，函数的最值的求法，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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