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浙江省杭州市上城区采荷中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
1．（2025七下·上城期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
2．（2025七下·上城期中）红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·上城期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·上城期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·上城期中）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·上城期中）如图，下列说法中能够判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·上城期中）某校学生去参加活动，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
9．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（　　）
A．121 B．210 C．335 D．505
10．（2025七下·上城期中）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·上城期中）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　
12．（2025七下·上城期中）已知是方程的一个解，则　 　．
13．（2025七下·上城期中）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为　 　．
14．（2025七下·上城期中）若等式对任意实数x都成立，那　 　，　 　．
15．（2025七下·上城期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是　 　．
16．（2025七下·上城期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0；
③无论m取何值，恒成立；
④无论m取什么实数，始终为定值．
其中正确的是　 　（请填序号）
17．（2025七下·上城期中）计算或解方程组：
（1）
（2）
（3）
18．（2025七下·上城期中）分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
19．（2025七下·上城期中）先化简再求值： 其中 ， .
20．（2025七下·上城期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上。
（1）将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全；
（2）连接、，则这两条线段之间的关系是______；
（3）点P为格点，且（点P与点A不重合），在图中画出点P的位置．
21．（2025七下·上城期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元.
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？
22．（2025七下·上城期中）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
23．（2025七下·上城期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______
（3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
24．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
25．（2025七下·上城期中）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
26．（2025七下·上城期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．
（1）求的度数；
（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当为角平分线时，求的度数；
②当时，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知C是平移得到，A、B、D不是平移得到，
故选：C．
【分析】
平移不改变图形的形状与大小，平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，为左边第一个非0数字前面0的个数．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：中未知数的最高次项的次数是2，它不是二元一次方程，故A不符合；
不是整式方程，它不是二元一次方程，故B不符合；
不是等式，它不是二元一次方程，故C不符合；
含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1，它是二元一次方程，故D符合；
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的概念，对四个式子逐一识别作出判断． 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
【分析】
A、合并同类项、只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
D、幂的乘方，底数不变，指数相乘．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：，是整式乘法，故A不符合题意；
，错误，故B不符合题意；
，正确，故C符合题意；
，不是几个整式的积的形式，故错误，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义以及利用公式法进行因式分解，对四个选项逐一分析作出判断．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、，不能判定，该选项不合题意；
B、，不能判定，该选项不合题意；
C、∵，，
∴
∴，该选项符合题意；
D、∵，
∴不能判定，该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设计划调配30座客车辆，则只调配25座(不含司机)客车时，用车数量为辆，
由此列方程组．
故选：B．
【分析】
先分别设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，再由选题关系“ 单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位 ” 列方程组即可．
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
10．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
13．【答案】50°
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由平角的概念可得∠1与∠3互余，再由两直线平行同位角相等得∠2=∠3.
14．【答案】；4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，．
故答案为：，4．
【分析】
利用多项式乘多项式的运算法则把展开，再根据各项系数对应相等从而可确定相应的m，n的值．
15．【答案】32
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形和的边长为、，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
故答案为32．
【分析】
设正方形和的边长为、，由正方形的性质知阴影部分面积为两个正方形面积差的一半，即．
16．【答案】①③④
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①符合题意；
②∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，
故②不符合题意；
③
，
故③符合题意；
④由得
∴，
无论m取什么实数，始终为定值．
故④符合题意，
综上，结论正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
先利用加减消元法求出方程组为
① 把解代入到解关于的一元一次方程即可；
②若方程组的解都为自然数，则或；
③把解代入到中分解因式得；
④把解代入到得．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，把①整体代入②得：，
解得，
代入①得，解得，
∴方程组的解为
【知识点】整式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）整式的混合运算，先算积的乘方，再算单项式乘除法；
（2）实数的混合运算，先逆用积的乘方可得，再计算零指数幂，负指数幂，再算加减法；
（3）由于方程①中x就是用含y的代数式表示，因此可直接利用代入消元法求解．
（1）解：
；
（2）
；
（3），
把①整体代入②得：，
解得，
代入①得，解得，
∴方程组的解为
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提公因式即可；
（2）由于和是一对相反数，可直接提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．【答案】解：原式=（9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷（-2b）
=（-4b2+6ab）÷（-2b）
=2b-3a，
当a=- ，b=-2时，
原式=-4+1=-3．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求
；
（2），
（3）解：符合题意的点如图所示：
【知识点】平行线之间的距离；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】
（2）
解：根据平移的特点，可知，，
；
故答案为：，；
【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等，因此可过A、C分别作与BB`平行且相等的线段AA`、CC` ，再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据网格的特点，找到过A点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，再在直线AP寻找格点（点A除外）即可．
（1）解：如图所示，即为所求
；
（2）解：根据平移的特点，可知，，
；
故答案为：，；
（3）解：符合题意的点如图所示：
21．【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元.
根据题意，得
解得
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：设购买A款吉祥物x件和B款吉祥物y件，根据题意，得
解得：
当 时，
当 时，
当 时，
答：购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
(2)根据小明购买两款吉祥物共花了800元，列出二元一次方程，再求整数解即可.
22．【答案】（1）解： ∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先根据邻补角的概念求出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案；
（2）为便于计算，可设再根据角平分线的定义可得设则再由垂直的概念可得与互余，则可求，即可求 ．
（1）解： ∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
23．【答案】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
【分析】
（1）由平移的性质可得虚线部分长度和实则为大长方形的周长，先分别表示出大长方形的长和宽，再利用周长公式计算即可；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
24．【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）解：①如图2中，
∵EM平分交CD于点M，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②猜想：或；
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
，
∴，
，，
，
，
，
．
综上所述，或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）由角平分线的概念及等量代换证明，则内错角相等两直线平行．
（2）①由角平分线的定义可证，由平角的概念结合已知可得的度数即可；
②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时这两种情况进行讨论，先由平行线的性质求出，再利用平角的概念表示出的度数，再根据角平分线的概念表示出即可．
（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）解：①如图2中，
∵EM平分交CD于点M，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②猜想：或；
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
，
∴，
，，
，
，
，
．
综上所述，或．
25．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
26．【答案】（1）解：过点P作，则，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解： ① 当为角平分线时，则，分两种情况：当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
∴的度数为或；
②当即时，若，如图，
则，即，
解得：，不合题意，舍去；
当时，若，如图，
则，即，
解得：；
当时，若，如图，
则，即，
解得：；
当时，不存在互相平行的情况；
综上，当时，t的值是或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理
【解析】【分析】（1）过点P作，由平行公理得，则，再结合垂直的概念得，即；
（2）由于PN的旋转速度大于EM的旋转速度，且PN垂直于AB后又返回PF，而EM的旋转从EA开始到EB停止共运动9秒，即，故应分类讨论，①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可；②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可．
1 / 1浙江省杭州市上城区采荷中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
1．（2025七下·上城期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知C是平移得到，A、B、D不是平移得到，
故选：C．
【分析】
平移不改变图形的形状与大小，平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上．
2．（2025七下·上城期中）红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，为左边第一个非0数字前面0的个数．
3．（2025七下·上城期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：中未知数的最高次项的次数是2，它不是二元一次方程，故A不符合；
不是整式方程，它不是二元一次方程，故B不符合；
不是等式，它不是二元一次方程，故C不符合；
含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1，它是二元一次方程，故D符合；
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的概念，对四个式子逐一识别作出判断． 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4．（2025七下·上城期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
【分析】
A、合并同类项、只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
D、幂的乘方，底数不变，指数相乘．
5．（2025七下·上城期中）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：，是整式乘法，故A不符合题意；
，错误，故B不符合题意；
，正确，故C符合题意；
，不是几个整式的积的形式，故错误，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义以及利用公式法进行因式分解，对四个选项逐一分析作出判断．
6．（2025七下·上城期中）如图，下列说法中能够判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、，不能判定，该选项不合题意；
B、，不能判定，该选项不合题意；
C、∵，，
∴
∴，该选项符合题意；
D、∵，
∴不能判定，该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7．（2025七下·上城期中）某校学生去参加活动，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设计划调配30座客车辆，则只调配25座(不含司机)客车时，用车数量为辆，
由此列方程组．
故选：B．
【分析】
先分别设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，再由选题关系“ 单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位 ” 列方程组即可．
8．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
9．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（　　）
A．121 B．210 C．335 D．505
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
10．（2025七下·上城期中）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
11．（2025七下·上城期中）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
12．（2025七下·上城期中）已知是方程的一个解，则　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
13．（2025七下·上城期中）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为　 　．
【答案】50°
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由平角的概念可得∠1与∠3互余，再由两直线平行同位角相等得∠2=∠3.
14．（2025七下·上城期中）若等式对任意实数x都成立，那　 　，　 　．
【答案】；4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，．
故答案为：，4．
【分析】
利用多项式乘多项式的运算法则把展开，再根据各项系数对应相等从而可确定相应的m，n的值．
15．（2025七下·上城期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是　 　．
【答案】32
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形和的边长为、，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
故答案为32．
【分析】
设正方形和的边长为、，由正方形的性质知阴影部分面积为两个正方形面积差的一半，即．
16．（2025七下·上城期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0；
③无论m取何值，恒成立；
④无论m取什么实数，始终为定值．
其中正确的是　 　（请填序号）
【答案】①③④
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①符合题意；
②∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，
故②不符合题意；
③
，
故③符合题意；
④由得
∴，
无论m取什么实数，始终为定值．
故④符合题意，
综上，结论正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
先利用加减消元法求出方程组为
① 把解代入到解关于的一元一次方程即可；
②若方程组的解都为自然数，则或；
③把解代入到中分解因式得；
④把解代入到得．
17．（2025七下·上城期中）计算或解方程组：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，把①整体代入②得：，
解得，
代入①得，解得，
∴方程组的解为
【知识点】整式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）整式的混合运算，先算积的乘方，再算单项式乘除法；
（2）实数的混合运算，先逆用积的乘方可得，再计算零指数幂，负指数幂，再算加减法；
（3）由于方程①中x就是用含y的代数式表示，因此可直接利用代入消元法求解．
（1）解：
；
（2）
；
（3），
把①整体代入②得：，
解得，
代入①得，解得，
∴方程组的解为
18．（2025七下·上城期中）分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提公因式即可；
（2）由于和是一对相反数，可直接提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．（2025七下·上城期中）先化简再求值： 其中 ， .
【答案】解：原式=（9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷（-2b）
=（-4b2+6ab）÷（-2b）
=2b-3a，
当a=- ，b=-2时，
原式=-4+1=-3．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
20．（2025七下·上城期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上。
（1）将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全；
（2）连接、，则这两条线段之间的关系是______；
（3）点P为格点，且（点P与点A不重合），在图中画出点P的位置．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求
；
（2），
（3）解：符合题意的点如图所示：
【知识点】平行线之间的距离；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】
（2）
解：根据平移的特点，可知，，
；
故答案为：，；
【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等，因此可过A、C分别作与BB`平行且相等的线段AA`、CC` ，再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据网格的特点，找到过A点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，再在直线AP寻找格点（点A除外）即可．
（1）解：如图所示，即为所求
；
（2）解：根据平移的特点，可知，，
；
故答案为：，；
（3）解：符合题意的点如图所示：
21．（2025七下·上城期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元.
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？
【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元.
根据题意，得
解得
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：设购买A款吉祥物x件和B款吉祥物y件，根据题意，得
解得：
当 时，
当 时，
当 时，
答：购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
(2)根据小明购买两款吉祥物共花了800元，列出二元一次方程，再求整数解即可.
22．（2025七下·上城期中）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解： ∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先根据邻补角的概念求出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案；
（2）为便于计算，可设再根据角平分线的定义可得设则再由垂直的概念可得与互余，则可求，即可求 ．
（1）解： ∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
23．（2025七下·上城期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______
（3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
【答案】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
【分析】
（1）由平移的性质可得虚线部分长度和实则为大长方形的周长，先分别表示出大长方形的长和宽，再利用周长公式计算即可；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
24．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）解：①如图2中，
∵EM平分交CD于点M，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②猜想：或；
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
，
∴，
，，
，
，
，
．
综上所述，或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）由角平分线的概念及等量代换证明，则内错角相等两直线平行．
（2）①由角平分线的定义可证，由平角的概念结合已知可得的度数即可；
②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时这两种情况进行讨论，先由平行线的性质求出，再利用平角的概念表示出的度数，再根据角平分线的概念表示出即可．
（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）解：①如图2中，
∵EM平分交CD于点M，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②猜想：或；
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
，
∴，
，，
，
，
，
．
综上所述，或．
25．（2025七下·上城期中）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
26．（2025七下·上城期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．
（1）求的度数；
（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当为角平分线时，求的度数；
②当时，求t的值．
【答案】（1）解：过点P作，则，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解： ① 当为角平分线时，则，分两种情况：当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
当时，此时的运动时间秒，
∴，这时；
∴的度数为或；
②当即时，若，如图，
则，即，
解得：，不合题意，舍去；
当时，若，如图，
则，即，
解得：；
当时，若，如图，
则，即，
解得：；
当时，不存在互相平行的情况；
综上，当时，t的值是或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理
【解析】【分析】（1）过点P作，由平行公理得，则，再结合垂直的概念得，即；
（2）由于PN的旋转速度大于EM的旋转速度，且PN垂直于AB后又返回PF，而EM的旋转从EA开始到EB停止共运动9秒，即，故应分类讨论，①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可；②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可．
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