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预习衔接.夯实基础 椭圆
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）若椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
2．（2024秋 南阳期中）已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 南阳期中）已知椭圆C：1的短轴长为4，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2024秋 南昌县校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交C于A、B两点，则△AF1B的周长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 五华区校级期中）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆E上，设O为坐标原点，且△POF2为等边三角形，则下列说法正确的是（　　）
A． 0 B．|PF1|＝2|PF2|
C． D．点P的纵坐标为
（多选）6．（2024秋 启东市期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△F1PF2的周长为4
C．若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
D．的取值范围为[2，3]
（多选）7．（2024秋 金坛区期中）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（　　）
A．a﹣c＝m+R B．a+c＝n+R
C．2a＝m+n D．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 温江区校级期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 　 　．
9．（2024秋 安徽期中）已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若，则MF1的长等于 　 　．
10．（2024秋 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：以及圆Γ2：x2+y2＝4，若点A、B分别在Γ1、Γ2上，点C满足，则的最小值为 　 　．
11．（2024秋 大丰区校级期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|＝2|PF2|，cos∠PF2Q，则椭圆C的离心率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 五华区校级期中）已知椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的长度．
13．（2024秋 启东市期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过F且与椭圆C交于M，N两点，证明：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，|MN|．
14．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
15．（2024秋 赣州期中）已知椭圆经过点，且右焦点F为．
（1）求C的方程；
（2）若直线x＝my+1（m≠0）与C交于点A，B，点B关于x轴的对称点为B′，判断直线AB′是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）若椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【考点】求椭圆的焦点和焦距；求抛物线的焦点和焦准距．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】求出抛物线的焦点，进而求解结论．
【解答】解：因为椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，
且抛物线的焦点为（1，0），
故m﹣2＝12＝1，解得m＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
2．（2024秋 南阳期中）已知椭圆C：1，则椭圆C上的点到直线l：x+2y﹣25＝0的距离的最大值为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】D
【分析】法（i）设椭圆C上的点为P（3cosθ，2sinθ），结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解；
法（ii）设与直线l：x+2y﹣25＝0且与椭圆相切的直线为x+2y+m＝0，m≠﹣25，联立与椭圆的方程，由判别式等于0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离的范围，即求出椭圆上的点到直线的距离的范围，可得最大值．
【解答】解：法（i）设椭圆C上的点为P（3cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离为，其中，
由sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，故椭圆C上的点到直线l的距离的最大值为．
法（ii）设与直线l：x+2y﹣25＝0且与椭圆相切的直线为x+2y+m＝0，m≠﹣25，
则，整理可得：25y2+16my+4m2﹣36＝0，
Δ＝162m2﹣4×25×（4m2﹣36）＝0，可得m＝±5，
即所求的直线方程为x+2y±5＝0，
可得与直线x+2y﹣25＝0的距离为6或4，
所以椭圆上的点到直线l的距离的范围为[4，6]．
所以椭圆上的点到直线的最大距离为6．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆上的点到直线的距离的最大值问题，属于中档题．
3．（2024秋 南阳期中）已知椭圆C：1的短轴长为4，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】椭圆的长短轴．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据短轴长求得b2＝4，讨论m，m2大小及椭圆定义求参数．
【解答】解：由椭圆C：1的短轴长为4，得2b＝4，即b＝2，则b2＝4，
若m＞m2＞0 0＜m＜1，则m2＝4，显然矛盾；
若m2＞m＞0 m＞1，则m＝4．
经验证，当m＝4时，椭圆的短轴长为4．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆方程的应用，短轴长的求法，是中档题．
4．（2024秋 南昌县校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交C于A、B两点，则△AF1B的周长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，结合焦点三角形的周长，转化求解即可．
【解答】解：由题，a2＝3，即，由椭圆定义可知，
△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）
．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆定义的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 五华区校级期中）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆E上，设O为坐标原点，且△POF2为等边三角形，则下列说法正确的是（　　）
A． 0 B．|PF1|＝2|PF2|
C． D．点P的纵坐标为
【考点】椭圆的几何特征；椭圆的焦点三角形；椭圆的定义．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】由题意，根据△POF2为等边三角形以及椭圆的性质即可判断选项A；利用余弦定理即可判断选项B；结合椭圆的定义即可判断选项C；利用椭圆的对称性即可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：因为△POF2为等边三角形，
所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|＝c，且∠POF2＝60°，
则∠F1PF2＝30°+60°＝90°，
所以PF1⊥PF2，
即，故选项A正确；
对于选项B：在△POF1中，由余弦定理得，
所以，故选项B错误；
对于选项C：因为|，|PF2|＝c，
所以|PF1|+|PF2|＝（1）c＝2a，①
因为a2＝1+c2，②
联立①②，
解得，故C正确；
对于选项D：由椭圆的对称性可知，△POF2为等边三角形中的点P可能在第一象限，也可能在第四象限，
所以点P的纵坐标可正可负，故选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 启东市期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△F1PF2的周长为4
C．若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
D．的取值范围为[2，3]
【考点】椭圆与平面向量；椭圆的定义；求椭圆的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的性质及题意求出a，c可判断A；由椭圆的定义可判断B；根据余弦定理求出|PF1||PF2|得三角形面积判断C；利用向量的数量积坐标运算求出范围判断D．
【解答】解：对于A，由|PF1|的最大值为3，最小值为1知，a+c＝3，a﹣c＝1，
解得a＝2，c＝1，所以离心率，故A正确；
对于B，由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝4，F1F2|＝2c＝2，
所以△F1PF2 的周长为2a+2c＝6，故B错误；
对于C，在△F1PF2中，由余弦定理有：，
即，
所以4＝16﹣3|PF1||PF2|，
解得：|PF1||PF2|＝4，
所以，故C正确；
对于D，由题意可得椭圆方程为，F1（﹣1，0），F2（1，0），
设，
则，，
所以，
由0≤cos2θ≤1，可知，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．
（多选）7．（2024秋 金坛区期中）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（　　）
A．a﹣c＝m+R B．a+c＝n+R
C．2a＝m+n D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意可知：a﹣c﹣R＝m，a+c﹣R＝n，从而求出a，c的值，进而求出b的值，推出结果．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则由题意可知：a﹣c﹣R＝m，a+c﹣R＝n，可得a﹣c＝m+R，所以A正确；
a+c＝R+n，所以B正确；
可得aR，c．
2a＝m+n+2R，C错误；
则b2＝a2﹣c2＝（R）2﹣（）2＝（m+R）（n+R）．
则2b＝2，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 温江区校级期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率．
【解答】解：椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若，所以，所以，
设A（0，b），F（c，0），设直线，
点B在直线AF上，所以，
点B在椭圆上，可得，
所以，即得．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
9．（2024秋 安徽期中）已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若，则MF1的长等于 　5　．
【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】5．
【分析】结合椭圆的定义求解．
【解答】解：已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点，
则MF1+MF2＝2×4＝8，
又N是MF1的中点，且，
则MF2＝2ON＝3，
则MF1＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了椭圆的定义，属基础题．
10．（2024秋 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：以及圆Γ2：x2+y2＝4，若点A、B分别在Γ1、Γ2上，点C满足，则的最小值为 　　．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由得到，再由，结合函数单调性即可求解．
【解答】解：设O为坐标原点，
因为A、B分别在Γ1、Γ2上，
所以4≤|AO|≤5，
又圆Γ2：x2+y2＝4的半径为2，
结合图象可知，2≤|BA|≤3，
因为，
所以，
所以0＜cosB≤1，
且，
由，
所以，
即，
所以，
因为4≤|BA|2≤9，
易知函数在（1，+∞）上单调递增，
所以y在|BA|2＝4时，取得最小值，
所以，当B＝0°，|BA|＝2时，取得最小值，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量模长问题，重点考查了利用基本不等式或对勾函数求最值问题，属中档题．
11．（2024秋 大丰区校级期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|＝2|PF2|，cos∠PF2Q，则椭圆C的离心率为 　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】．
【分析】设|PF2|＝m，由题意可得各线段的值，△PQF2中，由余弦定理可得m的值，进而可得|QP|＝|QF2|，即∠QPF2＝∠PF2Q，△PF1F2中，由余弦定理可得a，c的关系，进而求出该椭圆的离心率的大小．
【解答】解：设|PF2|＝m，由椭圆的定义及题意可得|PF1|＝2a﹣m，|QF2|＝2m，
|QF1|＝2a﹣2m，|PQ|＝|QF1|+|PF1|＝4a﹣3m，
在△PQF2中，cos∠PF2Q，
由余弦定理可得：cos∠PF2Q，
解得ma，
|PF1|，|PF2|，
所以|PQ|，|QF2|，则∠QPF2＝∠PF2Q，
可得cos∠QPF2＝cos∠PF2Q，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2，
整理可得：2a2＝5c2，可得e．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 五华区校级期中）已知椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的长度．
【考点】椭圆的弦及弦长；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得a2，b2的值，即可求解；
（2）根据题意，得到l的方程为y＝x+1，联立方程组得到，，利用弦长公式即可求得弦长．
【解答】解：（1）由题可得，解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为；
（2）由过点F1（﹣1，0）作倾斜角为45°的直线l，
所以直线l的方程为y＝x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，整理得7x2+8x﹣8＝0，则Δ＝64+4×7×8＞0，
所以，，
所以
．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．
13．（2024秋 启东市期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过F且与椭圆C交于M，N两点，证明：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，|MN|．
【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明见详解．
【分析】（1）由题意得c的值，求出a、b的值，即可写出椭圆方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不合意义舍去；斜率存在时设出直线方程和直线与椭圆交点坐标，由弦长公式表示出|MN|的值，先讨论当时，直线是否与圆相切；再讨论当直线与圆相切时，是否成立．
【解答】解：（1）由题意可知，，又，
则，所以b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆C的方程：；
（2）证明：当直线l斜率不存在时，与圆x2+y2﹣1不相切，
且此时，
当直线l斜率存在时，设l：，即：，
联立，化简得 ，
设M（x1，y1）N（x2，y2），
则，，
所以
，
令，解得：k＝±1，
所以直线l：或，
此时圆心到直线l的距离或，
所以当时，直线l与圆x2+y2＝b2相切，
当直线与圆y2+y2＝b2相切时，，解得k2＝1，
此时|MN|，
综上所述：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
14．（2024秋 雁塔区校级期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；
（2）①联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出2m2＝3+4k2，表示出△AOB的面积并化简可证明△AOB的面积为定值；
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出4m2＝3+4k2，与2m2＝3+4k2矛盾，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意知，焦距2c＝2，故c＝1，
又，故a＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
故椭圆C的方程为．
（2）①证明：由消去y，化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则Δ＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝48（4k2﹣m2+3）＞0，
，，
故，
因为，
所以2m2＝3+4k2，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以△AOB的面积为，
故△AOB的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设P（x0，y0），则，
又因为，即，得4m2＝3+4k2，
与2m2＝3+4k2矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2024秋 赣州期中）已知椭圆经过点，且右焦点F为．
（1）求C的方程；
（2）若直线x＝my+1（m≠0）与C交于点A，B，点B关于x轴的对称点为B′，判断直线AB′是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）直线AB′过定点（4，0）．
【分析】（1）根据已知点以及焦点，建立方程，可得答案；
（2）联立方程，利用韦达定理，结合点斜式写出方程，整理可得答案．
【解答】解：（1）根据已知椭圆C经过点，且右焦点F为，可得出，
所以b2＝1，a2＝4，因此椭圆C的方程为．
（2）证明：如图：
令B（x2，y2），A（x1，y1），那么B′（x2，﹣y2），
将x＝my+1与联立可得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，
所以Δ＝4m2+12（m2+4）＞0，
因此，，
因此，，，
所以直线AB′方程为，
所以，所以，
化简得，
因此直线AB′过定点（4，0）．
【点评】本题考查直线与椭圆综合应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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