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预习衔接.夯实基础 三角函数的图象和性质
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 五华区校级期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（　　）
A．y＝cos（πx） B．y＝tan（πx） C．y＝sin（πx） D．y＝|sin（πx）|
2．（2024秋 即墨区期中）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
3．（2024秋 浙江期中）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，，当t＝45秒时，|PA|＝（　　）
A． B． C． D．4
4．（2024秋 长宁区期中）要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 青羊区校级期中）对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6
C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像
D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像
（多选）6．（2024秋 凤冈县期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．点是f（x）图象的一个对称中心
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）在上的值域为
D．将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos8x
（多选）7．（2024秋 辽宁期中）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．π不是f（x）的一个周期
C．f（x）在区间上单调递减
D．当时，f（x）的值域为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 苏州期中）已知函数在区间[0，1]上的值域为[m，n]，且n﹣m＝3，则ω的值为 　 　．
9．（2024秋 闵行区期中）函数的单调递增区间是 　 　．
10．（2024 荔湾区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx+ex﹣2（x＜0）与的图象上存在关于原点对称的点，则m的取值范围是 　 　．
11．（2024秋 普陀区校级期中）如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西城区校级期中）已知函数f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
13．（2024秋 河西区期中）已知函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象．
（i）求g（x）的解析式及g（）值；
（ii）求g（x）上[0，]的值域．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）若函数f（x）的图像向左平移个单位，得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间；
（2）设集合A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10 T}，求集合A中的元素个数．
15．（2024秋 越秀区期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，]，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
预习衔接.夯实基础 三角函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 五华区校级期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（　　）
A．y＝cos（πx） B．y＝tan（πx） C．y＝sin（πx） D．y＝|sin（πx）|
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性；余弦函数的对称性；正切函数的奇偶性与对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性与周期性逐项判断即可得结论．
【解答】解：对于A，函数y＝cos（πx）是偶函数，故不符合题意；
对于B，函数y＝tan（πx）是奇函数，但最小正周期为T1，故符合题意；
对于C，y＝sin（πx）为奇函数，但最小正周期为T2，故不符合题意；
对于D，y＝|sin（πx）|为偶函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与周期性的判断，考查三角函数的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
2．（2024秋 即墨区期中）已知函数的最小正周期为π，则f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合周期公式先求出ω，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：由Tπ，可得ω＝2，可得f（x）＝sin（2x），
对于A，f（）＝sin（2）＝sin0，故错误；
对于B，f（）＝sin（2）＝sin1≠0，故错误；
对于C，f（）＝sin（2）＝sin±1，故错误；
对于D，f（）＝sin（2）＝sin1，故正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性及对称性的应用，属于基础题．
3．（2024秋 浙江期中）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，，当t＝45秒时，|PA|＝（　　）
A． B． C． D．4
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】由A点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中∠POA（小于平角的那个），然后由勾股定理计算．
【解答】解：由题意可得，
可得函数周期T＝60，
经过45秒后，即旋转了个周期，
因此，
如图，
所以|PA|，
故选：A．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．
4．（2024秋 长宁区期中）要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】B
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），
∴将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin（2x）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 青羊区校级期中）对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6
C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像
D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】计算两个函数的零点，即可求解A，根据，求解或，即可判断B，根据函数图象的变换即可求解CD．
【解答】解；对于A，f（x）＝sinx的零点为x＝kπ，k∈Z，的零点满足，解得x，k∈Z，两个函数的零点不相同，选项A错误；
对于B，令，得或，解得xkπ或x，k∈Z，所以x∈[0，2π]时，零点有，共有6个，选项B正确；
对于C，将f（x）的图像向右平移个单位，得到，再把的横坐标变为原来的倍，得，选项C正确；
对于D，将f（x）的图像横坐标变为原来的倍，得到y＝sin3x，再将y＝sin3x向右平移个单位，得的图象，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
（多选）6．（2024秋 凤冈县期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．点是f（x）图象的一个对称中心
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）在上的值域为
D．将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos8x
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式，根据函数图像及其形式即可得到ABC选项的判断，D选项由函数的变换诱导公式即可判断．
【解答】解：已知函数，
因为，
所以点是f（x）图象的一个对称中心，故A正确；
令（k∈Z），则（k∈Z），
故f（x）的单调递增区间为（k∈Z），故B错误；
因为，所以，故f（x）在上的值域为，故C正确；
将f（x）的图象先向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin（4x）＝﹣cos4x的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得g（x）＝﹣cos8x的图象，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 辽宁期中）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．π不是f（x）的一个周期
C．f（x）在区间上单调递减
D．当时，f（x）的值域为
【考点】三角函数的周期性；复合三角函数的单调性；奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题；分类讨论；函数思想；分类法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用奇偶性判断A，利用周期性定义判断B，利用单调性定义判断C，分类讨论去绝对值符号后求得值域后判断D．
【解答】解：对于A，因为f（﹣x）＝|cos（﹣2x）|+cos|﹣x|＝|cos2x|+cos|x|＝f（x），
又因为f（x）定义域是全体实数，
可得f（x）的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，由题意，
，
所以π不是f（x）的一个周期，故B正确；
对于C，由题意f（x）＝|cos2x|+cosx，
可得，，故C错；
对于D，当时，可得，
又，则，
当时，可得，
又，所以，
综上，时，，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角函数恒等变化以及三角函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 苏州期中）已知函数在区间[0，1]上的值域为[m，n]，且n﹣m＝3，则ω的值为 　　．
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】由x∈[0，1]时，ωx∈[，ω]，结合题意得出m＝﹣1，n＝2，根据正弦函数的图象得出ω的值．
【解答】解：由题意知，x∈[0，1]时，ωx∈[，ω]，
又因为n﹣m＝3，且﹣2≤f（x）≤2，所以m＝﹣1，n＝2；
根据正弦函数的图象知，ω，
解得ω．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质应用问题，是基础题．
9．（2024秋 闵行区期中）函数的单调递增区间是 　　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用整体代入法求得的单调递增区间．
【解答】解：函数y＝sinx的单调区间为
利用整体思想：由，
解得；
所以函数的单调递增区间是．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2024 荔湾区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx+ex﹣2（x＜0）与的图象上存在关于原点对称的点，则m的取值范围是 　（﹣1，+∞）　．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，+∞）．
【分析】由题意得方程f（﹣x）+g（x）＝0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）有解，转化成函数图象有交点来做即可．
【解答】解：由题意当﹣x＜0即x＞0时，方程f（﹣x）+g（x）＝0有解，即，
即当且仅当在（0，+∞）有解，
因为y＝e﹣x在（0，+∞）上单调递减，所以由复合函数单调性可知在（0，+∞）上单调递减，
所以在（0，+∞）上单调递增，
又y＝x在（0，+∞）上单调递增，
所以在（0，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，，
所以若在（0，+∞）有解，则只需，
则m的取值范围是（﹣1，+∞）．
故答案为：（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（2024秋 普陀区校级期中）如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由图象过点结合正弦函数性质可得答案．
【解答】解：令y＝f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π），
则f（0）＝2sinφ sinφ，又|φ|≤π，
故或，又图象过点（0，）时单调递增，则；
又f（π）＝0，由五点作图法，可得ωπ2π，
则ω．
故答案为：．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西城区校级期中）已知函数f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）π，递减区为[]（k∈Z）．（Ⅱ）x＝0时，函数的最小值为，当x时，函数的最大值为2．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单点递减区间；
（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinx（cos2sin2）cos2xsin（2x），
故函数的最小正周期为；
令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递减区为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，故，
故，
故当x＝0时，函数的最小值为，当x时，函数的最大值为2．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 河西区期中）已知函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象．
（i）求g（x）的解析式及g（）值；
（ii）求g（x）上[0，]的值域．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝2cos（2x），其值域为[﹣2，2]；
（Ⅱ）（i）g（x）＝2cos（4x），g（）＝1；
（ii）[﹣2，1]．
【分析】（Ⅰ）由图象求出A，ω和φ的值即可求出函数的解析式．
（Ⅱ）（i）根据函数图象变换求出g（x）的解析式，进而求出g（）的值；
（ii），则，4x∈[，π]，利用余弦函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象知A＝2，，即T＝π，
又ω＞0，，
所以ω＝2，f（x）＝2cos（2x+φ），
又函数过点，由五点作图法，得2+φ＝﹣π，
解得φ，故f（x）＝2cos（2x）．
（Ⅱ）（i）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到f（x）＝2cos[2（x）]＝2cos（2x），
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数的解析式为g（x）＝2cos（4x），
g（）＝2cos1；
（ii）当，则，4x∈[，π]，cos（4x）∈[﹣1，]，
2cos（4x）∈[﹣2，1]．
即g（x）在上的值域为[﹣2，1]．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，属于中档题．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）若函数f（x）的图像向左平移个单位，得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间；
（2）设集合A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10 T}，求集合A中的元素个数．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1），k∈Z；（2）10．
【分析】（1）化简函数解析式，根据函数的平移变化可得函数g（x）；
（2）根据函数解析式可得M＝2，T＝π，解方程可得集合A中元素．
【解答】解：（1），
函数f（x）的图象向左平移个单位，
可得函数g（x）＝2cos2x的图象，
令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以g（x）的单调减区间为，k∈Z．
（2）因为，所以M＝2，T＝π，
则A＝{x|f（x）＝M，0＜x＜10T}＝{x|f（x）＝2，0＜x＜10π}，
由f（x）＝2，得，k∈Z，
解得，k∈Z，
因为0＜x＜10π，所以，
解得k＝0，1， ，9，
所以集合A中元素的个数为10．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 越秀区期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对 x∈[0，]，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝2sin（3x）．
（2）（﹣∞，﹣2）．
【分析】（1）由题意可得周期为T，可求出ω的值，再由一条对称轴方程为x，可得f（）＝±2，可求出φ的值，从而可求出f（x）的解析式．
（2）由题意得2sin（3x）＞2m+1对 x∈[0，]恒成立，利用三角函数的性质求出[2sin（3x）]min＞2m+1即可，从而求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）图象上相邻两个零点的距离为，
∴f（x）周期为T，∴，解得ω＝3，
∴f（x）＝2sin（3x+φ），
∵f（x）图象的一条对称轴方程为x，
∴f（）＝±2，即2sin（φ）＝±2，
∴φ，k∈Z，
∵|φ|，∴φ，
∴f（x）＝2sin（3x）．
（2）由（1）得2sin（3x）≤1，则﹣3sin（3x），
∴﹣3＞2m+1，解得m＜﹣2，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查三角函数解析式、实数取值范围的求法，考查三角函数的图象、对称轴方程、三角函数的恒等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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