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预习衔接.夯实基础 等差数列
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）在等差数列{an}中，已知a1＝2，S3＝15，则a4等于（　　）
A．11 B．13 C．15 D．16
2．（2024秋 平度市期中）已知{an}为等差数列，若a4+a6+a8＝2π，则tan（a3+a9）的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 西宁期中）若{an+2n}是等差数列，且a1＝3，a2＝6，则数列{an}的前10项和为（　　）
A．﹣1111 B．﹣1717 C．﹣1771 D．﹣1777
4．（2024秋 温江区校级期中）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 吕梁期中）下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，（m≠n），则am+n＝0
D．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S4＝6，S8＝10，则S16＝18
（多选）6．（2024秋 邵东市校级期末）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+9n（n∈N*），则下列结论正确的是（　　）
A．{an}是等差数列 B．a4+a6＝0
C．a9＜a10 D．Sn有最大值
（多选）7．（2024春 邻水县期中）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＜0，a5+a10＞0，则下列选项不正确的是（　　）
A．数列{an}为递减数列 B．a8＜0
C．Sn的最大值为S7 D．S14＞0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 漳州期中）等差数列{an}中，a5＝24，a8＝15，则a13＝ 　 　．
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn．若a9＝2a4，则 　 　．
10．（2024秋 福建期中）若等差数列{an}满足a17+a18+a19＜0，a17+a20＞0，则当n＝ 　 　时，{an}的前n项和最小．
11．（2024秋 雨花区期中）若数列{an}满足（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+ +b2022＝20220，则b1b2022的最大值是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 重庆期中）已知非零等差数列{an}满足：a10＝a9﹣2a8，a1+a6a7＝0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
13．（2024秋 雨花区期中）已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，S11＝﹣22．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值．
14．（2024秋 海安市期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
15．（2024秋 黄岛区期中）记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2是a1和a4的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：b1＝a1﹣1，b2＝a3+3，bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
（i）求证：{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列；
（ⅱ）求bn取最大值时n的值．
预习衔接.夯实基础 等差数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 镇海区校级期中）在等差数列{an}中，已知a1＝2，S3＝15，则a4等于（　　）
A．11 B．13 C．15 D．16
【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
S3＝15，
则3a2＝15，解得a2＝5，
故d＝a2﹣a1＝3，
所以a4＝a1+3d＝2+9＝11．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2．（2024秋 平度市期中）已知{an}为等差数列，若a4+a6+a8＝2π，则tan（a3+a9）的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的性质．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质及特殊角的三角函数值即可得．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，所以a4+a6+a8＝3a6＝2π，，
，即tan．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质及特殊角的三角函数值，属于基础题..
3．（2024秋 西宁期中）若{an+2n}是等差数列，且a1＝3，a2＝6，则数列{an}的前10项和为（　　）
A．﹣1111 B．﹣1717 C．﹣1771 D．﹣1777
【考点】等差数列的前n项和；求等比数列的前n项和．
【专题】计算题；对应思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意利用等差数列的通项公式以及等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：若{an+2n}是等差数列，且a1＝3，a2＝6，
设等差数列的公差为d，
则，
所以，
则，
故数列{an}的前10项和为．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
4．（2024秋 温江区校级期中）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【解答】解：因为等差数列{an}和{bn}满足，
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 吕梁期中）下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，（m≠n），则am+n＝0
D．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S4＝6，S8＝10，则S16＝18
【考点】求等差数列的前n项和；同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于AB，由弦切互化结合三角恒等变换公式即可计算求解；对于CD，由等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解．
【解答】解：A选项，
，A选项正确．
B选项，
，所以B选项错误．
C选项，在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，（m≠n），
设等差数列的公差为d，则，
两式相减得（n﹣m）d＝m﹣n，m≠n，所以d＝﹣1，
则a1＝m+n﹣1，所以am+n＝a1+（m+n﹣1）d＝a1﹣a1＝0，C选项正确．
D选项，设等差数列{an}的公差为d，则S4＝4a16，S8＝8a110，
即，，
所以，所以D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查等差数列的计算，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 邵东市校级期末）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+9n（n∈N*），则下列结论正确的是（　　）
A．{an}是等差数列 B．a4+a6＝0
C．a9＜a10 D．Sn有最大值
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】AB
【分析】由an与Sn的关系求出数列{an}的通项，可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前n项和Sn的函数性质可判断D．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝8，
当n≥2时，，符合a1＝8，
故，
所以an+1＝10﹣2（n+1）＝8﹣2n，an+1﹣an＝﹣2，
所以数列{an}是等差数列，首项为a1＝8，公差d＝﹣2，A正确；
a4+a6＝2a5＝0，B正确；
因为公差d＝﹣2＜0，所以数列{an}是递减数列，所以a9＞a10，C错误；
，
易知当n＝4或5时，Sn有最大值S4＝S5＝20，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查了转化思想，属于中档题．
（多选）7．（2024春 邻水县期中）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＜0，a5+a10＞0，则下列选项不正确的是（　　）
A．数列{an}为递减数列 B．a8＜0
C．Sn的最大值为S7 D．S14＞0
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质可得a7+a8＞0，则a8＞0，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D．
【解答】解：因为a7＜0，a5+a10＝a7+a8＞0，故a8＞0，d＝a8﹣a7＞0，
所以等差数列{an}为递增数列，故AB错误；
因为1≤n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0，所以Sn的最小值为S7，故C错误；
因为，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 漳州期中）等差数列{an}中，a5＝24，a8＝15，则a13＝ 　0　．
【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】0．
【分析】先求公差，然后根据等差数列基本量的计算即可得解．
【解答】解：由题意设公差为d，则，
所以a13＝a8+5d＝15﹣15＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题．
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn．若a9＝2a4，则 　　．
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】．
【分析】由等差数列的通项公式代入a9＝2a4化简可得a1＝2d，再结合等差数列的前n项和公式即可得出答案．
【解答】解：设等差数列{an}的首项和公差为a1，d，d≠0，
∵a9＝2a4，∴a1+8d＝2（a1+3d），则a1＝2d，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题．
10．（2024秋 福建期中）若等差数列{an}满足a17+a18+a19＜0，a17+a20＞0，则当n＝ 　18　时，{an}的前n项和最小．
【考点】等差数列的性质．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】18．
【分析】根据等差数列的性质得a18＜0，a19＞0，再根据数列和定义即可判断．
【解答】解：等差数列{an}满足a17+a18+a19＝a18+2a18＝3a18＜0，解得a18＜0，
等差数列{an}满足a17+a20＞0，
则a18+a19＞0，
故a19＞0，
当n＝18时，{an}的前n项和最小．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
11．（2024秋 雨花区期中）若数列{an}满足（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+ +b2022＝20220，则b1b2022的最大值是 　100　．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】100．
【分析】根据题设易知正项数列{bn}为等差数列，公差为d，应用等差数列前n项和公式得b1+b2022＝20，应用基本不等式求b1b2022最大值．
【解答】解：数列{an}满足（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，
∴由题意，正项数列为“调和数列”，则bn+1﹣bn＝d（d为常数），
所以正项数列{bn}为等差数列，公差为d，
则，
则b1+b2022＝20，
则（当且仅当b1＝b2021＝10时等号成立），
∴b1b2022的最大值是100．
故答案为：100．
【点评】本题考查调和数列、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 重庆期中）已知非零等差数列{an}满足：a10＝a9﹣2a8，a1+a6a7＝0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【考点】求等差数列的前n项和；由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣17；
（2）﹣64．
【分析】（1）设出等差数列{an}的公差后，借助所给等式即可计算出公差与首项，即可得解；
（2）求出Sn后由二次函数性质即可得．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a10＝a9﹣2a8可得a1+9d＝a1+8d﹣2（a1+7d），即2a1＝﹣15d，
由a1+a6a7＝0可得a1+（a1+5d）（a1+6d）＝0，即，
化简得d（d﹣2）＝0，
故d＝0或d＝2，则a1＝0或a1＝﹣15，
由数列{an}为非零数列，故d＝2，a1＝﹣15，
故an＝﹣15+2（n﹣1）＝2n﹣17；
（2），
故当n＝8时，Sn有最小值S8＝﹣64．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
13．（2024秋 雨花区期中）已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，S11＝﹣22．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值．
【考点】求等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝3n﹣20．
（2）﹣57．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出a1＝﹣17，d＝3，即可得，
（2）由通项公式可求得当n≤6时，an＜0，从而可得当n＝6时，Sn取到最小值，进而可求出其最小值
【解答】解：（1）数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，S11＝﹣22，
设数列{an}的公差为d，
则，
解得，
∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣20．
（2）令an＝3n﹣20＞0，解得，
∴当n≤6时，an＜0．
故当n＝6时，Sn取到最小值为S6＝6a1+15d＝﹣57．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024秋 海安市期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项；等差数列的概念与判定．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n；
（2）c＝0或c＝1，证明过程见解析．
【分析】（1）根据等差数列的性质求解即可；
（2）根据b1，b2，b3成等差数列求得c，再结合等差数列的定义证明即可．
【解答】解：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．
设公差为d，
则，解得a1＝d＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n；
证明：（2）由（1）可得Sn＝na1d＝n2+n，
所以，
所以b1，b2，b3，
由b1，b2，b3成等差数列，可得2，解得c＝0或c＝1，
当c＝0时，bnn+1，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列；
当c＝1时，bnn，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查等差数列的证明，属于中档题．
15．（2024秋 黄岛区期中）记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2是a1和a4的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：b1＝a1﹣1，b2＝a3+3，bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
（i）求证：{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列；
（ⅱ）求bn取最大值时n的值．
【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项；由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n．
（2）（i）证明过程见解答；
（ii）n＝4．
【分析】（1）利用基本量法求得公差为4，从而可求出{an}的通项公式；
（2）（i）求出b1，b2，由bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，得到bn+2﹣bn+1﹣10＝2（bn+1﹣bn﹣10），推导出2，由此能证明{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列且公比为2，首项为﹣2．
（ii）根据（1）求出bn+1﹣bn＝10﹣2n，判断其符号后可得bn取最大值时n的值．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则（a1+d）2＝a1（a1+3d），
∴d2﹣a1d＝0，即d2﹣2d＝0，
∵d≠0，∴d＝2，
∴an＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2）（i）证明：b1＝a1﹣1＝1，b2＝a3+3＝9，
而bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
∴bn+2﹣bn+1﹣10＝2（bn+1﹣bn﹣10），
∵b2﹣b1﹣10＝﹣2≠0，bn+1﹣bn﹣10≠0，
∴2，
∴{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列且公比为2，首项为﹣2．
（ii）由（i）可得bn+1﹣bn﹣10＝﹣2×2n﹣1，
∴bn+1﹣bn＝10﹣2n，
∴当1≤n≤3时，bn+1﹣bn＞0，
当n≥4时，bn+1﹣bn＜0，
∴b1＜b2＜b3＜b4＞b5＞…＞bn＞…，
∴bn取最大值时n＝4．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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