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预习衔接.夯实基础 相似图形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 永寿县校级期中）下列属于相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 雁塔区校级期中）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
4．（2024秋 崂山区期中）某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（　　）
A．800元 B．400元 C．100元 D．50元
5．（2024秋 浦东新区校级期中）对一个图形进行相似放缩时，下列说法中正确的是（　　）
A．图形中对应线段的比与对应角的大小都保持不变
B．图形中对应线段的比与对应角的大小都会改变
C．图形中对应线段的比保持不变、对应角的大小会改变
D．图形中对应线段的比会改变、对应角的大小保持不变
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宜兴市期中）两个相似多边形的相似比为1：4，则它们的面积的比为 　 　．
7．（2024秋 乐清市校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为2cm和3cm，若它们的面积之和为65cm2，则较小五边形的面积是 　 　．
8．（2024秋 郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　 　．
9．（2024秋 海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则x的值是 　 　．
10．（2024春 历下区期末）如图，为美化环境，某地准备将一片面积为7812m2的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为7200m2，若测得空地的宽长为62m，则水渠的宽度为 　 　m．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
12．（2024秋 通许县期中）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
13．（2022秋 滨江区期末）如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．
14．（2022秋 吕梁期末）数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题；
“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．
“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2．
解决问题：
（1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于 　 　cm（精确到0.1 cm）．
（2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？
15．（2024秋 安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？
预习衔接.夯实基础 相似图形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 永寿县校级期中）下列属于相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】D
【分析】根据形状相同，大小不同的两个图形是相似图形逐项判断即可．
【解答】解：A、图形的形状不相同，不是相似图形，不符合题意；
B、图形的形状不相同，不是相似图形，不符合题意；
C、图形的形状不相同，不是相似图形，不符合题意；
D、图形的形状相同，大小不同，是相似图形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形的识别，掌握相似图形的概念是解题的关键．
2．（2024秋 雁塔区校级期中）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出算式，解方程得到答案．
【解答】解：设EC＝a，BE＝b，则BC＝a+b，
∵矩形CDFE∽矩形DABC，
∴，即，
整理得：a2+ab﹣b2＝0，
∴（）21＝0，
解得：（负值舍去），
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质、熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
3．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
4．（2024秋 崂山区期中）某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（　　）
A．800元 B．400元 C．100元 D．50元
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】根据相似多边形的性质求出“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比，再计算农资成本即可．
【解答】解：∵“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2，
∴“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比为1：4，
∵“田园风光”的农资成本为200元，
∴“耘梦园”的农资成本为：200×4＝800（元）．
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方．
5．（2024秋 浦东新区校级期中）对一个图形进行相似放缩时，下列说法中正确的是（　　）
A．图形中对应线段的比与对应角的大小都保持不变
B．图形中对应线段的比与对应角的大小都会改变
C．图形中对应线段的比保持不变、对应角的大小会改变
D．图形中对应线段的比会改变、对应角的大小保持不变
【考点】相似图形；比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．
【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选：A．
【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宜兴市期中）两个相似多边形的相似比为1：4，则它们的面积的比为 　1：16　．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1：16．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：4，
∴它们的面积的比为：（）2＝1：16，
故答案为：1：16．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2024秋 乐清市校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为2cm和3cm，若它们的面积之和为65cm2，则较小五边形的面积是 　20cm2　．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】20cm2．
【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．
【解答】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是x cm2，y cm2．
则，因而xy．
根据面积之和是65cm2，得到y+y＝65，
解得：y＝45，
则x45＝20．
即较小五边形的面积分别是20cm2．
故答案为：20cm2．
【点评】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2024秋 郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　12　．
【考点】相似多边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据相似多边形的性质即可解答．
【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，
∴，
∴，
解得a＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
9．（2024秋 海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则x的值是 　22.5　．
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】22.5．
【分析】利用相似图形对应线段成比例列式求解即可．
【解答】解：根据题意得：15：x＝20：30，
解得：x＝22.5，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是了解相似图形的对应线段成比例，难度不大．
10．（2024春 历下区期末）如图，为美化环境，某地准备将一片面积为7812m2的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为7200m2，若测得空地的宽长为62m，则水渠的宽度为 　2　m．
【考点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据空地的面积与宽，利用矩形面积公式求出长，设水渠的宽度为x m，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设水渠的宽度为x m，空地的长为7812÷62＝126（m），
根据题意得：（62﹣x）（126﹣3x）＝7200，
整理得：x2﹣104x+204＝0，即（x﹣2）（x﹣102）＝0，
解得：x1＝2，x2＝102（不合题意，舍去），
则水渠的宽度为2m．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，弄清题意是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
【考点】相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）GD．
【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE，BPAB＝1，
∴AP，
∴EP，
∴EB，
∴GD．
【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用．
12．（2024秋 通许县期中）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】x＝24，y＝28，α＝75°．
【分析】根据相似多边形的对应角相等、对应边成比例计算即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，
∴20：5＝x：6＝y：7，
解得：x＝24，y＝28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α＝360°﹣70°﹣85°﹣130°＝75°，
∴x＝24，y＝28，α＝75°．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比相等是解答本题的关键．
13．（2022秋 滨江区期末）如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．
【考点】相似多边形的性质；函数关系式．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）不相似；证明过程见详解；
（2）a2＝3b2．
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝2，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为AD＝b，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得a与b的关系式．
【解答】解：（1）不相似．理由如下：
∵原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4，
∴划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝6÷3＝2，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，
∴划分后小矩形的长为AD＝b，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即a2＝3b2．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
14．（2022秋 吕梁期末）数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题；
“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．
“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2．
解决问题：
（1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于 　4.7　cm（精确到0.1 cm）．
（2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？
【考点】相似多边形的性质；估算无理数的大小；全等图形；勾股定理的证明；黄金分割．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）4.7；
（2）小直角三角形的两条直角边分别是16，12．
【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，，从而可得答案；
（2）由题意可得：正方形ABCD，AB＝BC＝CD＝AD＝20，EF2＝16，可得正方形EFGH的边长为4，设AE＝a，BE＝b，则a2+b2＝400，a﹣b＝4，再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，
∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形AEFG，
∴，
∵正方形ABCD，AD＝AB＝BC＝CD＝20，
∴，
∴，
∵图中四个矩形全等，
∴，，
∴；
（2）如图，由题意可得：正方形ABCD，AB＝BC＝CD＝AD＝20，EF2＝16，
∴正方形EFGH的边长为4，
设AE＝a，BE＝b，
∴a2+b2＝400，a﹣b＝4，
∴a2+（a﹣4）2＝400，
整理可得：（a﹣2）2＝196，
解得：a1＝16，a2＝﹣12（负数舍去），
∴b＝12，
∴小直角三角形的两条直角边分别是16，12．
【点评】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键．
15．（2024秋 安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴．
答：AB与AD的比值是．
【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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