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预习衔接.夯实基础 双曲线
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 太和县校级期中）已知点M为双曲线左支上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024秋 赣州期中）若双曲线C的一个焦点为（2，0），其中一条渐近线与直线平行，则C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 金坛区期中）已知F1，F2分别是双曲线（a，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段AF2的垂直平分线交双曲线于点P，其中PF1＝5PF2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 和平区校级期中）抛物线y2＝2ax（a＞0）上的点M（x0，3）到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，|PQ|＝3，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南阳期中）已知双曲线C：1，下列选项正确的是（　　）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦距为
D．双曲线C的离心率为
（多选）6．（2024秋 西山区校级期中）已知双曲线，当双曲线C的离心率最小时（　　）
A．m＝2
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的一个焦点坐标为
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
（多选）7．（2024春 合肥期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上的动点，过点P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆（x﹣2）2+y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线C的离心率
C．当点P异于双曲线C的顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线上
D．|PA| |PB|为定值
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南昌县校级期中）已知双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为 　 　．
9．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线与直线y＝x﹣1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 　 　．
10．（2024秋 赣州期中）已知曲线可以由双曲线绕原点O逆时针旋转得到，则k＝ 　 　．
11．（2024 西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　 　，cos∠F1MF2＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点到渐近线的距离为2．
（1）求双曲线方程；
（2）过点（0，1）的直线l与双曲线左、右两支分别交于P，Q两点，动点M满足，求点M的轨迹方程．
13．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点P（0，4），Q（2，0），直线PQ与双曲线C交于A，B两点，，，求λ1+λ2的值．
14．（2024秋 靖远县校级期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为双曲线C的左顶点，P为双曲线C右支上的一点（非顶点），∠F1PF2的平分线PM交x轴于点M．
（1）过右焦点F2作F2N⊥PM于点N，求|ON|．
（2）证明：点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．
（3）过点作斜率为k的动直线l与双曲线C的右支交于不同的两点G，H，求斜率k的取值范围．
15．（2024秋 温江区校级期中）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，过点B（3，0）作与x轴不重合的直线l与C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，直线A1Q与A2P交于点T．
（i）设直线A1P的斜率为k1，直线A2Q的斜率为k2，若k1＝λk2，求λ的值；
（ii）求△A2ST的面积的取值范围．
预习衔接.夯实基础 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 太和县校级期中）已知点M为双曲线左支上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】双曲线的焦点弦及焦半径．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由双曲线的定义即可求解．
【解答】解：由双曲线的标准方程可知a＝3，b＝4，c，
∵点M为双曲线左支上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，
∴|MF2|﹣|MF1|＝2a，故|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a，
∴|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
2．（2024秋 赣州期中）若双曲线C的一个焦点为（2，0），其中一条渐近线与直线平行，则C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设出标准方程，根据焦点得到c，构造方程组，根据渐近线与平行，得到，解出a，b．
【解答】解：已知双曲线C的一个焦点为（2，0），其中一条渐近线与直线平行，
则双曲线的焦点在x轴上，
设C的标准方程为，
则a2+b2＝c2＝4，，
解得a＝1，，
所以C的标准方程为．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属基础题．
3．（2024秋 金坛区期中）已知F1，F2分别是双曲线（a，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段AF2的垂直平分线交双曲线于点P，其中PF1＝5PF2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的性质及勾股定理求解．
【解答】解：已知PF1＝5PF2，
又PF1﹣PF2＝2a，
则PF1，PF2，
设段AF2的中点为M，
则，，
又，
则，
则c2+ac﹣3a2＝0，
即e2+e﹣3＝0，
又e＞1，
即．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线的性质及勾股定理，属中档题．
4．（2024秋 和平区校级期中）抛物线y2＝2ax（a＞0）上的点M（x0，3）到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，|PQ|＝3，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得a，x0，进而可得A、B坐标，结合双曲线渐近线性质及|PQ|＝3列方程求双曲线参数c，即可得离心率．
【解答】解：由题设得，解得，故C：，
所以A（﹣3，0），B（3，0），渐近线方程为，
设P、Q在上，设直线的倾斜角为α，则，
又，解得，
所以，故，
即c＝6，所以．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线和抛物线的性质，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南阳期中）已知双曲线C：1，下列选项正确的是（　　）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦距为
D．双曲线C的离心率为
【考点】求双曲线的渐近线方程；双曲线的实轴和虚轴；求双曲线的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】由双曲线方程可得a、b，即可得c，即可得双曲线C的渐近线方程、实轴长、焦距与离心率．
【解答】解：已知双曲线C：1，
则a＝4，b＝2，焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，实轴长为8，
故A错误，B正确；
因为，
所以双曲线C的焦距为，
离心率为，
故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属基础题．
（多选）6．（2024秋 西山区校级期中）已知双曲线，当双曲线C的离心率最小时（　　）
A．m＝2
B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的一个焦点坐标为
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
【考点】求双曲线的焦点和焦距；求双曲线的渐近线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AB
【分析】由重要不等式的应用，结合双曲线的性质求解．
【解答】解：已知双曲线，
则a2＝m，b2＝m2﹣m+4，c2＝a2+b2＝m2+4，
则，
当且仅当m2＝4，即m＝2时取等号，
此时双曲线的方程为，
对于A，当双曲线C的离心率最小时，m＝2，
则A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，
则B正确；
对于C，双曲线的焦点坐标为和，
则C错误；
对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了双曲线的性质，属中档题．
（多选）7．（2024春 合肥期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上的动点，过点P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆（x﹣2）2+y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线C的离心率
C．当点P异于双曲线C的顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线上
D．|PA| |PB|为定值
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得△PF1F2的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得|PA| |PB|的值判断选项D．
【解答】解：对于A：双曲线的渐近线方程是，
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心是（2，0），半径是1，
则，b＝1（﹣1舍去），
由b＝1，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对于B：由，则离心率，故B正确；
对于C：设△PF1F2的内切圆与x轴，PF1，PF2 分别相切于点M，N，Q，
由圆的切线性质知|PF1|﹣|PF2|＝|NF1|﹣|QF2|＝|F1M|﹣|F2M|＝2a，
即xM+c﹣（c﹣xM）＝2a，
所以xM＝a，
因此内心在直线x＝a，即直线上，故C正确；
对于D：设P（x0，y0），则，即，
又渐近线方程是，
则，，
，则，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查双曲线的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南昌县校级期中）已知双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为 　　．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得a，b，c的等量关系，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的左、右作点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，且，
因为
，
所以，则∠F1F2M＝∠F1MF2，
过M作MH⊥x轴，垂足为H，
由题意知，则，故，
在Rt△MHF1中，，
故，又点M在双曲线上，
则，将b2＝c2﹣a2代入整理得4c4﹣8a2c2+a4＝0，
则4e4﹣8e2+1＝0，解得，又e＞1，得到，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
9．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线与直线y＝x﹣1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 　　．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件求得1，，1，再结合点差法即可求解结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则1，，1，
则1①，1②，
①﹣②整理得：
0，
即，
故双曲线的离心率e．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于中档题．
10．（2024秋 赣州期中）已知曲线可以由双曲线绕原点O逆时针旋转得到，则k＝ 　4　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案．
【解答】解：双曲线，
则a2＝8，即a＝2，
故双曲线的右顶点坐标为，
且双曲线绕点O逆时针旋转得曲线，
又曲线的其中一个顶点坐标为，所以，
解得k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
11．（2024 西藏模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M（点M在第一象限）．若，则双曲线C的离心率e＝　2　，cos∠F1MF2＝　　．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2；．
【分析】第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到|F2A|＝3|AF1|，从而得到c＝2a，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在△F1NF2与△F1MF2中，得到与cos∠F1MF2，从而得解．
【解答】解：如图，
由题意，知A（﹣a，0），设双曲线C的焦距为2c，则F1（﹣c，0），F2（c，0）．
由，得MF2∥NA，且|MF2|＝4|NA|，
所以|F2A|＝3|AF1|，|MN|＝3|NF1|，所以c+a＝3（c﹣a），即c＝2a，
所以双曲线C的离心率．
连接NF2，设|MF2|＝m，
则．
在△F1NF2和△F1MF2中，由余弦定理的推论，
得，
化简整理，得，
所以在△F1MF2中，由余弦定理的推论，
得．
故答案为：2；．
【点评】本题考查双曲线的性质以及余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点到渐近线的距离为2．
（1）求双曲线方程；
（2）过点（0，1）的直线l与双曲线左、右两支分别交于P，Q两点，动点M满足，求点M的轨迹方程．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程；双曲线相关动点轨迹．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）4x2﹣y2+2y＝0（y≥2）．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可解；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线的一条渐近线为y＝2x，
所以，①
又双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2，
所以，②
又a2+b2＝c2，③
联立①②③，
解得a＝1，b＝2，
则双曲线的方程为；
（2）易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx+1，M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理得（4﹣k2）x2﹣2kx﹣5＝0，
此时4﹣k2≠0且Δ＞0，
由韦达定理得x1+x2，x1x2，
因为Δ＞0且x1x20，
解得﹣2＜k＜2，
因为，
所以x＝x1+x2，y＝y1+y2＝k（x1+x2）+2，
可得，
即k，
又y，
解得4x2﹣y2+2y＝0（y≥2）．
故点M的轨迹方程为4x2﹣y2+2y＝0（y≥2）．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 镇海区校级期中）已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点P（0，4），Q（2，0），直线PQ与双曲线C交于A，B两点，，，求λ1+λ2的值．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）y．
（2）．
【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线PQ的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得λ1+λ2的值．
【解答】解：（1）在双曲线C：中，，
所以该双曲线的渐近线方程为．
（2）由题意可知，直线PQ的方程为，即y＝﹣2x+4，且，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，可得x2﹣16x+19＝0，Δ＝162﹣4×19＞0，
由韦达定理可得x1+x2＝16，x1x2＝19，
，，且，，
则（2，﹣4）＝λ1（x1﹣2，y1）＝λ2（x2﹣2，y2），所以，λ1（x1﹣2）＝λ2（x2﹣2）＝2，
．
【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．
14．（2024秋 靖远县校级期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为双曲线C的左顶点，P为双曲线C右支上的一点（非顶点），∠F1PF2的平分线PM交x轴于点M．
（1）过右焦点F2作F2N⊥PM于点N，求|ON|．
（2）证明：点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．
（3）过点作斜率为k的动直线l与双曲线C的右支交于不同的两点G，H，求斜率k的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）证明过程见解析；
（3）．
【分析】（1）延长F2N交PF1于点E，利用平面几何知识，结合双曲线的性质可求得|ON|；
（2）设点P的坐标为（m，n），利用点到直线的距离公式计算可求得结论；
（3）设直线l的方程为，联立方程组，消元可得，利用方程有两个正根可求斜率k的取值范围．
【解答】解：（1）延长F2N交PF1于点E，
因为PM平分∠F1PF2，F2N⊥PM，
所以△PNF2≌△PNE，
所以|PF2|＝|PE|，|F2N|＝|NE|，
则N为F2E的中点，
因为O为F1F2的中点，
所以，且ON∥F1E，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|﹣|PF2|＝|F1E|+|PE|﹣|PF2|＝|F1E|＝2，
则；
（2）证明：设P（m，n），
因为点P在双曲线C上，
所以，
即3m2﹣n2＝3，
易知双曲线C的渐近线为和，
所以点P到两条渐近线的距离之积为，
故点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．
（3）易知直线l的方程为，
即，
联立，消去y并整理得，
因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点G，H，
设G（x1，y1），H（x2，y2），
此时关于x的方程有两个不同的正数根x1，x2，
即，
因为k2﹣4k+16＞k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
所以，
因为k2（k﹣2）2+（3﹣k2）（k2﹣4k+16）＝﹣9k2﹣12k+48＝﹣3（3k2+4k﹣16），
解得．
则斜率k的取值范围为．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 温江区校级期中）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，过点B（3，0）作与x轴不重合的直线l与C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，直线A1Q与A2P交于点T．
（i）设直线A1P的斜率为k1，直线A2Q的斜率为k2，若k1＝λk2，求λ的值；
（ii）求△A2ST的面积的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】函数思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）（i）．
（ii）．
【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；
（2）设直线l方程及P、Q坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，
（i）利用两点斜率公式消元计算即可；
（ii）联立直线方程求出S、T坐标，并求出|ST|，利用三角形面积公式及2范围计算即可．
【解答】解：（1）由题意知：2a＝4，，解得a＝2，b＝1，双曲线方程为．
（2）
因为直线l斜率不为0，设直线l方程为x＝ty+3，易知A1（﹣2，0），A2（2，0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（t2﹣4）y2+6ty+5＝0，
则，且，
（i）
．
（ii）由题可得：A2Q：y＝k2（x﹣2），A1P：y＝k1（x+2）．
联立可得：，即，同理T（，）．
所以|ST||
，
故，
因为t2≥0且t2≠4，
所以．
【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题．
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