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预习衔接.夯实基础 勾股定理及其逆定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则∠BAC的大小是（　　）
A．30° B．60° C．75° D．90°
2．（2024秋 建邺区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
3．（2024秋 宿城区期中）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长是（　　）
A． B．4 C． D．
4．（2024秋 高陵区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，求BC的长是（　　）
A．5 B．8 C．4 D．7
5．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）
A．100 B．80 C．48 D．24
二．解答题（共5小题）
6．（2024秋 深圳期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝5，BD＝12．
（1）BD与AC垂直吗？请说明理由．
（2）求AD的长．
7．（2024秋 九原区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝13，BC＝5，求AC、CD的长．
8．（2024秋 惠山区期中）水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求新路CD比原来的路AC少多少米．
9．（2024秋 碑林区校级期中）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm，求这张纸片的面积．
10．（2024秋 淮阳区期末）已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．
预习衔接.夯实基础 勾股定理及其逆定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则∠BAC的大小是（　　）
A．30° B．60° C．75° D．90°
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB2＝22+42＝20，AC2＝12+22＝5，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．（2024秋 建邺区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵c2＝a2﹣b2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
C、∵72+402≠412，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键．
3．（2024秋 宿城区期中）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长是（　　）
A． B．4 C． D．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】通过勾股定理求出AB的长度，利用面积割补法求出△ABC的面积，再利用等面积求出CD即可．
【解答】解：如图，由勾股定理得 AB5，
∵S△ABC＝S长方形CGHK﹣S△CKA﹣S△ABH﹣S△CBG＝206﹣2，
又∵S△ABCAB CD，
∴5×CD，
∴CD，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024秋 高陵区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，求BC的长是（　　）
A．5 B．8 C．4 D．7
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，代入计算即可得BC的值．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴6+BC2＝102，
∴BC＝8（负值舍去），
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
5．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）
A．100 B．80 C．48 D．24
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2＝82+62＝100，
∴正方形的面积＝AB2＝100，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．解答题（共5小题）
6．（2024秋 深圳期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝5，BD＝12．
（1）BD与AC垂直吗？请说明理由．
（2）求AD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）垂直，理由见解析；
（2）11.9．
【分析】（1）由BC＝13，CD＝5，BD＝12得出△BCD是直角三角形，故可得出BD⊥AC；
（2）设AD＝x，则AC＝AB＝x+CD＝x+5，再由勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：（1）垂直，理由：
∵BC＝13，CD＝5，BD＝12，132＝52+122，
∴BC2＝CD2+BD2，
∴△BDC为直角三角形且∠BDC＝90°，
∴BD与AC垂直；
（2）由（1）知，BD⊥AC，
∵等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝5，BD＝12，
∴设AD＝x，则AC＝AB＝x+CD＝x+5，
∴AD2+BD2＝AB2，即x2+122＝（x+5）2，
解得x＝11.9，
∴AD＝11.9．
【点评】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，解题的关键是掌握以上知识．
7．（2024秋 九原区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝13，BC＝5，求AC、CD的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】在Rt△ABC中，勾股定理求得AC的长，进而等面积法求得CD，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
12，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2024秋 惠山区期中）水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求新路CD比原来的路AC少多少米．
【考点】勾股定理的逆定理；两点间的距离．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）14.7米．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x m，则AD＝（x﹣15）m，在直角△ACD中根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝39m，CD＝36m，BD＝15m，362+152＝392，
∴CD2+BD2＝CB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x m，则AD＝（x﹣15）m，
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴CD2+AD2＝AC2，即362+（x﹣15）2＝x2，
解得x＝50.7，
∴AC﹣CD＝50.7﹣36＝14.7（m），
答：新路CD比原来的路AC少14.7米．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，两点间的距离，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
9．（2024秋 碑林区校级期中）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm，求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】114cm2．
【分析】根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴．
∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
＝54+60
＝114（cm2）．
所以这张纸片的面积为114cm2．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
10．（2024秋 淮阳区期末）已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形面积求出AB，推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C＝90°，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵DE＝7，△ABE的面积为35，
∴AB×7＝35，
∴AB＝10，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABC6×8＝24．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出△ABC是直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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