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预习衔接.夯实基础 对数函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）已知a＝log20232024，b＝log20242025，c＝log20252026，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
2．（2024秋 T8联考月考）已知正数a，b，c满足aea＝blnb＝eclnc＝1，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
3．（2024 宝山区三模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝lnx B．y＝tanx C．y＝x3+x D．
4．（2024秋 菏泽期中）过曲线y＝log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线y＝log3x于点B，C，若直线BC过原点，则其斜率为（　　）
A．1 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
（多选）6．（2024秋 大理市校级期中）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数
D．f（x）在（﹣1，1）上是减函数
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　 　．
9．（2024秋 房山区期末）函数y＝ln（1﹣2x）的定义域是 　 　．
10．（2024秋 西城区校级期中）已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　 　．
11．（2024秋 石景山区期末）函数的定义域为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
13．（2024秋 越秀区期末）已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）当时，解不等式f（x）+log25＞0；
（2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由．
14．（2024秋 吕梁期中）已知函数．
（1）证明：曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）若函数在[﹣3，3]上有三个零点，求实数a的取值范围．
15．（2024秋 孝南区校级期末）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
预习衔接.夯实基础 对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）已知a＝log20232024，b＝log20242025，c＝log20252026，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为，2025＞2024＞2023，
所以log2025log2024log2023，
所以1+log20251+log20241+log2023，
即log20252026＜log20242025＜log20232024，
所以c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数值大小的比较，属于基础题．
2．（2024秋 T8联考月考）已知正数a，b，c满足aea＝blnb＝eclnc＝1，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题设等量关系易得b＞1，c＞1，0＜a＜1，再根据x＞1时y＝xlnx和y＝exlnx均单调递增及xlnx＜exlnx判断b，c大小，即可得答案．
【解答】解：由题设，易知b＞1，c＞1，0＜a＜1，排除选项A和B．
当x＞1时y＝xlnx和y＝exlnx均单调递增，且ex＞x＞1且lnx＞0，
则xlnx＜exlnx，故blnb＝eclnc＜eblnb，得c＜b．
综上，a＜c＜b．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
3．（2024 宝山区三模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝lnx B．y＝tanx C．y＝x3+x D．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；正切函数的单调性和周期性；奇函数偶函数的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
【解答】解：y＝lnx为对数函数，不为奇函数，故A错误；
y＝tanx为奇函数，在（kπ，kπ）（k∈Z）内为增函数，故B错误；
y＝x3+x为奇函数，且y′＝3x2+1＞0，可得y＝x3+x为增函数，故C正确；
y为奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）内为增函数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．
4．（2024秋 菏泽期中）过曲线y＝log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线y＝log3x于点B，C，若直线BC过原点，则其斜率为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】对数函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】首先根据点A的坐标表示点B，C的坐标，根据kOB＝kOC，即可求解．
【解答】解：过曲线y＝log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线y＝log3x于点B，C，若直线BC过原点，
设，过点A作x轴的平行线，交y＝log3x于点，
过点A作y轴的平行线交y＝log3x于点C（x0，log3x0），由题意可得，
解得x0＝4或x0＝1，经检验，x0＝1不符合，故其斜率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较；求全称量词命题的否定；复合函数的单调性；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合函数的解析式，即可求解；对于C，结合复合函数的单调性，即可求解；对于D，结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（1，+∞），使得x2 1”，故A错误；
，
则f（1）＝f（2）＝f（3）＝f（4）＝log3（4﹣1）＝1，故B正确；
令x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1，
二次函数y＝x2﹣2x﹣3开口向上，对称轴为x＝1，
故函数的单调递增区间是[3，+∞），故C错误；
a＝log2（log381）＝2＝21，b，c，
y＝2x在R上单调递增，，
故b＜a＜c，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 大理市校级期中）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
【考点】对数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A，B项，对于C，D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式f（a）＞f（b）即得
【解答】解：依题意作出函数f（x）的图象，如图，
因f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，观察图形易判断A，B项正确；
对于C，D项，当a＞2时，若b≥2，则成立；
若1＜b＜2，则由f（a）＞f（b） |ln（a﹣1）|＞|ln（b﹣1）| ln（a﹣1）＞﹣ln（b﹣1），即ln[（a﹣1）（b﹣1）]＞0，
故得：ab﹣a﹣b+1＞1，则成立，故C项正确，D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数
D．f（x）在（﹣1，1）上是减函数
【考点】对数函数的图象；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】先求出f（x）的定义域，由f（﹣x）+f（x）＝0可判断A，B；由复合函数的单调性可判断C，D．
【解答】解：因为f（x）的定义域为：
，则﹣1＜x＜1，
f（﹣x）+f（x）0，
所以f（x）是奇函数，故A错误，B正确．
f（x），
令，则t在（﹣1，1）上单调递减，
又因为在定义域上单调递减，由复合函数的单调性知，
f（x）在（﹣1，1）上是增函数，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，复合函数的单调性，是中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　（0，4）　．
【考点】求对数函数的定义域；必要不充分条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，4）．
【分析】根据已知条件，对a分类讨论，并结合必要条件、充分条件的定义，即可求解．
【解答】解：条件p：log2（4x﹣x2）有意义，即4x﹣x2＞0，即0＜x＜4，
条件q：0，
当a＝2时，条件q无解，即x为空集，
当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x≤a}，
当a＜2时，不等式的解集为{x|a≤x＜2}，
p是q的必要不充分条件，
当a＝2时，符合题意，
当a＞2时，a＜4，
故2＜a＜4，
当a＜2时，
则a＞0，
故0＜a＜2，
综上所述，实数a的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
9．（2024秋 房山区期末）函数y＝ln（1﹣2x）的定义域是 　{x|x且x≠0}　．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】{x|x且x≠0}．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意得，，解得x且x≠0．
故答案为：{x|x且x≠0}．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
10．（2024秋 西城区校级期中）已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　8　．
【考点】求对数型复合函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据已知条件，可知f（x）在[0，+∞）上的最小值小于或等于3，然后判断其单调性，列出不等式求出a的范围．
【解答】解：当x＜0时，．
因为f（x）的值域为R，所以当x≥0时，f（x）min≤3．
当x≥0时，f（x）＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得[f（x）]min＝f（0）≤3，
即log2a≤3，解得log2a≤log223，可得0＜a≤8，因此a的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查函数的单调性与值域、分段函数的应用等知识，属于基础题．
11．（2024秋 石景山区期末）函数的定义域为 　（﹣3，4]　．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣3，4]．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：，
则，解得﹣3＜x≤4，
故函数f（x）的定义域为（﹣3，4]．
故答案为：（﹣3，4]．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞8}；
（2）{a|1＜a＜1或a＞1}．
【分析】（1）分x≤3、3＜x＜4、x≥4三种情况解不等式|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，由此可得出结果；
（2）解出使得N有意义时的取值范围是[﹣4，﹣1]，由题意可知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，通过去绝对值，再由a＞0且a≠1，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，M＝log2（|x﹣4|+|x﹣3|﹣9），
所以|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，
当x≤3时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣3）﹣9＝﹣2﹣2x＞0，解得x＜﹣1，所以x＜﹣1；
当3＜x＜4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝﹣8＜0，原不等式无解；
当x≥4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝2x﹣16＞0，解得x＞8，所以x＞8；
综上，实数x的取值集合是{x|x＜﹣1或x＞8}．
（2）因为，
所以，解得﹣4≤x≤﹣1，
由题意知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，
即|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＞9有解，
因为a＞0且a≠1，则a2＞2a﹣1＞﹣1，
所以|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＝a2﹣x+2a﹣1﹣x＝a2+2a﹣1﹣2x＞9，
即﹣2x+a2+2a﹣1＞9在x∈[﹣4，﹣1]时有解，所以a2+2a﹣2＞0，
又因a＞0且a≠1，解得且a≠1，
所以实数a的取值范围为{x|1＜a＜1或a＞1}．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13．（2024秋 越秀区期末）已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）当时，解不等式f（x）+log25＞0；
（2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由．
【考点】求对数函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|1＜x＜3}；
（2）实数m的取值范围为[，1）；
（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；
（2）根据对数函数性质求得f（x）在[3m，4m]上的最大值f（x）max，由f（x）max≤1可得；
（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．
【解答】解：（1）∵，
∴的定义域为（1，+∞）．
由，
化简得，解得，又x＞1，
∴所求不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
（2）对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，等价于f（x）max≤1，
∵，
设，
则t在[3m，4m]上是增函数，下面按照y＝logmt的单调性分类讨论：
当0＜m＜1时，f（x）在[3m，4m]上递减，则，解得，
当m＞1时，f（x）在[3m，4m]上递增，则，解得与m＞1矛盾，故舍去．
综上，实数m的取值范围为[，1）；
（3）∵，
∴f（x）在（，+∞）上递减，
∴，即，即关于x方程（x﹣m）（x﹣2m）＝x在（，+∞）上有两个不等的实根，设h（x）＝（x﹣m）（x﹣2m）﹣x＝x2﹣（3m+1）x+2m2，
则，即 m∈ ．
综上，不存在这样的α，β满足条件．
【点评】本题考查了对数函数的性质，一元二次方程根的分布问题，是中档题．
14．（2024秋 吕梁期中）已知函数．
（1）证明：曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）若函数在[﹣3，3]上有三个零点，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证明f（x）＝f（2﹣x），即可说明曲线y＝f（x）是轴对称图形；
（2）首先求出，然后将问题转化为y＝a与的图象在[﹣3，3]上有三个交点，结合h（x）的图象即可求出实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：由函数，定义域为R，
则，
因此可得f（x）＝f（2﹣x），
故函数y＝f（x）的图象关于x＝1，即曲线y＝f（x）是轴对称图形．
（2）解：由，
若函数在[﹣3，3]上有三个零点，
则方程在[﹣3，3]上有三个实根，
即在[﹣3，3]上有三个实根，
令，则y＝a与h（x）的图象在[﹣3，3]上有三个交点，
又h′（x）＝﹣2x2﹣2x+4＝﹣2（x+2）（x﹣1），
当﹣3≤x＜﹣2或1＜x≤3时，h′（x）＜0，
则h（x）在[﹣3，﹣2）和（1，3]上单调递减，
当﹣2＜x＜1时，h′（x）＞0，则h（x）在（﹣2，1）上单调递增，
又，，
，，
因此可得h（x）的图象如图所示，
结合图象，要使y＝a与h（x）的图象在[﹣3，3]上有三个交点，
则实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查对数型复合函数图象的应用，属于难题．
15．（2024秋 孝南区校级期末）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
【考点】由对数函数的最值求解参数；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）2或．
（2）答案详见解析．
【分析】（1）已知函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集．
【解答】解：（1）因为y＝logax在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2或．
（2）因为函数是（0，+∞）上的减函数，
所以，即，
当a＞1时，，原不等式解集为．
当0＜a＜1时，，原不等式解集为 ．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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