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预习衔接.夯实基础 角
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 绥棱县期末）图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（　　）
A．东偏南30°方向500米处
B．南偏东60°方向500米处
C．北偏西30°方向500米处
D．西偏北30°方向500米处
2．（2024 威县校级三模）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
3．（2024秋 梅县区期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．（2024秋 文山市期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．129° D．141°
5．（2024秋 裕华区期中）如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 栾城区期中）已知∠α＝60°32'，∠α与∠β互余，则∠β＝ 　 　．
7．（2024秋 栾城区期中）如图，点O和点C分别是长方形边上的一点，分别沿着OC、OD对折，使得点A和点B分别落在点A'和点B'，并且点O、A'和B'在同一条直线上，∠COD＝ 　 　．
8．（2024秋 广州期中）如图，经测量，B处在A处的南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东78°方向，求∠C的度数　 　．
9．（2024秋 南山区校级期中）如图，一副三角板按图方式摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为 　 　．
10．（2024秋 沂南县期末）如图，两个直角∠AOB和∠COD有公共顶点O，下列结论：
①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一射线．
其中正确的是　 　 （填序号）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临洮县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
12．（2024秋 随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．
（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝60°，则α＝　 　°．
②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）．
（2）直接写出∠COD所有可能的度数：　 　（可用含α的式子表示）．
13．（2024秋 杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
14．（2024秋 凉山州期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
15．（2024秋 江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
预习衔接.夯实基础 角
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 绥棱县期末）图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（　　）
A．东偏南30°方向500米处
B．南偏东60°方向500米处
C．北偏西30°方向500米处
D．西偏北30°方向500米处
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的西偏北30° 方向500米处，
故选：D．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
2．（2024 威县校级三模）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方向角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意；
B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意；
C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意；
D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
3．（2024秋 梅县区期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
4．（2024秋 文山市期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．129° D．141°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】利用方向角的定义求解即可．
【解答】解：∠AOB＝90°﹣54°+90°+15°＝141°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义．
5．（2024秋 裕华区期中）如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平角的定义，得到∠α+∠β＝90°，即可得出结论．
【解答】解：由图可知：∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠α和∠β互余；
故选：A．
【点评】本题考查三角板中的计算，余角的定义．掌握和为90度的两角互余，是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 栾城区期中）已知∠α＝60°32'，∠α与∠β互余，则∠β＝ 　29°28′　．
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】29°28′．
【分析】利用余角的定义，度分秒的换算法则计算．
【解答】解：∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣60°32′＝29°28′．
故答案为：29°28′．
【点评】本题考查了余角的定义和度分秒的换算，解题的关键是掌握余角的定义和度分秒的换算法则．
7．（2024秋 栾城区期中）如图，点O和点C分别是长方形边上的一点，分别沿着OC、OD对折，使得点A和点B分别落在点A'和点B'，并且点O、A'和B'在同一条直线上，∠COD＝ 　90°　．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】90°．
【分析】根据折叠的性质可得∠A′OC＝∠AOC，∠B′OD＝∠BOD，再由∠COD＝∠A′OC+∠B′OD进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
∠A′OC＝∠AOC，∠B′OD＝∠BOD，
∵∠COD＝∠A′OC+∠B′OD，
∴（∠A0A′+∠BOB′）90°．
故答案为：90°．
【点评】本题主要考查了角的计算，根据折叠的性质运用角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2024秋 广州期中）如图，经测量，B处在A处的南偏西55°的方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东78°方向，求∠C的度数　92°　．
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】92°．
【分析】根据题意得∠BAD＝55°，∠CAD＝10°，∠EBC＝78°．则∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝65°．进一步得∠EBA＝∠BAD＝55°，则∠ABC＝23°，利用三角形内角和即可求得∠ACB．
【解答】解：如图，
根据方向角的定义，可得∠BAD＝55°，∠CAD＝10°，∠EBC＝78°．
则∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝55°+10°＝65°．
∵AD，EB是正南正北方向，
∴BE∥AD，
∴∠EBA＝∠BAD＝55°，
∵∠EBC＝78°，
∴∠ABC＝78°﹣55°＝23°，
∴根据三角形内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣65°﹣23°＝92°．
所以∠C的度数为92°．
故答案为：92°．
【点评】本题主要考查方向角，关键是相关定义的熟练掌握．
9．（2024秋 南山区校级期中）如图，一副三角板按图方式摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为 　24°　．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】24°．
【分析】根据题意得出∠1+∠3＝45°，∠1＝9°，先求出∠3的值，再根据∠3+∠2＝60°，求出∠2即可．
【解答】解：∵∠1＝9°，∠1+∠3＝45°，
∴∠3＝45°﹣9°＝36°，
∵∠3+∠2＝60°，
∴∠2＝60°﹣36°＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式∠1+∠3＝45°，∠3+∠2＝60°是解此题的关键．
10．（2024秋 沂南县期末）如图，两个直角∠AOB和∠COD有公共顶点O，下列结论：
①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一射线．
其中正确的是　①③④　 （填序号）．
【考点】余角和补角．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故本选项正确．
（2）只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°；
故本选项错误．
（3）∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD；
故本选项正确．
（4）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故本选项正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临洮县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】85°．
【分析】由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数．
【解答】解：如图，由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°，
∴∠CBA＝∠EBC﹣∠EBA＝80°﹣40°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC
＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
答：从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为85°．
【点评】本题主要考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
12．（2024秋 随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．
（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝60°，则α＝　30　°．
②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）．
（2）直接写出∠COD所有可能的度数：　30°或210°﹣2α　（可用含α的式子表示）．
【考点】余角和补角；列代数式；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）①30；②；
（2）30°或210°﹣2α．
【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣α，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣α，，然后化成草图，再根据题意列方程求解即可；
（2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根据角的和差即可解答．
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α，
∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α，
∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴60°﹣α＝α，
解得：α＝30°．
故答案为：30．
②∵∠AOB与∠AOD互余，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α，
∵，
∴，
如图：
∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，，
∴，，
∵∠COM＝3∠AOM，
∴，
解得：．
（2）
∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴∠AOD＝90°﹣α，
由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，
∴当OD在OA上面时，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°，
当OD在OA下面时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α．
故答案为：30°或210°﹣2α．
【点评】本题主要考查了余角和补角、列代数式，角的概念，明确题意、准得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
13．（2024秋 杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC∠AOB120°＝40°；
（2）∵∠AOD∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
14．（2024秋 凉山州期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC70°＝35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，然后与（1）的计算方法一样．
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
【点评】考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．
15．（2024秋 江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）40；
（2）①135；②不变，理由见解析；③90°．
【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；
③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
【点评】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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