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浙江省山海联盟协作学校2024—2025学年下学期八年级数学期中学情调研试卷
1．（2025八下·浙江期中）下列四幅图分别对应节气“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·浙江期中）用反证法证明“若，则”，应假设（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·浙江期中）下列各式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·浙江期中）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·浙江期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·浙江期中）近年来，随着智能手表的普及，传统机械表销量有所下降，某品牌机械表今年月售价为元，月降至元．设该手表售价每月平均下降的百分比为，则正确的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·浙江期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，分别平分和．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·浙江期中）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2025八下·浙江期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·浙江期中）某工厂两位工人（甲、乙）生产同一型号的精密零件，设计要求长度为．质检部门抽样检测发现，他们生产的零件长度的方差分别是：，，其中生产的零件的质量比较稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）．
13．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
14．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为　 　．
15．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
16．（2025八下·浙江期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为　 　．
17．（2025八下·浙江期中）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025八下·浙江期中）解方程：
（1）
（2）．
19．（2025八下·浙江期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图中，点在格点上，画出线段关于点中心对称的线段．
（2）在图中，画出一条线段，使与互相平分，且，为格点．
（3）在图中，找格点，，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．（2025八下·浙江期中）如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的面积．
21．（2025八下·浙江期中）为了倡导环保理念，学校开展“旧物改造创意大赛”，各班提交一件作品参与年级评选．学生会根据创意、实用性等维度对作品进行分制评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数．八年级各班成绩统计如下：
八年级个班成绩统计表
成绩（分）
班级个数
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______．
（2）八年级成绩的中位数为______分．
（3）若年级平均分高于分，则授予“绿色先锋奖”，请判断八年级能否获得此奖项．
22．（2025八下·浙江期中）某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元．
（1）日销售量为______根（用含的代数式表示）．
（2）该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由．
23．（2025八下·浙江期中）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
24．（2025八下·浙江期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动．
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、最高次数是3次，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、符合一元二次方程概念，是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的三要素：①整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2．
3．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，
故答案为：C．
【分析】
根据反证法的一般步骤“（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．”，可先假设结论不成立，结合题意即可求解．
4．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式，符合题意；
B．，故不是最简二次根式，不符合题意；
C．，故不是最简二次根式，不符合题意；
D．，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【分析】
最简二次根式须范满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选：．
【分析】
配方法的一般步骤，若二次项系数为1，先把常数项移于等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而将左边化为一个完全平方式．
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该手表售价每月平均下降的百分比为，
依题意得：，
故选：．
【分析】
平均增长率（减少率）问题常列方程，其中是增长率（减少率），分别是起始数据和终止数据．
8．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
【分析】
边形的内角和为，外角和为．
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点、作，垂足分别为，则.
∵四边形是平行四边形
∴，、
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴
同理：
∴
∴
∴
故选：．
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得AB=AE、DC=DF，分别过点、作，垂足分别为，则由等腰三角形三线合一性质，可得点M平分BE、点N平分CF且AM平分；再由平行四边形的对边相等、对角相等结合角平分线的概念可利用“”证明，则，再利用勾股定理求出AM即可．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
12．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴生产的零件的质量比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．
13．【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在平行四边形中，，，
，，
∴，
∵点分别平分线段，
是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
16．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：设，则在中有，
如图，延长至点G使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平行四边形中，
∴三点共线，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴，
∴，负值舍去．
故答案为：4．
【分析】
设，可通过倍长中线法构造平行四边形，则可证DF垂直平分EG，则DE=DG，此时可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理建立关于x的一元二次方程并求解，再利用勾股定理求出AE即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式性质进行化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式性质和二次根式乘法运算法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先移项，再直接开平方即可；
（）当一元二次方程的各项系数比较简单时，可利用公式法求解，注意使用公式法时必须先利用根的送别式检验方程是否有根.
（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据网格可得四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（3）解：如图，四边形即为所求．
根据网格可知，四边形为正方形，
∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定与性质；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（）中心对称图形对应点的连线必然经过对称中心；
（）根据题意画出线段即可；
（）作以为边长的正方形即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据网格可得四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（3）解：如图，四边形即为所求．
根据网格可知，四边形为正方形，
∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据平行线的性质，利用ASA得到，即可得到，进而证明结论即可；
（）根据平行四边形性质可得，，，利用勾股定理得到，即可得到，再根据平行四边形的面积公式计算解题．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：由表格可得，八年级的平均分为：（分），
∵，
∴本次活动八年级不能获得“绿色先锋奖”．
【知识点】统计表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）
解：由表格可得，八年级的中位数为：（分），
故答案为：；
【分析】
（）用八年级班级总数分别减去成绩为分的班级数即可；
（）由于八年级的成绩已按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5名和第6名的平均成绩；
（）利用加权平均数公式求出八年级的平均成绩，再与比较大小即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由表格可得，八年级的中位数为：（分），
故答案为：；
（3）解：由表格可得，
八年级的平均分为：（分），
∵，
∴本次活动八年级不能获得“绿色先锋奖”．
22．【答案】（1）
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
【分析】
（1）根据智能跳绳降价元，价格每降低1元，日销量可增加5根，列出代数式即可；
（2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可．
（1）解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
23．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．【答案】（）；
解：（）∵（已知），（已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
过点作于点， 交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】
（）在中，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得；在中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，则；
（）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；如图所示，分别过点作于点， 交于点，由勾股定理先求出OE的长，再利用三角形面积公式可得、，从而求得的高，然后根据平行四边形的面积公式求解即可；
（）分别作于，交延长线于，则可证明，则，则，由于OD、OE是定值，从而得出结论．
1 / 1浙江省山海联盟协作学校2024—2025学年下学期八年级数学期中学情调研试卷
1．（2025八下·浙江期中）下列四幅图分别对应节气“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2025八下·浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、最高次数是3次，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、符合一元二次方程概念，是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的三要素：①整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2．
3．（2025八下·浙江期中）用反证法证明“若，则”，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，
故答案为：C．
【分析】
根据反证法的一般步骤“（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．”，可先假设结论不成立，结合题意即可求解．
4．（2025八下·浙江期中）下列各式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式，符合题意；
B．，故不是最简二次根式，不符合题意；
C．，故不是最简二次根式，不符合题意；
D．，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【分析】
最简二次根式须范满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．
5．（2025八下·浙江期中）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选：．
【分析】
配方法的一般步骤，若二次项系数为1，先把常数项移于等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而将左边化为一个完全平方式．
6．（2025八下·浙江期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
7．（2025八下·浙江期中）近年来，随着智能手表的普及，传统机械表销量有所下降，某品牌机械表今年月售价为元，月降至元．设该手表售价每月平均下降的百分比为，则正确的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该手表售价每月平均下降的百分比为，
依题意得：，
故选：．
【分析】
平均增长率（减少率）问题常列方程，其中是增长率（减少率），分别是起始数据和终止数据．
8．（2025八下·浙江期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
【分析】
边形的内角和为，外角和为．
9．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，分别平分和．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点、作，垂足分别为，则.
∵四边形是平行四边形
∴，、
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴
同理：
∴
∴
∴
故选：．
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得AB=AE、DC=DF，分别过点、作，垂足分别为，则由等腰三角形三线合一性质，可得点M平分BE、点N平分CF且AM平分；再由平行四边形的对边相等、对角相等结合角平分线的概念可利用“”证明，则，再利用勾股定理求出AM即可．
10．（2025八下·浙江期中）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
11．（2025八下·浙江期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
12．（2025八下·浙江期中）某工厂两位工人（甲、乙）生产同一型号的精密零件，设计要求长度为．质检部门抽样检测发现，他们生产的零件长度的方差分别是：，，其中生产的零件的质量比较稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴生产的零件的质量比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．
13．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
14．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在平行四边形中，，，
，，
∴，
∵点分别平分线段，
是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可．
15．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
16．（2025八下·浙江期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：设，则在中有，
如图，延长至点G使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平行四边形中，
∴三点共线，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴，
∴，负值舍去．
故答案为：4．
【分析】
设，可通过倍长中线法构造平行四边形，则可证DF垂直平分EG，则DE=DG，此时可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理建立关于x的一元二次方程并求解，再利用勾股定理求出AE即可．
17．（2025八下·浙江期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式性质进行化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式性质和二次根式乘法运算法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八下·浙江期中）解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先移项，再直接开平方即可；
（）当一元二次方程的各项系数比较简单时，可利用公式法求解，注意使用公式法时必须先利用根的送别式检验方程是否有根.
（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
19．（2025八下·浙江期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图中，点在格点上，画出线段关于点中心对称的线段．
（2）在图中，画出一条线段，使与互相平分，且，为格点．
（3）在图中，找格点，，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据网格可得四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（3）解：如图，四边形即为所求．
根据网格可知，四边形为正方形，
∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定与性质；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（）中心对称图形对应点的连线必然经过对称中心；
（）根据题意画出线段即可；
（）作以为边长的正方形即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据网格可得四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（3）解：如图，四边形即为所求．
根据网格可知，四边形为正方形，
∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．（2025八下·浙江期中）如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据平行线的性质，利用ASA得到，即可得到，进而证明结论即可；
（）根据平行四边形性质可得，，，利用勾股定理得到，即可得到，再根据平行四边形的面积公式计算解题．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
21．（2025八下·浙江期中）为了倡导环保理念，学校开展“旧物改造创意大赛”，各班提交一件作品参与年级评选．学生会根据创意、实用性等维度对作品进行分制评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数．八年级各班成绩统计如下：
八年级个班成绩统计表
成绩（分）
班级个数
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______．
（2）八年级成绩的中位数为______分．
（3）若年级平均分高于分，则授予“绿色先锋奖”，请判断八年级能否获得此奖项．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：由表格可得，八年级的平均分为：（分），
∵，
∴本次活动八年级不能获得“绿色先锋奖”．
【知识点】统计表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）
解：由表格可得，八年级的中位数为：（分），
故答案为：；
【分析】
（）用八年级班级总数分别减去成绩为分的班级数即可；
（）由于八年级的成绩已按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5名和第6名的平均成绩；
（）利用加权平均数公式求出八年级的平均成绩，再与比较大小即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由表格可得，八年级的中位数为：（分），
故答案为：；
（3）解：由表格可得，
八年级的平均分为：（分），
∵，
∴本次活动八年级不能获得“绿色先锋奖”．
22．（2025八下·浙江期中）某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元．
（1）日销售量为______根（用含的代数式表示）．
（2）该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
【分析】
（1）根据智能跳绳降价元，价格每降低1元，日销量可增加5根，列出代数式即可；
（2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可．
（1）解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根；
（2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润，
根据题意得：，
解得：，，
答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润．
23．（2025八下·浙江期中）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．（2025八下·浙江期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动．
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
【答案】（）；
解：（）∵（已知），（已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
过点作于点， 交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】
（）在中，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得；在中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，则；
（）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；如图所示，分别过点作于点， 交于点，由勾股定理先求出OE的长，再利用三角形面积公式可得、，从而求得的高，然后根据平行四边形的面积公式求解即可；
（）分别作于，交延长线于，则可证明，则，则，由于OD、OE是定值，从而得出结论．
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