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2024-2025 学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.学校食堂的一个窗口共卖 3 种菜品，甲、乙、丙、丁 4 名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有( )
A. 43种 B. 34种 C. 34种 D. 34种
2.函数 ( ) = 2 + ，则 ′( )等于( )
A. 2 + B. 2 C. (1 + 2 ) D. 2
3.如果随机变量 ～ (1, 2)，且 ( 1 ≤ ≤ 1) = 0.3，则 ( ≥ 3) =( )
A. 0.3 B. 0.2 C. 0.8 D. 0.7
4.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中 9 环的概率为 0.7，此运动员两次均击中 9 环的概率
为 0.56，则在第一次击中 9 环的条件下，第二次也击中 9 环的概率，( )
A. 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9
5.( + )( )4的展开式中 3 2的系数是( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 10
6.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 B. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 1 < 3 D. 2 < 4 < 0 < 3 < 1
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7.设函数 = ( )可导， = ( )的图象如图所示，则导函数 = ′( )可能为( )
A. B.
C. D.
8.若随机变量 1服从二项分布 ( , 2 )，且 ( = 3) = ( = 4) > 0，则
2 + 2 =( )
A. 39 B. 50 C. 63 D. 68
9.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为 0.85，第二车间的合格率为 0.88，两个
车间的皮品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中
随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A. 0.6 B. 0.85 C. 0.868 D. 0.88
10.已知函数 ( ) = ( 2 ) 2 在区间[ 1,2]上单调递增，则 的取值范围为( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞, 1 34 ] C. ( ∞,6] D. [ ∞, 2 )
二、填空题：本题共 6 小题，共 30 分。
11 1.若( + ) 展开式的二项式系数之和为 64， = ______；展开式中
2项的系数为______．
12.已知随机变量 的分布列如下图，若 ( ) = 4，则 =______．
2 3 5
2
13.据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”
就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的
排法种数为______种. (用数字作答)
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14.袋中有 3 个白球，2 个黑球.从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，设取到黑球的个数为 ，若不放
回抽样时，则 ( = 2) = ______；若放回抽样时，则 ( = 2) = ______. (用数字作答)

15.已知具有线性相关关系的变量 ， ，设其样本点为 ( , )( = 1,2,3, 7)，经验回归方程为 = 0.9 + ，

若7 =1 = 70,
7
=1 = 63, =______．
16.已知函数 ( ) = 且 0 < 1 < 2，给出下列结论：
① 1 ( 2) > 2 ( 1)
② 2 + ( 2) > 1 + ( 1)
( 2) ( 1)
③ 2
> 0
1
④当 > 1 时， 1 ( 1) + 2 ( 2) > 2 2 ( 1)
以上四个结论中不正确的序号为______
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35 岁以下)喜欢阅读电子书籍，他们认为电子
书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35 岁以上)更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取
60 名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年轻人 年长者 总计
喜欢阅读电子书 6 30
喜欢阅读纸质书 18
总计 60
(1)请将上面列联表填写完整；
(2)依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有
关联；
(3)现从年长者中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽选 2 人，求抽到至少 1 人为喜欢阅读
纸质书年长者的概率．
下表是 2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
18.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + ．
(1)求当 = 0 时，函数 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)已知函数 ( )在[ 2,3]上的最大值为 13，求 的值．
19.(本小题 12 分)
2025 年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 扭秧歌表演《秧 》成为一大
亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注
入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减
速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的
2 2 1
指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为3 , 3 , 2指标甲、乙、丙检测合格分别记 4 分、2 分、4 分，
若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于 8 分的概率；
(2)记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期
望．
20.(本小题 14 分)
( ) = 1 2 + ( 1) , ( ) = 1已知函数 2 的极值为 ．
(1)求实数 的值；
(2)当 > 1 时，讨论函数 ( )的单调性；
(3)当 = 1 时，若 ( ) = ( ) ( 2 ) ( ) + 在 ∈ [1, + ∞)有两个零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.6 15
12.19
13.36
14.0.3 0.288
15. 18
16.②③
17.(1)列联表如下：
年轻人 年长者 总计
喜欢阅读电子书 24 6 30
喜欢阅读纸质书 18 12 30
总计 42 18 60
(2)零假设 0：喜欢阅读电子书与年龄无关，
2
∵ 2 = 60(24×12 6×18) 3030×30×42×18 = 7 ≈ 4.286 > 2.706 = 0.1，
依据小概率值 = 0.1 的独立性检验可知零假设 0不成立，
∴可以推断喜欢阅读电子书与年龄有关联，且犯错的概率不超过 0.1；
(3) ∵ 6抽取的喜欢阅读电子书人数为 6 × 18 = 2
12
；抽取的喜欢阅读纸质书人数为 6 × 18 = 4；
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记“抽到至少 1 人为喜欢阅读纸质书年长者”为事件 ，
2
∴ ( ) = 1 ( ) = 1 2 = 14
26 15
．
18.(1)由 = 0 得： ( ) = 3 3 2 9 ，
所以 ′( ) = 3 2 6 9，
可得 (1) = 11，切点坐标为(1, 11)，
且 = ′(1) = 12，
则切线方程为 + 11 = 12( 1)，
即 12 + 1 = 0；
(2)因为函数 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = 3 2 6 9，
令 ′( ) > 0 < 1 或 > 3；
令 ′( ) < 0 1 < < 3；
函数 ( )的增区间为( ∞, 1)，(3, + ∞)，减区间为( 1,3)，
(3)因为 ∈ [ 2,3]，
由(1)可知函数 ( )在[ 2, 1)内单调递增，在( 1,3]内单调递减，
则函数 ( )在[ 2,3]上的最大值为 ( 1) = 5 + = 13，
解得 = 8．
19.(1)设甲通过量化检测为事件 ，乙通过量化检测为事件 ，
丙通过量化检测为事件 ，得分不低于 8 分为事件 ，
2 2 1
因为假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为3 , 3 , 2，
所以 ( ) = 23， ( ) =
2
3， ( ) =
1
2，

则 ( ) = ( ) + ( ) = 2 2 1 2 1 1 13 × 3 × 2 + 3 × 3 × 2 = 3；
(2)易知 的所有可能取值为 0，1，2，3．
1 1 1 1
此时 ( = 0) = ( ) = 3 × 3 × 2 = 18，

( = 1) = ( ) + ( ) + ( ) = 2 × 1 × 1 13 3 2 + 3 ×
2 × 1 1 1 1 53 2 + 3 × 3 × 2 = 18，

( = 2) = ( ) + ( ) + ( ) = 1 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 + 2 × 2 × 1 = 43 3 2 3 3 2 3 3 2 9，
( = 3) = ( ) = 23 ×
2
3 ×
1
2 =
2
9，
则 的分布列为：
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0 1 2 3
( ) 1 5 4 2
18 18 9 9
费用 ( ) = 0 × 118+ 1 ×
5
18 + 2 ×
4
9 + 3 ×
2 33 11
9 = 18 = 6．
20.解：(1)由 ( ) = ，得 ′( ) = 1 ，
由 ′( ) > 0 1，得 0 < < ，由 ′( ) < 0，得 >
1
，
则 ( ) 1 1在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
1
则 ( )在 = 处取得极大值 (
1 ) = 1 ln 1 = + 1 =
1
，解得 = 0；
2
(2)由 ( ) = 1 22 + ( 1)
1 + 1
，得 ′( ) = + = =
( +1)( 1)
，
若 > 2，则 1 > 1，由 ′( ) > 0，得 0 < < 1 或 > 1，由 ′( ) < 0，得 1 < < 1，
则 ( )在(0,1)，( 1, + ∞)上单调递增，在(1, 1)上单调递减；
2
若 = 2， ′( ) = ( 1) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
若 1 < < 2，则 0 < 1 < 1，由 ′( ) > 0，得 0 < < 1 或 > 1，由 ′( ) < 0，得 1 < < 1，
则 ( )在(0, 1)，(1, + ∞)上单调递增，在( 1,1)上单调递减；
(3)由(1) 1，结合 = 1，可得 ( ) = 22 ( 2 ) ( ) + =
1 2
2 + ( 2 ) ， > 0．
因为 ( )在[1, + ∞) ( ) 1有两个零点，则 = 2 + ( 2 ) 在[1, + ∞)上有 2 个零点．
令 ( ) = 12 + ( 2 ) ， ≥ 1，得 1 不是其零点，
1 +
令 ( ) = 0，得 2 = 2 ，
1 +
则原题等价于函数 = 2 与直线 = 2 在[1, + ∞)上有 2 个交点．
1 +
令 ( ) = 2 ， > 1，
(3+ ) 1 ( +1)( 1)
则 ′( ) = 2 2 2( )2 = ( )2 ，
1 1
由 ′( ) > 0，得 > 2，由 ′( ) < 0，得 1 < < 2，
1 1
则 ( )在(1, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增．
1 1
从而 ( ) ≥ ( 2) = 2 2，
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当 → 1， ( ) →+∞，当 →+∞， ( ) →+∞．
1 1
则可得 ( )大致图象如下：则 2 > 2 2，解得 > 2，
1
所以 的取值范围是( 2, + ∞)．
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