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预习衔接.夯实基础 实数
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 惠山区期中）在﹣3，，，0.1，，0.1010010001这些实数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024秋 宁波期中）试估算在哪两个数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
3．（2024秋 宝安区期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 江北区期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p﹣q+pq，例如2@3＝2﹣3+2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m＜﹣5 B．﹣8＜m≤﹣5 C．﹣8≤m≤﹣5 D．﹣8＜m＜﹣5
5．（2024秋 平山县期中）如图，数轴上两点分别对应实数a、b，则下列结论错误的是（　　）
A．a+b＜0 B．|a|＜|b| C．ab＜0 D．a3＜b3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金水区期中）比较下面两个实数的大小 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
7．（2024秋 市南区校级期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 　 　．
8．（2024秋 丽水期中）若，则所有满足条件的整数x之和为 　 　．
9．（2024秋 工业园区校级期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则a+3b＝ 　 　．
10．（2024秋 福田区校级期中）对于两个实数a，b（其中a≠b），定义一种新运算：，如：，那么（4）⊙（﹣3）＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 市南区校级期中）3a﹣23的立方根是﹣5，36的平方根是6与b+15，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求b+c﹣2a的算术平方根．
12．（2024秋 抚州期末）现定义新运算“⊙”，对于任意两个实数a，b，规定a⊙b＝ab﹣2a﹣2b．
（1）计算：3⊙5；
（2）若a⊙（3⊙k）的取值与a无关，求实数k．
13．（2024秋 普宁市校级期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
14．（2024秋 南山区期中）计算：
（1）；
（2）．
15．（2024秋 麦积区期中）实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简．
预习衔接.夯实基础 实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 惠山区期中）在﹣3，，，0.1，，0.1010010001这些实数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：4，是整数，属于有理数；
在﹣3，，，0.1，，0.1010010001这些实数中，无理数有，，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数，算术平方根和立方根．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2024秋 宁波期中）试估算在哪两个数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴34，
∴52＜6，
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解题的关键．
3．（2024秋 宝安区期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；解直角三角形及其应用；数感；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出OB，即OA的长，进而得出点A在数轴上所表示的数．
【解答】解：如图，在Rt△BOC中，OC＝1，BC＝2，
∴OBOA，
∴点A在数轴所表示的数为．
故选：A．
【点评】本题考查数轴表示数，勾股定理，掌握勾股定理以及数轴表示数的方法是正确解答的关键．
4．（2024秋 江北区期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p﹣q+pq，例如2@3＝2﹣3+2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m＜﹣5 B．﹣8＜m≤﹣5 C．﹣8≤m≤﹣5 D．﹣8＜m＜﹣5
【考点】实数的运算；一元一次不等式组的整数解．
【专题】新定义；实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用题中的新定义化简不等式组，根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简不等式组得：
，
化简得：，
解得：x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为﹣1，0，1，
∴﹣21，
解得：﹣8＜m≤﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2024秋 平山县期中）如图，数轴上两点分别对应实数a、b，则下列结论错误的是（　　）
A．a+b＜0 B．|a|＜|b| C．ab＜0 D．a3＜b3
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】根据数轴可得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后再分析四个选项即可．
【解答】解：由数轴可得：b＜﹣1＜0＜a＜1，
A、a+b＜0正确，故不符合题意；
B、|a|＜|b|正确，故不符合题意；
C、ab＜0正确，故不符合题意；
D、a3＞b3错误，故符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；绝对值越大，离原点越远．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金水区期中）比较下面两个实数的大小 　＜　（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】实数大小比较；估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】＜．
【分析】先估算的大小，然后根据不等式的性质估算 的大小，最后根据同分母分数相比较的方法比较大小即可．
【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
7．（2024秋 市南区校级期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 　　．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得点E表示的实数．
【解答】解：由图形可知，BC长为3，AB长为1，
∴AC，
∵A点表示﹣1，
∴点E表示的实数是1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．（2024秋 丽水期中）若，则所有满足条件的整数x之和为 　2　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】估算出在哪两个连续整数之间后即可确定符合题意的所有x的值，然后将它们相加计算即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴12，
∴﹣21，
∴x＜2.236之间的所有整数x的值为﹣1，0，1，2，
则﹣1+0+1+2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得符合题意的所有x的值是解题的关键．
9．（2024秋 工业园区校级期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则a+3b＝ 　34　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】34．
【分析】根据无理数大小可得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，b2，
则原式＝2+3（）＝34．
故答案为：34．．
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．
10．（2024秋 福田区校级期中）对于两个实数a，b（其中a≠b），定义一种新运算：，如：，那么（4）⊙（﹣3）＝ 　　．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴（4）⊙（﹣3）
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 市南区校级期中）3a﹣23的立方根是﹣5，36的平方根是6与b+15，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求b+c﹣2a的算术平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣34，b＝﹣21，c＝3，
（2）5．
【分析】（1）先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再估算出的取值范围，求出c的值即可；
（2）把a、b、c的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3a﹣23的立方根是﹣5，
∴3a﹣23＝（﹣5）3＝﹣125，
解得a＝﹣34；
∵36的平方根是6与b+15，
∴b+15＝﹣6，
解得b＝﹣21；
∵9＜15＜16，
∴34，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；
（2）∵a＝﹣34，b＝﹣21，c＝3，
∴b+c﹣2a
＝﹣21+3﹣2×（﹣34）
＝﹣21+3+68
＝50，
∴b+c﹣2a的算术平方根是5．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念，无理数的估算，开方与乘方的关系，需要注意的是第二问要先求出这个代数式的值，再去求它的算术平方根．
12．（2024秋 抚州期末）现定义新运算“⊙”，对于任意两个实数a，b，规定a⊙b＝ab﹣2a﹣2b．
（1）计算：3⊙5；
（2）若a⊙（3⊙k）的取值与a无关，求实数k．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣1；
（2）8．
【分析】（1）根据新定义的运算求解即可；
（2）根据新定义的运算可得a⊙（3⊙k）＝（k﹣8）a﹣2k+12，结合a⊙（3⊙k）的取值与a无关，易知k﹣8＝0，即可获得答案．
【解答】解：（1）根据定义的新运算，
可得3⊙5＝3×5﹣2×3﹣2×5＝﹣1；
（2）∵3⊙k＝3k﹣2×3﹣2k＝k﹣6，
∴a⊙（3⊙k）＝a⊙（k﹣6）＝a（k﹣6）﹣2a﹣2（k﹣6）＝（k﹣8）a﹣2k+12，
∵a⊙（3⊙k）的取值与a无关，
∴k﹣8＝0，
解得k＝8．
【点评】本题主要考查了新定义的运算、有理数混合运算、整式运算等知识，理解新定义的运算规则是解题关键．
13．（2024秋 普宁市校级期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣3，b＝10，c＝6；
（2）的平方根为±2．
【分析】（1）根据立方根的定义，算术平方根，估算即可求出的a，b，c的值；
（2）把a，b，c代入计算即可．
【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2
∴3a+1＝（﹣2）3，则a＝﹣3，
∵b﹣1的算术平方根是3，
∴b﹣1＝32，则b＝10，
∵，即
∴的整数部分c＝6，
∴a＝﹣3，b＝10，c＝6；
（2）由（1）得a＝﹣3，b＝10，c＝6，
∴，
∴的平方根为．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键．
14．（2024秋 南山区期中）计算：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）先根据立方根、绝对值、算术平方根的定义计算，再合并即可；
（2）先算中括号里面的，再算小括号里面的，再算乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）
＝﹣2
＝4；
（2）
＝﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝﹣1
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（2024秋 麦积区期中）实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简．
【考点】实数的运算；立方根；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣b．
【分析】先利用数轴表示数的方法得到b＜0＜a，再利用绝对值和立方根的性质得原式＝﹣（a+b）+（﹣a）+b，然后去括号后合并即可．
【解答】解：根据题意可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝a﹣b﹣（a+b）+b
＝a﹣b﹣a﹣b+b
＝﹣b．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值和立方根，掌握相应的运算法则是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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