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2024-2025 学年河北省沧州市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 3 (其中 为虚数单位)，则| | =( )
A. 5 B. 10 C. 4 D. 102
2.某校高中有 42 个班，每个班有 50 名学生，现从该校高中每班随机选派 3 名学生参加交通安全知识竞赛
并统计参赛人员的成绩，则其样本量是( )
A. 42 B. 50 C. 126 D. 150
3.已知向量 = ( 2,5)， = (3, )，若 // ，则 =( )
A. 152 B.
6
5 C.
6
5 D.
15
2
4.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ： ： = 4：6：7，则△ 的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.已知事件 ， ， ( ) = 1两两互斥，且 3， ( ∪ ) =
7 1
12， ( ∪ ) = 2，则 ( ∪ ) =( )
A. 1 B. 5 C. 7 23 12 12 D. 3
6.小华为测量 ， (视为质点)两地之间的距离，选取 ， (与 ， 在同一水平面上)两点进行测量，已知
在 的正东方向上， = 2 = 40 米， 在 的北偏东 60°方向上， 在 的南偏西 30°方向上， = 30
米，则 ， 两地之间的距离是( )
A. 40 米 B. 10 13米 C. 10 19米 D. 60 米
7.在正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 4， ， 分别是棱 ， 1的中点，若正四棱台
1 1 1 1的侧面积为 12 3，则异面直线 1与 所成角的余弦值是( )
A. 5 306 B. 6 C.
9
10 D.
3 10
10
8.已知复数 = + ( , ∈ ) + 1 1是虚数，且 是实数，则 + + 2
2
的取值范围是( )
A. ( 2,2) B. [ 2,2] C. [ 2, 5 52 ] D. ( 2, 2 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.如图，这是某地连续 10 天日平均气温(单位：℃)的折线图，则( )
A.该地这 10 天日平均气温的众数是 33℃
B.该地这 10 天日平均气温的极差是 11℃
C.该地这 10 天日平均气温的 70%分位数是 33℃
D.该地前 5 天日平均气温的标准差小于后 5 天日平均气温的标准差
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 表示“第二次硬币反面朝上”，事
件 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 ， 1的中点， 为正方形 1 1 内(包含边界)的
动点，则下列说法正确的是( )
A.三棱锥 1 1 的体积为定值
B.不存在点 ，使得平面 1 //平面
C.存在唯一的点 ，使得 1 //平面 1
D. 2 5直线 与平面 所成角的正弦值最大为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 5 是关于 的方程 2 10 + = 0( ∈ )的根，则 = ______．
13.已知半径为 2 的球 与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面
积为______．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正
方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形
和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中 ， ， ， ， ， 分别是 ，
， ， ， ， 的中点， 是正六边形 的中心.若 = + ，
则 + =______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知某校高一年级有 1500 名学生，为了解该校高一年级学生的课外阅读时间，研究人员从该校高一年级的
学生中随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将所得数据按[0,2)，[2,4)，
[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，其中 + = 0.08．
(1)求频率分布直方图中 ， 的值；
(2)试估计该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于 8 小时的人数；
(3)试估计该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数. (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，△ 为等边三角形，四边形 是菱形， = 4，∠ = 60°， = 2 6．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜 2 局，此人最终获胜，比赛结束；4 局
比赛后，没人累计获胜 2 局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比
1 1 1
赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为2 , 6 , 3，且每局比赛的结果相互独立．
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(1)求比赛 3 局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
18.(本小题 17 分)
在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，向量 = ( , 2 )， = ( , )，且 ⊥ ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 ，| | = 4，求△ 面积的最大值；
(3)若 = 2 3，求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)

公共定义两个多面体 1， 2的相似度 = + ，其中 是多面体 1， 2重合部分的体积， 1， 2分别1 2 公共公共
是多面体 1， 2的体积.如图，在三棱锥 中， = (0 < <
1
2 )， ， 分别是棱 ， 的中点，
直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)当 = 14时，求三棱锥 与三棱锥 的相似度 ．
(2) 25是否存在 ，使得三棱锥 与三棱锥 的相似度 = 43？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.26
13.36
14.53
15.(1)由频率分布直方图可得( + 2 + 0.09 + 0.12 + 0.15) × 2 = 1，
则 + 2 = 0.14，又 + = 0.08，解得 = 0.02， = 0.06．
(2)由图可知样本中这周课外阅读时间不低于 8 小时的频率为(0.09 + 0.06) × 2 = 0.3，
则该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于 8 小时的人数约为 1500 × 0.3 = 450．
(3)由题意可得该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数的估计值为：

= 1 × 0.04 + 3 × 0.12 + 5 × 0.24 + 7 × 0.3 + 9 × 0.18 + 11 × 0.12 = 6.64 小时．
16.解：(1)证明：取棱 的中点 ，连接 ， ，
因为四边形 是菱形，∠ = 60°，
所以 = = 4．
因为 是棱 的中点，
所以 ⊥ , = 12 = 2，则 = 2 3．
因为△ 为等边三角形，且 = 4， 是棱 的中点，
所以 ⊥ , = 2 3．
因为 = 2 6，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ．
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因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)因为 = = 4，∠ = 60°，
所以△ 的面积 = 1 31 2 × 4 × 4 × 2 = 4 3．
由(1)可知 ⊥平面 ，且 = 2 3，
则三棱锥 1 1的体积 1 = 3 1 = 3 × 4 3 × 2 3 = 8．
因为 = = 4, = 2 6，
所以△ 1的面积 2 = 2 × 2 6 × 16 6 = 2 15．
设点 到平面 的距离为 ，
则三棱锥 的体积 = 1 = 2 152 2 ．3 3
因为 1 = 2，
所以 8 = 2 153 ，
解得 = 4 15，5
即点 到平面 的距离为4 15．
5
17.(1)根据题意，设 =“比赛 3 局结束”，
比赛 3 局结束的情况有以下两种：
1 1
第一种情况，甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( )32 × 2 = 4；
1 2 4
第二种情况，乙获胜，即前 2 局比赛中乙获胜 1 局，且第 3 局比赛乙获胜，其概率为( )23 × 3 × 2 = 27．
1 4 43
故 ( ) = 4 + 27 = 108；
(2)根据题意，设 =“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
1 1
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜 2 局，比赛结束，其概率为( 2 )
2 = 4；
1 1
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( 32 ) × 2 = 4；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即 4 局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
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1 1 1
①甲获胜 1 局，其他 3 局平局，其概率为 1 = ( 32 ) × ( 6 ) × 4 = 108，
1 1 1
②前 3 局比赛中甲获胜 1 局，其他 2 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，其概率为 2 = ( 2 22 ) × ( 6 ) × 3 = 48，
③前 3 局比赛中甲获胜 1 局，乙获胜 1 局，其他 1 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，
= ( 1 1其概率为 23 2 ) × 3 ×
1
6 × 6 =
1
12，
故甲最终获胜的概率 = 1 + + =
1 + 1 + 12 3 4 4 108 +
1
48 +
1 265
12 = 432．
18.(1)由已知可得 = (2 ) = 0，
由正弦定理可得： + = 2 ，
1
所以 sin( + ) = = 2 ，所以 = 2，
因为 0 < < 2，所以 = 3；
(2) 1 1 1由已知可得 = = 2 2 2 ，
所以 = + = 1 2
+ 12
，即 2 = + ，
所以 4
2
=
2
+ 2
2
+ ，
因为| | = 4，且 = 643，所以 64 =
2 + + 2 ≥ 3 ，所以 ≤ 3，当且仅当 = 时，等号成立，
△ 1 3 16 3 16 3则 的面积 = 2 = 4 ≤ 3 ，即△ 面积的最大值为 3 ，
(3) 由正弦定理可得 = = = 4，
则 = 4 , = 4 = 4 ( 2 3 ) = 2 3 + 2 ，
故 2 = 8 (2 3 + 2 ) = 6 2 3 = 4 3sin( 6 )，
0 < < 2 ,
因为△ 是锐角三角形，所以
0 < 2
解得 < < ，
3 <

2 ,
6 2
3
所以 0 < 6 < 3，所以 0 < sin( 6 ) < 2 ，
则 0 < 4 3sin( 6 ) < 6，即 2 的取值范围为(0,6)．
19.(1)设△ 的面积为 ，点 到平面 的距离为 ，
1
则三棱锥 的体积 1 = 3 ，
如图，
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取棱 的中点 ，连接 ，
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
所以 // , = 12 ，则△ ∽△ ，
1
△ = 4 △ ，
= 1因为 4，所以 是线段 的中点，
则 △ =
1 1
2 △ = 8 △ ，
因为 是线段 的中点，
所以点 到平面 的距离 是点 到平面 的距离 的 2 倍，
1 1 1 1 1 1则三棱锥 的体积 = 3 △ = 3 × 8 △ × 2 = 48 △ = 48 ，
又三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
所以三棱锥 与三棱锥 的重合部分的体积 公共 = 1 =
5
16 ，
因为 // = 1 1，且 3，所以 = = 3，
即 = 3 2，所以 = 3，
1 1
同理可得： = 2 ， // ，且 = 3，
= 2所以 ，即 = 3 ，所以 = 3，

所以 =
则 / / ，则△ ∽△ 9， △ = 4 △ ，
= 1 3因为 4，所以点 到平面 的距离为4 ，
1
则三棱锥 的体积 2 = 3 △ ×
3 = 14 3 ×
9 3 94 △ × 4 = 16 ，
5
故三棱锥 15与三棱锥 的相似度 = 161 = ；
3 +
9
16
5 28
16
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(2)因为 = | | | |，所以
|
= 2 ，
| |
= ，
|

所以 △ = 2 △ = 2 △ ，
因为 是线段 的中点，
所以点 到平面 的距离 是点 到平面 的距离 的 2 倍，
1 1 1
所以三棱锥 的体积 ′ = 3 △ = 3 × 2 △ × 2 = 12 △ = 12 ，
则三棱锥 与三棱锥 4 的重合部分的体积 公共 = 1 ′ = 12 ，

因为 // 1 2 ，且 =
2
= = 2 2 ，
2 2 1
所以 = ，即 = 1 2 = 1 2 ，
= 1 2 所以 1 ，
同理可得： = 1 // = 1 2 2 ， ，且 2 2 ，
2 2 1
所以 = ，即 = 1 2 = 1 2 ，
= 1 2 所以 1 ，

所以 = ，则 / / ，△ ∽△ ，
= (1 )
2
所以 △ (1 2 )2 △ ．
| |
因为点 到平面 的距离为 ， = | |
所以点 到平面 的距离为(1 ) ，
则三棱锥 1的体积 2 = 3 △ × (1 )
2 3
= 1 (1 ) (1 )3 × (1 2 )2 △ × (1 ) = 3(1 2 )2 ，
4
故三棱锥 与三棱锥 的相似度 = 12
1 + (1 )
3
3
4
3(1 2 )2 12
3
= 4 +20
2 17 +4
8 2 11 +4 ．
4 3+20 2 17 +4 25
假设存在满足条件的 ，则 8 2 11 +4 = 43，
所以 43 3 165 2 + 114 18 = 0，
所以( 3)(43 2 36 + 6) = 0 = 18+ 66，解得 43 或 =
18 66
43 或 = 3，
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因为 0 < < 1 = 18 662，所以 43 ，
= 18 66即存在 43 ，使得三棱锥 与三棱锥
25
的相似度 = 43．
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