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预习衔接.夯实基础 测量
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 寿阳县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　）
A．2 B． C．2 D．4
2．（2020秋 龙沙区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（　　）
A．AB2＝BD BC B．AC2＝DC BC C．AD2＝BD DC D．BC2＝AB AC
3．（2019秋 洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2018秋 双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，AC＝6，CD⊥AB于D，则AD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2009秋 厦门期中）如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD＝（　　）
A． B．2 C． D．1
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若BD＝3，CD＝4，则AC＝　 　．
7．（2022秋 和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．如果AD＝3，BD＝2，那么CD的长为 　 　．
8．（2021秋 潢川县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝　 　．
9．（2021春 朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．下列结论①CD2＝AD BD；②AC2＝AD AB；③BC2＝AB BD；④BD2＝AC BC，不正确的是　 　．
10．（2020秋 新都区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 新晃县期中）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
12．（2024春 沙依巴克区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝6，BC＝4，求∠A，AC和BD的值．
13．（2024秋 宣城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
14．（2023春 佛冈县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求△ACP的面积；
（2）已知，当点P运动到CP⊥AB时，．请利用备用图继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
15．（2023 望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
预习衔接.夯实基础 测量
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 寿阳县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　）
A．2 B． C．2 D．4
【考点】射影定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用射影定理得到BC2＝BD BA，然后把AD＝3，BD＝1代入计算即可．
【解答】解：根据射影定理得BC2＝BD BA，
即BC2＝1×（1+3），
所以BC＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
2．（2020秋 龙沙区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（　　）
A．AB2＝BD BC B．AC2＝DC BC C．AD2＝BD DC D．BC2＝AB AC
【考点】射影定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据射影定理对选项A、B、C进行判断；利用等面积法对选项D进行判断．
【解答】解：如图，∠ABD＝∠CBA，∠ADB＝∠CAB＝90°，
由射影定理知，AB2＝BD BC，AC2＝DC BC，AD2＝BD DC，故选项A、B、C不符合题意．
AC ABBC AD，即BC AD＝AB AC．只有当AD＝BC时BC2＝AB AC才能成立，故选项D符合题意．故
故选：D．
【点评】本题主要考查了射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
3．（2019秋 洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】射影定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】①、根据△ACD∽CBD，得到，依此即可作出判断；
②、根据勾股定理即可作出判断；
③、作EM⊥AB，可证△BCE≌△BEM，从而得，依此即可作出判断；
④、若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，可得∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质即可作出判断．
【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，即CD2＝AD DB，故①正确；
②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，
∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；
③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，
∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BME，
∴BC＝BM＝BD+EH，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质．
4．（2018秋 双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，AC＝6，CD⊥AB于D，则AD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】射影定理．
【专题】图形的相似．
【答案】B
【分析】根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：由射影定理得，AC2＝AD AB，
则AD2，
故选：B．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
5．（2009秋 厦门期中）如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD＝（　　）
A． B．2 C． D．1
【考点】射影定理．
【专题】数形结合．
【答案】A
【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长．
【解答】解：根据射影定理得：AB2＝AD AC，
∴AD．
故选：A．
【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若BD＝3，CD＝4，则AC＝　　．
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】利用射影定理求得AD的长度，然后利用勾股定理求得AC的长度．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝BD AD．
又∵BD＝3，CD＝4，
∴AD．
在直角△ACD中，AC．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了射影定理和勾股定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
7．（2022秋 和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．如果AD＝3，BD＝2，那么CD的长为 　　．
【考点】射影定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】利用射影定理得到CD2＝AD BD，然后利用算术平方根的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD2＝AD BD，
即CD2＝3×2＝6，
∵CD＞0，
∴CD．
故答案为：．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
8．（2021秋 潢川县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝　9　．
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据射影定理计算，得到答案．
【解答】解：由射影定理得，BC2＝BD AB，
∴BD9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是射影定理，射影定理：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
9．（2021春 朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．下列结论①CD2＝AD BD；②AC2＝AD AB；③BC2＝AB BD；④BD2＝AC BC，不正确的是　④　．
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据射影定理列出算式，判断即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD2＝AD BD，①正确；
AC2＝AD AB，②正确；
BC2＝AB BD，③正确；
BD2＝AC BC不一定成立，④不正确；
故答案为：④．
【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
10．（2020秋 新都区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝　2cm　．
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】2cm．
【分析】证明△ADB∽△BDC，推出，可得BD2＝AD CD，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵BD⊥C，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∵AD＝2cm，CD＝4cm，
∴BD2＝AD CD＝2×4＝8，
∵BD＞0，
∴BD＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 新晃县期中）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
12．（2024春 沙依巴克区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝6，BC＝4，求∠A，AC和BD的值．
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据射影定理得到BC2＝BD BA，即（4）2＝BD （BD+6），解得BD＝2，然后在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到∠A的度数和AC的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴BC2＝BD BA，
即（4）2＝BD （BD+6），
整理为BD2+6BD﹣48＝0，解得BD＝2或BD＝﹣8（舍去），
在Rt△ACB中，∵BC＝4，AB＝AD+BD＝8，
∴∠A＝30°，
ACBC＝12．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
13．（2024秋 宣城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质证明CD2＝AD DB，可得结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD．
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∵AD＝3，BD＝2，
∴CD2＝6，
∵CD＞0，
∴CD．
【点评】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14．（2023春 佛冈县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求△ACP的面积；
（2）已知，当点P运动到CP⊥AB时，．请利用备用图继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
【考点】射影定理；列代数式；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）6cm2；
（2）3或6或或．
【分析】（1）t＝1时，得出CP＝2，利用三角形的面积进行解答即可；
（2）分四种情况进行讨论：①根据AC＝CP列式求解；②根据AC＝AP列式求解；③AC＝CP，根据AP的值列式求解；④AP＝PC，根据AP＝PB列式求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC6cm，
如图，t＝1时，CP＝2，
所以△ACP的面积；
（2）如图2，3，4，5：
因为△ACP是以AC为边的等腰三角形，
①如图2，当AC＝CP＝6时，t1＝6÷2＝3（s）；
②如图3，当AC＝AP＝6时，t2＝46（s）；
③如图4中，当AC＝CP时，过点C作CD⊥AB于点H．
∵AC＝CP，AD⊥AP，
∴AP＝2AD（cm），
∴BP＝10﹣AP（cm），
∴t3＝4（s）；
④如图5，当AP＝CP时，∠A＝∠ACP，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，
∴AP＝CP＝BP，
∴BP＝5cm，
∴t4＝4（s）．
综上所述，t＝3或6或或．
【点评】本题考查了动点运动问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角函数、角平分线的性质等知识，熟练掌握运用这些基础知识点，然后进行分类讨论是解题关键．
15．（2023 望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论；
（2）由AC2＝AB AD得到62＝（AD+5） AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD，
∴62＝（AD+5） AD，
整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，
∵CD2＝AD BD，
∴CD2．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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