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预习衔接.夯实基础 导数的概念
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（　　）
A．由该图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
2．（2024秋 西城区校级期中）曲线在点（﹣3，﹣8）处的切线斜率为（　　）
A．9 B．5 C．﹣8 D．10
3．（2024秋 海淀区期中）已知，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．（2024春 武汉期中）设f（x）是可导函数，且2，则f′（1）＝（　　）
A．2 B． C．﹣1 D．﹣2
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 市中区校级期中）下列求导公式正确的是（　　）
A．（x3ex）′＝3x2ex+x3ex
B．
C．（sin2x）′＝2cos2x
D．（e﹣cosx）′＝﹣sinx e﹣cosx
（多选）6．（2024春 烟台期末）某弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则（　　）
A．t＝3s时，弹簧振子的位移为12mm
B．t＝3s时，弹簧振子的瞬时速度为0mm/s
C．t＝3s时，弹簧振子的瞬时加速度为
D．t＝1.5s时，弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s
（多选）7．（2024春 华州区校级期中）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．x＝﹣3为f（x）的极大值点
B．x＝1为f（x）的极大值点
C．x＝﹣1.5为f（x）的极大值点
D．x＝2.5为f（x）的极小值点
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 普陀区校级期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）满足函数关系x＝4+16e﹣2t，则大约经过 　 　分钟，温度的瞬时变化率为﹣1℃/h．（精确到1分钟）
9．（2024秋 虹口区校级期中）已知函数f（x）＝2x2+1，则 　 　．
10．（2024 保定一模）已知曲线y＝ex﹣1+ax3+1在x＝1处的切线斜率为4，则实数a的值为 　 　．
11．（2024秋 杭州期中）函数f（x）＝lnx在点（e，1）处的切线的斜率等于 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 双城区校级期中）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且，则；
②设a＞0，k是大于1的正整数，若函数f（x）满足：对任意x∈[0，a]，均有成立，且，则称函数f（x）为区间[0，a]上的k阶无穷递降函数．
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）证明f（x）＝x3﹣3x不是区间[0，3]上的2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）记，；求证：f（t）＞1．
13．（2024春 辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
14．（2024春 黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．
（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；
（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．
15．（2024春 韩城市期中）一小球做简谐振动，其运动方程为，其中x（单位：cm）是小球相对于平衡点的距离，t（单位：s）为运动时间．
（Ⅰ）求小球在时刻的速度；
（Ⅱ）从t＝0s开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？
预习衔接.夯实基础 导数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（　　）
A．由该图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
【考点】平均变化率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用曲线图分析出结果．
【解答】解：对于A：由图可知：甲地的气温日较差明显小于乙地的气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B：由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C：由图可知，甲乙两地的平均变化率为负值，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D：由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：曲线图，瞬时变化率，平均变化率，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
2．（2024秋 西城区校级期中）曲线在点（﹣3，﹣8）处的切线斜率为（　　）
A．9 B．5 C．﹣8 D．10
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】求导，根据导数的几何意义可得解．
【解答】解：，则y′＝x2，
当x＝﹣3时，y′＝（﹣3）2＝9，
故曲线在点（﹣3，﹣8）处的切线斜率为9．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3．（2024秋 海淀区期中）已知，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】导数及其几何意义．
【专题】对应思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数，进一步可得的值．
【解答】解：由，得f′（x），
则．
故选：B．
【点评】本题考查导数值的求法，是基础题．
4．（2024春 武汉期中）设f（x）是可导函数，且2，则f′（1）＝（　　）
A．2 B． C．﹣1 D．﹣2
【考点】变化率的极限与导数的概念．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
【解答】解：f（x）是可导函数，且2，
则3f'（1）＝2，
故f'（2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 市中区校级期中）下列求导公式正确的是（　　）
A．（x3ex）′＝3x2ex+x3ex
B．
C．（sin2x）′＝2cos2x
D．（e﹣cosx）′＝﹣sinx e﹣cosx
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用初等函数 公式和导数的运算法则求函数的导数判断AB，利用复合函数求导公式和初等函数导数公式求函数的导数判断CD．
【解答】解：对于A，（x3ex）′＝（x3）′ex+x3 （ex）′＝3x2ex+x3ex，A正确，
对于B，，B错误，
对于C，函数y＝sin2x，可视为函数y＝sint，t＝2x的复合函数，
函数y＝sint关于变量t的导函数y′＝cost，函数t＝2x关于变量x的导函数t′＝2，
所以（sin2x）′＝cos2x 2＝2cos2x，C正确，
对于D，函数y＝e﹣cosx，可视为函数y＝et，t＝﹣cosx的复合函数，
函数y＝et关于变量t的导函数y′＝et，函数t＝﹣cosx关于变量x的导函数t′＝sinx，
所以（e﹣cosx）′＝sinx e﹣cosx，D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）6．（2024春 烟台期末）某弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则（　　）
A．t＝3s时，弹簧振子的位移为12mm
B．t＝3s时，弹簧振子的瞬时速度为0mm/s
C．t＝3s时，弹簧振子的瞬时加速度为
D．t＝1.5s时，弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A，将t＝3代入即可判断；对于B，根据导数的几何意义先求出y′，将t＝3代入即可判断；对于C，设y′＝f（t），根据导数的几何意义求出f′（t），将t＝3代入即可判断；对于D，将t＝1.5代入y′即可判断．
【解答】解：对于A，当t＝3时，，
即t＝3s时，弹簧振子的位移为12mm，故A正确；
对于B，，
当t＝3时，，
即t＝3s时，弹簧振子的瞬时速度为0mm/s，故B正确；
对于C，设，
则，
当t＝3时，，
即t＝3s时，弹簧振子的瞬时加速度为，故C错误；
对于D，，
当t＝1.5时，，
即t＝1.5s时，弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
（多选）7．（2024春 华州区校级期中）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．x＝﹣3为f（x）的极大值点
B．x＝1为f（x）的极大值点
C．x＝﹣1.5为f（x）的极大值点
D．x＝2.5为f（x）的极小值点
【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的极值．
【专题】数形结合；综合法；导数的概念及应用；直观想象；数据分析．
【答案】ACD
【分析】利用极值点的定义以及导数的几何意义，结合已知图象即可判断求解．
【解答】解：由图可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
所以当﹣3是函数的极小值点，故A错误，
导函数在x＝1左边大于0，右边小于0，所以x＝1为函数的极大值点，故B正确，
导函数在x＝﹣1.5，x＝2.5左右两边同号，故CD错误，
故选：ACD．
【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了学生的识图能力，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 普陀区校级期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）满足函数关系x＝4+16e﹣2t，则大约经过 　104　分钟，温度的瞬时变化率为﹣1℃/h．（精确到1分钟）
【考点】瞬时变化率．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】104．
【分析】利用导数的几何意义计算即可．
【解答】解：易知x′＝﹣32e﹣2t，
令﹣32e﹣2t＝﹣1，解得t，
则t≈104分钟．
故答案为：104．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
9．（2024秋 虹口区校级期中）已知函数f（x）＝2x2+1，则 　﹣4　．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣4．
【分析】结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：f（x）＝2x2+1，
则f'（x）＝4x，
故f'（1）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．
10．（2024 保定一模）已知曲线y＝ex﹣1+ax3+1在x＝1处的切线斜率为4，则实数a的值为 　1　．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：y＝f（x）＝ex﹣1+ax3+1，
则f'（x）＝ex﹣1+3ax2，
曲线y＝ex﹣1+ax3+1在x＝1处的切线斜率为4，
则f'（1）＝e1﹣1+3a＝4，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
11．（2024秋 杭州期中）函数f（x）＝lnx在点（e，1）处的切线的斜率等于 　　．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝e处的导数值即可．
【解答】解：由f（x）＝lnx，得f′（x），
则f′（e），即函数f（x）＝lnx在点（e，1）处的切线的斜率等于．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 双城区校级期中）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且，则；
②设a＞0，k是大于1的正整数，若函数f（x）满足：对任意x∈[0，a]，均有成立，且，则称函数f（x）为区间[0，a]上的k阶无穷递降函数．
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）证明f（x）＝x3﹣3x不是区间[0，3]上的2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）记，；求证：f（t）＞1．
【考点】极限及其运算．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见详解；
（2）e；
（3）证明见详解．
【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明；
（2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值；
（3）先证明f（t）是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证．
【解答】证明：（1）记，
因为，
所以在区间[0，3]不恒成立，
所以，f（x）＝x3﹣3x不是区间[0，3]上的2阶无穷递降函数．
解：（2）记，则，
因为，
所以，所以．
证明：（3）因为，
所以，
所以，
即对任意，均有，
所以，
因为cosx＝1，
所以，
所以，时，f（t）＞1．
【点评】本题主要考查了洛必达法则的应用，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
13．（2024春 辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；函数思想；转化法；导数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，
（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1，得f′（x）＝1
由函数f（x） 在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得 f′（1）＝10，解得a＝e
（Ⅱ）f′（x）＝1
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值
②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，
∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
∴f（x）在x＝lna处取得极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是分类讨论，属于中档题．
14．（2024春 黄浦区校级期中）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．
（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；
（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．
【考点】变化的快慢与变化率；导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）4π；
（2）12π．
【分析】（1）设出未知数，得到y＝kt2，待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前2秒的平均角速度；
（2）求导，由导函数的意义得到答案．
【解答】解：（1）设车轮旋转的角度为y，车辆启动后车轮转动的时间为t秒，
则y＝kt2，
由题意得t＝1时，y＝2π，
即2π＝12k，解得k＝2π，
故y＝2πt2，车轮转动前2秒的平均角速度为，
（2）y＝2πt2，y′＝4πt，
由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4π×3＝12π．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
15．（2024春 韩城市期中）一小球做简谐振动，其运动方程为，其中x（单位：cm）是小球相对于平衡点的距离，t（单位：s）为运动时间．
（Ⅰ）求小球在时刻的速度；
（Ⅱ）从t＝0s开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）30；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，瞬时速度为x'＝20sin（3t） （3t）'＝60sin（3t），再令t求解即可；
（Ⅱ）根据正弦函数的性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴瞬时速度为x'＝20sin（3t） （3t）'＝60sin（3t），
∴小球在ts时刻的速度为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知小球的瞬时速度为x'＝60sin（3t），
∴小球的瞬时速度最大时sin（3t）＝1，
解得，即，k∈Z，
∴最少经过该小球的瞬时速度达到最大．
【点评】本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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