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预习衔接.夯实基础 勾股定理的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 成都期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m，如果梯子的顶端下滑0.8m，那么他的底部滑行了（　　）
A．0.8m B．1m C．1.2m D．1.6m
2．（2024秋 昆都仑区校级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）．
A．22cm B．21cm C．20cm D．27cm
3．（2024秋 城阳区期末）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．13m B．m C．5m D．12m
4．（2024春 齐河县期末）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的）
A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
5．（2024秋 嵩县期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A．4m B．5m C．6m D．8m
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 汕头期中）如图，圆柱体的高为6cm，底面周长为6cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底2cm，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是　 　cm．
7．（2024秋 宝安区期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　．
8．（2024秋 荥阳市期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬 　 　cm．
9．（2024秋 丰顺县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米．
10．（2024秋 成华区校级期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　 　cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（AC＝1米）．将它往前推进一些（EB⊥OC于点E，且EB＝4米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（BD＝CE＝2米），求秋千绳（OA或OB）的长度．
12．（2024秋 姑苏区校级期中）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向再下降4米，则他应该再收回多少米线？
13．（2024秋 昆都仑区校级期中）如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
14．（2024秋 江阴市期中）综合实践
徐霞客（1586﹣1641），名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴（今江苏江阴市）人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人“．
XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动．
主题：检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边CD．
素材：一个雕塑，一把卷尺
步骤1：利用卷尺测量边AD，底边CD的长度，并测量出点A，C之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边CD．
解决问题：
通过测量得到边AD的长是60厘米，边CD的长是80厘米，AC的长是100厘米，边AD垂直于边CD吗？为什么？
15．（2024秋 城阳区期中）如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 探究风筝离地面的垂直高度
活动工具 直角三角板、皮尺等
活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即CD＝BE＝1.5米）
问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线DA方向再上升12米，且BC长度不变，那么他应该再放出多少米线？
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
预习衔接.夯实基础 勾股定理的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 成都期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m，如果梯子的顶端下滑0.8m，那么他的底部滑行了（　　）
A．0.8m B．1m C．1.2m D．1.6m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．
【解答】解：由题意知AB＝DE＝5m，BC＝1.4m，AD＝0.8m，
在Rt△ABC中，AC为直角边，
∴AC4.8（m），
已知AD＝0.8m，则CD＝4.8﹣0.8＝4（m），
在Rt△CDE中，CE为直角边，
∴CE3（m），
∴BE＝3﹣1.4＝1.6（m），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2024秋 昆都仑区校级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）．
A．22cm B．21cm C．20cm D．27cm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，交EF于点F，此时点A′、F、B在同一条直线上，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
依题意，A′D＝32÷2＝16（cm），BD＝3+（14﹣5）＝12（cm）
此时．
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm，
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3．（2024秋 城阳区期末）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．13m B．m C．5m D．12m
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12（m），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC13（m），
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故选：A．
【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
4．（2024春 齐河县期末）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的）
A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】由勾股定理求出AB＝15m，再由勾股定理求出AD＝6m，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m，
∴AB15（m），
∵此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（m），
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD6（m），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（m），
即船向岸边移动了9m，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出AB和AD的长是解题的关键．
5．（2024秋 嵩县期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，CF＝3m，BE＝1m，
∴BD＝2m．
设AC的长为x m，则AB＝AC＝x （m），
所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．
在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 汕头期中）如图，圆柱体的高为6cm，底面周长为6cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底2cm，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是　5　cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】展开与折叠；运算能力．
【答案】5．
【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高6cm，宽为底面圆周长的一半，BC＝CH﹣BH＝4cm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
【解答】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，
连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是AE、DF的中点，
∵底面周长是6cm，
∴AC＝3cm，
∵CH＝6cm，BH＝2cm，
∴BC＝4cm，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用，正确利用展开图进行计算是解题关键．
7．（2024秋 宝安区期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　2.6米　．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】2.6米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得DE＝AC＝2.4，AE＝CD＝0.3，DE＝1，再根据勾股定理求解即可
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB﹣AE＝1米，
∴BD2.6（米）．
所以此时牵狗绳BD的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
8．（2024秋 荥阳市期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬 　130　cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】130．
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如图，
∵因为BC＝30×3+10×3＝120，AC＝50，
∴AB2＝AC2+BC2＝16900，
∴AB＝130（cm），
∴壁虎爬行的最短线路为130cm．
故答案为：130．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，解题关键是画出求A到B的最短路径的展开图．
9．（2024秋 丰顺县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米）
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
10．（2024秋 成华区校级期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　20　cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；推理能力．
【答案】20cm．
【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB20（cm）；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB（cm）；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB7（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（AC＝1米）．将它往前推进一些（EB⊥OC于点E，且EB＝4米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（BD＝CE＝2米），求秋千绳（OA或OB）的长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】8.5米．
【分析】设OB＝OA＝x米，则OE＝OA﹣AE＝（x﹣1）米，在Rt△OBE中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设OB＝OA＝x米，
∵AE＝CE﹣AC＝2﹣1＝1（米），
∴OE＝OA﹣AE＝（x﹣1）米，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：OB2＝EB2+OE2，
即x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：秋千绳（OA或OB）的长度为8.5米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
12．（2024秋 姑苏区校级期中）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向再下降4米，则他应该再收回多少米线？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）风筝的高度CE为17.5米；
（2）他应该再收回（20﹣12）米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256，
所以，CD＝16（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝16+1.5＝17.5（米），
答：风筝的高度CE为17.5米；
（2）如图所示：在DC上取一点M，使CM＝4米，连接BM，
由题意得，CM＝4米，
∴DM＝12米，
在Rt△MDB中，
∴BM12（米），
∴BC﹣BM＝（20﹣12）米，
∴他应该再收回（20﹣12）米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2024秋 昆都仑区校级期中）如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）OB的长度为15米；
（2）云梯的底部B往外移动了5米．
【分析】（1）根据勾股定理得出方程求解即可；
（2）由勾股定理求出OD的长即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意知，AB＝（x+10）米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15，
∴OB的长度为15米；
（2）由题意知，OC＝AO﹣AC＝20﹣5＝15（米），CD＝AB＝25米，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
OC2+OD2＝CD2，
即152+OD2＝252，
解得OD＝20米（负值舍去），
∴BD＝20﹣15＝5（米），
∴云梯的底部B往外移动了5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
14．（2024秋 江阴市期中）综合实践
徐霞客（1586﹣1641），名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴（今江苏江阴市）人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人“．
XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动．
主题：检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边CD．
素材：一个雕塑，一把卷尺
步骤1：利用卷尺测量边AD，底边CD的长度，并测量出点A，C之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边CD．
解决问题：
通过测量得到边AD的长是60厘米，边CD的长是80厘米，AC的长是100厘米，边AD垂直于边CD吗？为什么？
【考点】勾股定理的应用；有理数的减法．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】垂直，理由见解析．
【分析】根据勾股定理逆定理进行检验即可；
【解答】解：垂直．
理由如下：∵AD＝60厘米，CD＝80厘米，AC＝100厘米，
而602+802＝1002，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥CD．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
15．（2024秋 城阳区期中）如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 探究风筝离地面的垂直高度
活动工具 直角三角板、皮尺等
活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即CD＝BE＝1.5米）
问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线DA方向再上升12米，且BC长度不变，那么他应该再放出多少米线？
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）他应该再放出8米长的线．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出的AC长，即可得到结论；
（2）在Rt△A′BC中，根据勾股定理求出A′B，即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，
由勾股定理得：AC8（米），
∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米时，A'C＝12+8＝20（米），
在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米，
由勾股定理得：A′B25（米），
∴A'B﹣AB＝25﹣17＝8（米），
答：小明应该再放出8米长的线．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出AC、A'B的长是解题的关键．
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