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预习衔接.夯实基础 函数与数学模型
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 宜昌期中）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对．市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（　　）
A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元
2．（2024秋 无锡期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（　　）
A．2km B．3km C．4km D．5km
3．（2024 渝北区校级模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为（　　）
A．1 B． C． D．3
4．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 天河区校级二模）对于任意两个正数u，v（u＜v），记曲线直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现L（1，x）＝lnx．关于L（u，v），下列说法正确的是（　　）
A．
B．L（440，380）＝80L（2，3）
C．
D．L（uu，vu）＞v﹣u
（多选）6．（2024秋 沙坪坝区校级期末）波恩哈德 黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为[0，1]，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（　　）
A．L（x）＝L（1﹣x）
B．L（a）L（b）≤L（ab）
C．L（a+b）≥L（a）+L（b）
D．关于x的不等式的解集为
（多选）7．（2024秋 丽水期末）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中N0，r，K是正数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内禀增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．下面给出四条关于函数N（t）的判断正确的有（　　）
A．如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0
B．如果0＜N0＜K，那么对任意t≥0，N（t）＜K
C．如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）在t点处的导数N′（t）＜0
D．如果，那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在最大值
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 嘉定区校级期中）已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强P（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为P＝760e﹣hk（e为自然对数的底数，k是常数），根据实验可知500m高空处的大气压强是700mmHg，当A型直升机巡航高度为1300m，B型直升机的巡航高度为800m时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 　 　倍（精确到0.01）．
9．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　 　（万元）．
10．（2024秋 长宁区校级期中）用长为30cm的铁丝围成矩形，则矩形面积S（cm2）关于矩形一边长x（cm）的函数解析式为 　 　．
11．（2024秋 聊城期中）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 　 　分钟才能达到排放标准．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果取整数）
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 南宁期中）国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似地表示为，且当x＝10时，y＝38．
（1）求b的值；
（2）计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低？
（3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算：
①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润＝销售额+补贴﹣总成本）？
②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？
13．（2024秋 龙岩期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产x台该产品，需另投入成本G（x）万元，且G（x）当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）求k的值．
（2）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）．
（3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
14．（2024秋 景德镇期中）景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件．近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客．小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法．通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间．已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了10x（x∈N）元，每天收λ为y元．
（1）求出y和x之间的函数关系式．
（2）若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？
（3）每间客房定价为多少时，利润最大？
15．（2024秋 漳州期中）漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件．某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌．根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产x万斤，需投入其他成本c（x）万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出．（利润＝收入﹣固定成本﹣其它成本）
（1）写出2025年利润f（x）（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；
（2）求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值．
预习衔接.夯实基础 函数与数学模型
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 宜昌期中）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对．市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（　　）
A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意建立利润的函数，结合二次函数性质求最值可得．
【解答】解：灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对，
设红灯笼每对售价提高x元，一天获得利润为y元，
由题意得y＝（50+x﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+80x+2000＝﹣（x﹣40）2+3，
因为销售单价不高于每对68元，所以x≤18，
所以当x＝18时，
即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大值为3116元．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
2．（2024秋 无锡期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（　　）
A．2km B．3km C．4km D．5km
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】设，结合题意求出k1＝9k2，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案．
【解答】解：∵每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比，
∴设，
∵在距离车站6km处建仓库时，y2＝4y1，
∴，∴k1＝9k2，
∴两项费用之和为，
当且仅当，即x＝3时等号成立，
∴要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km．
故选：B．
【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，属中档题．
3．（2024 渝北区校级模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为（　　）
A．1 B． C． D．3
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用“香农公式”分别求出C1，C2的值，即可求出结果．
【解答】解：当99，W＝2000Hz时，C1＝2000log2（1+99）＝2000log2100＝4000log210，
当9999，W＝3000Hz时，C2＝3000log2（1+9999）＝3000log210000＝12000log210，
∴3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．
4．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则bx＝10a，ay＝10b，
∴，∴，
当且仅当，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x+y＞20．
因此，小明两次称得的黄金总重量大于20g．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 天河区校级二模）对于任意两个正数u，v（u＜v），记曲线直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（u，v）＝﹣L（v，u），德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现L（1，x）＝lnx．关于L（u，v），下列说法正确的是（　　）
A．
B．L（440，380）＝80L（2，3）
C．
D．L（uu，vu）＞v﹣u
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据L（1，x）＝lnx确定出L（x，1）的结果，然后分类讨论u＞1、v＜1、u＜1＜v、v＝1或u＝1时L（u，v）的结果，由此确定出L（u，v）的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【解答】解：由题意L（1，x）＝﹣L（x，1）＝lnx，所以L（x，1）＝﹣lnx，
当u＞1时，L（u，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，
当v＜1时，L（u，v）＝L（u，1）﹣L（v，1）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，
当u＜1＜v时，L（u，v）＝L（u，1）+L（1，v）＝L（1，v）﹣L（1，u）＝lnv﹣lnu，
当v＝1或u＝1时，L（u，v）＝lnv﹣lnu也成立，
综上所述，L（u，v）＝lnv﹣lnu；
对于A：，
所以，故A正确；
对于B：L（440，380）＝ln380﹣ln440＝ln380﹣ln280＝80（ln3﹣ln2），
且L（2，3）＝ln3﹣ln2，所以L（440，330）＝80L（2，3），故B正确；
对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以，
即，故C错误；
对于D：取u＝1，v＝2，则L（uu，vu）＝L（1，2）＝ln2＜2﹣1＝1，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，所以难题．
（多选）6．（2024秋 沙坪坝区校级期末）波恩哈德 黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为[0，1]，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（　　）
A．L（x）＝L（1﹣x）
B．L（a）L（b）≤L（ab）
C．L（a+b）≥L（a）+L（b）
D．关于x的不等式的解集为
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果．
【解答】解：对于选项A，当x＝0时，1﹣x＝1，当x＝1时，1﹣x＝0，而L（0）＝L（1）＝0，
当x∈（0，1）时，1﹣x∈（0，1），若x是无理数，则1﹣x是无理数，有L（x）＝L（1﹣x）＝0，
若x是有理数，则1﹣x是有理数，当为正整数，为最简真分数），
则为正整数，为最简真分数），此时，
综上，x∈[0，1]时L（x）＝L（1﹣x），所以选项A正确；
对于选项B，当a，b＝0，1和无理数时，L（a）L（b）＝0，显然有L（a）L（b）≤L（ab），
当是正整数，是最简真分数）时，
，故L（a）L（b）≤L（ab），
当时，L（a）L（b）＝0，有L（a）L（b）≤L（ab），
当时，，有L（a）L（b）≤L（ab），
当a为无理数，时，L（a）L（b）＝L（ab）＝0，有L（a）L（b）≤L（ab），
综上L（a）L（b）≤L（ab），所以选项B正确；
对于选项C，取，则L（a+b）＝L（1）＝0，
而，所以选项C错误；
对于选项D，若x＝0或x＝1或（0，1）内的无理数，
此时L（x）＝0，显然不成立，
当为正整数，p，q互质），由，得到，
整理得到p+q＜5，又p，q为正整数，p，q互质，
所以p＝1，q＝2或p＝1，q＝3均满足，所以x可以取或，所以选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查函数性质的实际应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 丽水期末）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中N0，r，K是正数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内禀增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．下面给出四条关于函数N（t）的判断正确的有（　　）
A．如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0
B．如果0＜N0＜K，那么对任意t≥0，N（t）＜K
C．如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）在t点处的导数N′（t）＜0
D．如果，那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在最大值
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】解方程得到A正确，计算N（t）﹣K＜0得到B正确，求导得到N′（t）＞0恒成立，C错误，构造f（t）＝N′（t），求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案．
【解答】解：对选项A：，解得，r＞0，故A正确；
对选项B：，0＜N0＜K，故，
，故N（t）﹣K＜0，即N（t）＜K，故B正确；
对选项C：，0＜N0＜K，故任意的t＞0，N（t）在t处的导数N′（t）＞0，故C错误；
对选项D：令，
则，，
令f′（t）＞0得，解得，
令f′（t）＜0得，解得，
所以f（t）在上单调递增，在上单调递减，
那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在极大值，也是最大值，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 嘉定区校级期中）已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强P（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为P＝760e﹣hk（e为自然对数的底数，k是常数），根据实验可知500m高空处的大气压强是700mmHg，当A型直升机巡航高度为1300m，B型直升机的巡航高度为800m时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 　0.92　倍（精确到0.01）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；运算求解．
【答案】0.92．
【分析】先由题给数据求出e﹣500k，再根据所给条件分别求出A、B型直升机所受的大气压强P1和P2，计算即可得解．
【解答】解：由大气压强P和高度h之间的关系知，700＝760e﹣500k，
所以，
由A型直升机所受的大气压强为，
B型直升机所受的大气压强为，
计算，
所以A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的0.92倍．
故答案为：0.92．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．
9．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　　（万元）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由题可得A+B关于x的表达式，后由换元法可得最值．
【解答】解：设关于B的投资为x万元，则关于A的投资为（10﹣x）万元，其中x∈[0，10]，
则总利润为，令，
则，
当且仅当t＝2，即x＝4时取等号，
则可以获得的最大利润是（万元）．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
10．（2024秋 长宁区校级期中）用长为30cm的铁丝围成矩形，则矩形面积S（cm2）关于矩形一边长x（cm）的函数解析式为 　S＝﹣x2+15x（0＜x＜15）　．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】S＝﹣x2+15x（0＜x＜15）．
【分析】利用矩形的一边长为x，表示出邻边的长，代入矩形面积公式，求出解析式，同时要求两边长为正即可求解．
【解答】解：由已知矩形的一边长为x，则另一边长为，
所以，
由，解得0＜x＜15，
则矩形面积S（cm2）关于矩形一边长x（cm）的函数解析式为S＝﹣x2+15x（0＜x＜15）．
故答案为：S＝﹣x2+15x（0＜x＜15）．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
11．（2024秋 聊城期中）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 　16　分钟才能达到排放标准．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果取整数）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】16．
【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求出答案．
【解答】解：因为排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3，
又我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，
且处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，
所以，
所以，
所以，
又lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，
所以，
所以t的最小值为16，
所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准．
故答案为：16．
【点评】本题考查函数的实际应用，对数的运算，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 南宁期中）国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似地表示为，且当x＝10时，y＝38．
（1）求b的值；
（2）计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低？
（3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算：
①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润＝销售额+补贴﹣总成本）？
②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）﹣2；
（2）4；
（3）①5件；②方案一较好．
【分析】（1）根据所给条件代入解析式求b即可；
（2）写出，利用基本不等式求解即可；
（3）①写出利润函数，利用二次函数可得x＝5有最值；②由方案二写出利润函数，求出函数值与方案一比较即可．
【解答】解：（1）当x＝10时，
，
解得b＝﹣2；
（2），
当且仅当，即x＝4时等号成立，
即企业日产量x为4件时，每日生产的平均成本最低；
（3）设日利润为L（x），
①如果选择方案一，
，
因为函数对称轴为x＝5，开口向下，
所以当x＝5时，日利润最大为L（5）＝4.5万元；
②如果选择方案二，
，
当x＝5时，万元，
由（1）知，4.5＞2，方案一比较好．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
13．（2024秋 龙岩期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产x台该产品，需另投入成本G（x）万元，且G（x）当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）求k的值．
（2）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）．
（3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）k＝40；
（2）；
（3）50台，900万元．
【分析】（1）由年产量为10台时，需另投入成本500万元求解；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本，分0≤x≤40和40＜x≤80求解；
（3）由（2），分0≤x≤40和40＜x≤80，分别利用二次函数和基本不等式求解．
【解答】解：已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台，
每生产x台该产品，需另投入成本G（x）万元，且G（x），
当年产量为10台时，需另投入成本500万元；
（1）将x＝10，G（x）＝500代入G（x）＝x2+kx，
得100+10k＝500，解得k＝40；
（2）由题意可得，当0≤x≤40时，W（x）＝100x﹣x2﹣40x﹣100＝﹣x2+60x﹣100；
当40＜x≤80时，；
故年利润W（x）关于年产量x的函数关系式为：
；
（3）由（2）得，当0≤x≤40时，W（x）＝﹣x2+60x﹣100＝﹣（x﹣30）2+800，
当x＝30时，W（x）max＝800，
当40＜x≤80时，，
当且仅当，即x＝50时，等号成立，W（x）max＝900，
而900＞800，故当x＝50时，年利润最大，最大年利润是900万元，
综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
14．（2024秋 景德镇期中）景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件．近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客．小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法．通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间．已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了10x（x∈N）元，每天收λ为y元．
（1）求出y和x之间的函数关系式．
（2）若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？
（3）每间客房定价为多少时，利润最大？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）[350，550）∪[150，200]；
（3）房价为270或280时，利润最大．
【分析】（1）分0≤x＜40且x∈N和x≥40且x∈N两种情况，由题意得到y和x之间的函数关系式；
（2）想一年（按照360天计算）收回成本，则一年（按照360天计算）的收入不小于投入的成本252万元，解不等式即可求得；
（3）根据利润＝收入﹣成本，将年利润ω表示成x的函数，将问题转化为二次函数的最大值问题求解即得．
【解答】解：（1）当0≤x＜40且x∈N时，y＝（150+10x）（40﹣x）＝﹣10x2+250x+6000，
当x≥40时，y＝0，
所以；
（2）由题意分析可知：2520000﹣（150+10x）（40﹣x）×360≥0，
解得20≤x＜40或0≤x≤5，
故350≤150+10x＜550或150≤150+10x≤200，
即每间房价应该定为[350，550）∪[150，200]之间；
（3）设利润为w，
则w＝（150+10x）（40﹣x）×360﹣2520000＝﹣3600（x2﹣25x+100），
故对称轴为x12.5，
而x∈N，即x＝13或12时，利润最大，
即房价为270或280时，利润最大，最大值为201600．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，属于中档题．
15．（2024秋 漳州期中）漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件．某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌．根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产x万斤，需投入其他成本c（x）万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出．（利润＝收入﹣固定成本﹣其它成本）
（1）写出2025年利润f（x）（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；
（2）求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元．
【分析】（1）由利润＝收入﹣固定成本﹣其它成本，根据题意求解；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式求解．
【解答】解：（1）种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，
每生产x万斤，需投入其他成本c（x）万元，，
当0≤x≤36时，，
当36＜x≤50时，，
∴；
（2）由，
①当0≤x≤36时，，
当x＝30时，f（x）取得大值，最大值为85；
②当36＜x≤50时，，
当且仅当即x＝40时，f（x）取得最大值50；
由①②可得：当x＝40时，f（x）取得最大值150，
综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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