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预习衔接.夯实基础 三角函数应用
一．选择题（共4小题）
1．（2024 射洪市校级模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，且f（x）在（）上单调，则ω的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
3．（2024秋 双城区校级期中）设函数，下列判断正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为π
B．函数f（x）的值域是
C．函数f（x）的图象上存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为
D．当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点
4．（2024秋 芜湖期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 即墨区期中）已知，则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．2π是f（x）的最小正周期
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的值域为[0，+∞）
（多选）6．（2024秋 菏泽期中）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度，记表面积增加量为S＝f（x），则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．S呈周期变化
D．
（多选）7．（2024 浙江学业考试）已知函数f（x）＝esinx﹣cosx+ecosx﹣sinx，则（　　）
A．f（x）的图像是中心对称图形
B．f（x）的图像是轴对称图形
C．f（x）是周期函数
D．f（x）存在最大值与最小值
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 冀州区校级期中）函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）的最大值为 　 　．
9．（2024秋 长寿区期末）如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5min后，他距离地面的高度为 　 　m．
10．（2024 武进区校级三模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方；则t＝　 　秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f（t）＝　 　．
11．（2024春 舟山期末）已知函数在x∈[0，2π]上恰有两个零点，则实数m的取值范围为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 齐齐哈尔期中）已知数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在的最大值和最小值．
13．（2024秋 通州区期末）若函数f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1（0＜ω＜4）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在．
（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．
条件①：；
条件②： x∈R，恒成立；
条件③：函数f（x）的图象关于点对称．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
14．（2024春 城关区校级期中）已知函数．
（1）当时，求f（x）的最值；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
15．（2024春 绵阳期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．
（1）求函数h（t）的解析式；
（2）当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．
预习衔接.夯实基础 三角函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 射洪市校级模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，且f（x）在（）上单调，则ω的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．
【解答】解：因为函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，
所以ω+φ＝k（k∈Z），整理得φ＝kπ（k∈Z），
由于f（x）在（）上单调，
所以，解得ω，
由于ω＞0，所以，解得．
所以k0＝1，2，3，当k0＝3时，ω的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属中档题．
2．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，确定圆的标准方程即可得．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示，
则G（0，5），C（﹣5，0），D（5，0），E（﹣5，3），F（5，3），
其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2，
则，解得，
则圆形拱桥的水面跨度为．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
3．（2024秋 双城区校级期中）设函数，下列判断正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为π
B．函数f（x）的值域是
C．函数f（x）的图象上存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为
D．当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解f（x）＝2，根据解的情况判断D，即得答案．
【解答】解：对于A，x∈R，，
故π不是函数f（x）的一个周期，A错误；
对于B，，
需满足2cos2x﹣1≥0，即，
令t＝cosx，，则f（x）即为，
当时，在上单调递增，则；
当时，，
（（2t2﹣1）﹣4t2＝﹣2t2﹣1＜0，故）
此时在上单调递减，则，
综上，f（x）的值域是，B错误；
对于C，由B知，，
当时，，
满足此条件下的f（x）图象上的点P（x，y）到（1，0）的距离；
当时，，
满足此条件下的f（x）图象上的点P（x，y）到（1，0）的距离，
当且仅当且x＝1时等号成立，
而时，，∴或，
满足此条件的x与x＝1矛盾，即等号取不到，
故函数f（x）的图象上不存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为，C错误；
对于D，由B的分析可知f（x）＝2，则cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，
又，故当且仅当x＝0时，f（x）＝2，
即当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点，D正确．
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解．
4．（2024秋 芜湖期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，将各点代入，求得圆的方程，求出F的横坐标，即可求得结论．
【解答】解：建立平面直角坐标系，根据题意，
A（﹣10，0），B（10，0），P（0，5），D（﹣5，0），E（5，0），
设拱桥所在的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，，
解得，所以拱桥的方程为x2+（y）2（0≤y≤5），
当y＝3时，x，
由于船的水面以上高为3m，故船宽最长约为2∈（13，14）．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 即墨区期中）已知，则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．2π是f（x）的最小正周期
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的值域为[0，+∞）
【考点】三角函数的最值；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】直接利用函数的性质和对勾函数的性质求出结果．
【解答】解：由于，故f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，故A正确；
由于函数y＝sin|x|不是周期函数，故B错误；
当π＞x＞0时，f（x）＝sinx，根据对勾函数的性质，x，函数f（x）单调递减，当时，函数f（x）单调递增，故C正确；
当x时，f（）0，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的性质，对勾函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 菏泽期中）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度，记表面积增加量为S＝f（x），则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．S呈周期变化
D．
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据锐角三角函数可得acosx+asinx+a＝1，即可化简，进而代入即可求解AC，根据对称的定义计算即可求解B，利用不等式以及辅助角公式即可结合三角函数的性质求解D．
【解答】解：∵把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，
若顶层旋转x弧度，又表面积增加量为S＝f（x），
设图中小三角形的斜边长为a，则acosx+asinx+a＝1①，
∴，
∵x∈（0，），∴S不呈周期变化，故C错误；
对于A，当时，由①式得，，
∴，故A正确；
对于B，由①可得，
∴，且，
∴f（x）的图象关于直线对称，故B错误；
对于D，S＝4a2sinxcosx，∵，
∴sinx＞0，cosx＞0，∴，
当且仅当sinx＝cosx时，等号成立，
又由①可得，，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，即，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数的综合应用，属难题．
（多选）7．（2024 浙江学业考试）已知函数f（x）＝esinx﹣cosx+ecosx﹣sinx，则（　　）
A．f（x）的图像是中心对称图形
B．f（x）的图像是轴对称图形
C．f（x）是周期函数
D．f（x）存在最大值与最小值
【考点】三角函数的最值；函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A项，验证f（x）+f（﹣x）是否为常数；B项，可证明；C项，可得f（x+π）＝f（x）；D项，利用函数奇偶性，单调性确定最值．
【解答】解：对于A，f（x）+f（﹣x）＝esinx﹣cosx+ecosx﹣sinx+esin（﹣x）﹣cos（﹣x）+ecos（﹣x）﹣sin（﹣x）
＝esinx﹣cosx+ecosx﹣sinx+e﹣sinx﹣cosx+ecosx+sinx不为常数，故f（x）关于（0，f（0））不对称，
且f（a+x）+f（b﹣x）≠常数，故A错误；
对于B，，则f（x）的对称轴方程为x，故B正确；
对于C，f（x+π）＝esin（x+π）﹣cos（x+π）+ecos（x+π）﹣sin（x+π）＝e﹣sinx+cosx+e﹣cosx+sinx＝f（x），
则f（x）的周期为π，故C正确；
对于D，令t＝sinx﹣cos x，
令g（t），g（﹣t）＝g（t），g（t）是偶函数，
故只需考虑t∈的部分，g'（t）＝et﹣e﹣t，t＞0时，g'（t）＞0，
2，即f（x）存在最大值与最小值2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 冀州区校级期中）函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）的最大值为 　4　．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】4．
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换求出函数的最大值．
【解答】解：由于x∈[0，π]，所以sinx∈[0，1]；
函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）
故f（x）＝cos2x﹣2sinx+3＝﹣sin2x﹣2sinx+4＝﹣（sinx+1）2+5，
所以当sinx＝0时，函数的ymax＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9．（2024秋 长寿区期末）如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5min后，他距离地面的高度为 　85　m．
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】85．
【分析】由题意可设在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，结合已知求得变量的值，再取t＝5求解y值即可．
【解答】解：由题意可设在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，
其中A＝50，h＝60，T＝15，可得ω，即f（t）＝50sin（φ）+60，
又∵f（0）＝10，∴50sinφ+60＝10，解得φ，
∴f（t）＝50sin（）+60＝﹣50cos60，
可得f（5）＝﹣50cos60＝85．
∴开始转动5min后，他距离地面的高度为85m．
故答案为：85．
【点评】本题考查三角函数模型的应用，考查三角函数的图象与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2024 武进区校级三模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方；则t＝　　秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f（t）＝　|sin（2πt）|　．
【考点】三角函数应用；根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；运算求解．
【答案】，|sin（2πt）|．
【分析】由题意可得H＝|yA﹣yB|，其中H为A，B两点的竖直距离，记t＝0时，A点对应的角为，则B点对应的角为，求出t秒后点A、B所对应的角，即可得yA、yB的解析式，再根据yA＝yB即可得第一空答案；由f（t）＝|yA﹣yB|，利用三角恒等变换即可得第二空答案．
【解答】解：记t＝0时，A点对应的角为，则B点对应的角为，
设H为A，B两点的竖直距离，
由题意可知H＝|yA﹣yB|，
由题意可知t秒后，点A所对应的角为：2πt，
此时点B所对应的角为：2πt，
所以yA＝sin（2πt）＝﹣cos2πt，
yB＝sin（2πt）＝﹣cos（2πt），
当H＝0时，则有yA＝yB，
即cos2πt＝cos（2πt），
则有cos2πtcos2πtsin2πt，
即cos2πtsin2πtsin（2πt）＝0，
所以2πtkπ，k∈z，
解得t，k∈z，
又因为转一圈所用时间t1，
所以k＝1，t；
由题意可得f（t）＝|yA﹣yB|＝|cos（2πt）﹣cos2πt|
＝|cos2πtsin2πt﹣cos2πt|
＝|cos2πtsin2πt|
|cos2πtsin2πt|
|sin（2πt）|．
故答案为：，|sin（2πt）|．
【点评】本题考查了三角函数在生活中的实际运用，考查了三角恒等变换，属于中档题．
11．（2024春 舟山期末）已知函数在x∈[0，2π]上恰有两个零点，则实数m的取值范围为 　　．
【考点】三角函数应用；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数零点定义题目中零点问题可转化成函数y＝m与图像在上有两个交点，接着研究函数g（x）的单调性得其简图，数形结合即可得解．
【解答】解：因为x∈[0，2π]，
所以，
又因为，令，则，
显然，故不是f（x）的零点，
令，，则，
故函数在x∈[0，2π]上恰有两个零点
方程在上有两个根，
y＝m与函数图像在上有两个交点，
令，，
因为，所以在和（0，1]单调递增，
又因为单调递增，
①所以时，，单调递增且，
故此时在上单调递增，
且，；
②时，，单调递减，
故此时在上单调递减，
且此时时，g（t）→﹣∞；
③时，，单调递减，
故此时在上单调递减，
且此时时，g（t）→+∞，g（2π）＝2，
故在上图像简图如下：
由图得实数m的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及复合函数的性质，解决本题函数零点问题的关键是分离参数将问题转化成函数y＝m与图像在上有两个交点，接着研究函数g（x）的单调性并作出其图像简图，数形结合即可得解，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 齐齐哈尔期中）已知数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在的最大值和最小值．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为，k∈Z，
（2）f（x）的最小值，最大值1．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简f（x），由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程，
（2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值．
【解答】解：（1）函数
；
所以函数f（x）的最小正周期为π．
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z．
（2）当时，，则，进而可得，
当时，即时，f（x）取最小值，时，即x＝0时，f（x）取最大值1．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 通州区期末）若函数f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1（0＜ω＜4）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在．
（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．
条件①：；
条件②： x∈R，恒成立；
条件③：函数f（x）的图象关于点对称．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解；结构不良题．
【答案】（Ⅰ）f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）当x时，f（x）取得最小值﹣1；当x时，f（x）取得最大值．
【分析】利用三角恒等变换得f（x）sin（2ωx），
（Ⅰ）若选条件①：，导出矛盾；
若选条件②： x∈R，恒成立，可列式求得ω＝8k+1（k∈Z），结合0＜ω＜4，可求得ω，进而可得f（x）的解析式与最小正周期；
若选条件③：函数f（x）的图象关于点对称，可求得ω＝﹣4k+1（k∈Z），结合0＜ω＜4，可求得ω，进而可得f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，]，利用正弦函数的性质可求得f（x）在区间上的最值．
【解答】解：f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1
＝sin2ωx+cos2ωx
sin（2ωx），
（Ⅰ）若选条件①：，
∵f（x）sin（2ωx），而，
∴f（），这种情况不存在；
若选条件②： x∈R，恒成立，
则2ω2kπ（k∈Z），
∴ω＝8k+1（k∈Z），又0＜ω＜4，
∴ω＝1．
f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，] sin（2x）∈[﹣1，]，
∴当2x，即x时，f（x）取得最小值，f（x）min（）＝﹣1；
当2x，即x时，f（x）取得最大值，f（x）max1．
（Ⅰ）若选条件③：函数f（x）的图象关于点对称，
则2ω×（）kπ（k∈Z），
即ω＝﹣4k+1（k∈Z），又0＜ω＜4，
∴ω＝1，
∴f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，] sin（2x）∈[﹣1，]，
∴当2x，即x时，f（x）取得最小值，f（x）min（）＝﹣1；
当2x，即x时，f（x）取得最大值，f（x）max1．
【点评】本题考查正弦函数的解析式的确定及正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．
14．（2024春 城关区校级期中）已知函数．
（1）当时，求f（x）的最值；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；换元法；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）最小值为；最大值为2；
（2）[1，+∞）．
【分析】（1）根据三角恒等变换化简f（x）的表达式；由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（2）化简，参变分离，可得，换元，令t＝sinx，，求在上的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意，得函数，
当时，，所以，则，
当，即时，函数f（x）取得最小值为；
当，即时，函数f（x）取得最大值为2；
（2）由题意得时，有解，
而此时sinx＞0，即有解，只需要即可，，，
令t＝sinx，，则在上单调递减，
所以当t＝1时，ymin＝1，即，所以a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；也考查了参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题，是中档题．
15．（2024春 绵阳期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．
（1）求函数h（t）的解析式；
（2）当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．
【答案】（1）h（t）＝40sin（）+100（t≥0）．
（2）秒．
【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；
（2）根据题中条件建立不等式，解出即可．
【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，
当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，
设为P0，则P0（0，60），
由题意得，，，
解得，
所以h（t）＝40sin（）+100（t≥0）．
（2）令h（t）≥80，则h（t）＝40sin（）+100≥80，
即，
所以，
解得，
当k＝0时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒．
【点评】本题考查三角函数的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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