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浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
1．（2025八下·杭州期中）要使二次根式 有意义，则x的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式要有意义，则x-3≥0，
即x≥3，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．（2025八下·杭州期中）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】
在同一平面内，把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；把一个图形绕某点旋转180度能够完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
3．（2025八下·杭州期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、同类二次根式是被开方数相同的最简二次根式；
B、；
C、；
D、二次根式的加减，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
4．（2025八下·杭州期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，
第一步应是假设，
故选：A．
【分析】
反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和比它的外角和的倍还小，这个多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数是，
由题意得：，
解得：，
故选：C．
【分析】
任意多边形的外角和都是，多边形的内角和是，由题意列方程求解即可．
6．（2025八下·杭州期中）在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：根据题意， 有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛 ，第10名选手的成绩是中位数，所以一名选手想知道自己是否晋级，需要了解这19名学生成绩的中位数.
故答案为：B.
【分析】（1）平均数是所有选手成绩的平均值，不能反映比赛的名次；
（2）中位数是所有数据按顺序从小到大或从大到小排列后，位于中间位置的数，能够反映名次；
（3）众数是所有数据中出现次数最多的数；
（4）方差反映的是数据的波动程度。
7．（2025八下·杭州期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
8．（2025八下·杭州期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵四边形中，是中点，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意可知，线段的长度是定值，
∴线段的长度是定值，
∴线段的长不变，
故选：C．
【分析】
由三角形中位线定理知EF始终等于AR的一半．
9．（2025八下·杭州期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
的面积的面积，
∵四边形面积为，
的面积为，
故选：B．
【分析】
连接，，根据平行四边形的性质可得，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得=，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得，进而可得．
10．（2025八下·杭州期中） 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n，
∴mx2+2mx-n=0，
设方程的两根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1·x2=，
∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4，
∴=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=16，
∴（-2）2-4·（）=16，
∴n=3m.
故答案为：B.
【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=，由题意得=4，变形得（x1+x2）2-4x1x2=16，再代入即可求出n与m的关系.
11．（2025八下·杭州期中） ＝　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】，然后根据二次根式的乘法法则计算即可.
12．（2025八下·杭州期中）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的一个解，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念将代入中得到关于n的方程求解即可．
13．（2025八下·杭州期中）在50米跑的10次训练中，小明的成绩的平均数为8.2秒，方差为2.2，第11次小明的成绩为8.2秒，则小明这11次的50米跑成绩与前10次的成绩相比较，其平均数　 　，（填“变大”、“变小”或“不变”），方差　 　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】不变；变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小明前十次的成绩的平均数是8.2秒，第11次的成绩是8.2秒，∴这11次成绩的平均数为：，∴平均数不变；
∵这11次50米跑成绩的方差等于，∴2＜2.2，∴方差变小.
故答案为：不变；变小.
【分析】根据平均数的计算公式计算出平均数，根据方差的计算公式计算出方差即可。
14．（2025八下·杭州期中）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质和折叠的性质得到：，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可．
15．（2025八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是的两个实数根，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系可知，再把展开后整体代入得到关于a的一元一次方程，最后解方程求出a的值即可．
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为　 　，的长为　 　．
【答案】1；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：过点D作，交的延长线于点H，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1；．
【分析】
第一空：由平行四边形的性质知AD、BC和EF都平行且相等，则四边形AFED是平行四边形，则DE=AF=1 ；
第二空：过点D作，交的延长线于点H，连接，先根据平行四边形的性质得出，运用含角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质得，然后用勾股定理求即可．
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）二次根式的加减混合运算，先化简各二次根式，再计算加减运算即可；
（2）二次根式的混合运算，先利用乘法公式进行乘法运算，再对结果进行合并即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，∴，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的各项系数比较简单时，可利用公式法解方程；
（2）当一元二次方程的两边有公因式时，先移项，再提公因式解方程即可．
（1）解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
19．（2025八下·杭州期中）某射击队从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，
测试成绩如下表（单位：环）：
　 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数
甲 10 8 9 8 10 9 9 ①
乙 10 7 10 10 9 8 ②
（1）写出表中①，②表示的数：①________，②________；
（2）请分别计算甲、乙两人六次测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加比赛更合适？并说明理由
【答案】（1），
（2）解：，
（3）解：∵，，
∴推荐甲参加比赛合适
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）将，从小到大排列为，则甲的中位数为；
乙的平均数为；
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数的定义求出①；利用求平均数的公式得到②；
（2）利用方差公式计算解题；
（3）根据方差的意义解答即可．
（1）将，从小到大排列为，则甲的中位数为；
乙的平均数为；
故答案为：，；
（2），
；
（3）∵，，
∴推荐甲参加比赛合适．
20．（2025八下·杭州期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【解答】
（1）解：，
∴.
【分析】
（1）由新定义可得；
（2）由新定义可得，再分母有理化即可；
（3）由新定义可得，再分母有理化，最后各项对应相等即可.
（1）解：，
∴；
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
21．（2025八下·杭州期中）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质结合平行四边形的性质可证明，则，再由即可证明；
（2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
22．（2025八下·杭州期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？
【答案】（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，根据题意得：，
整理，得：，
解得：，
答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设道路的宽为米，根据阴影部分的面积等于一个长，宽为的长方形面积建立方程求解即可；
（2）①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，则每个停车位的租金为元，租出的停车位为个，据此根据总租金为10080元建立方程求解即可；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，同①可列出y关于b的代数式，再利用配方法对y进行变形，最后由完全平方式的非负性求解即可．
（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，
答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
23．（2025八下·杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）对于方程 ① 可根据根与系数的关系即可求得a、b的值，再代入到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
24．（2025八下·杭州期中）如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．
（1）直接写出　　 ；　　 ．（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形的面积为时，求m的值；
（3）求证：；
（4）如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．
【答案】（1）；
（2）解：∵，解得：或3，
在中，，
∵点P、Q是边，上两个动点，
∴，
解得：，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（4）解：当时，如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（3）知：，
∴，
；
当时，如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
综上所述，的面积为或．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）解：∵，，
∴，
过点P作于点H，如图1，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】
（1）由，，可得；过点P作于点H，则可证四边形是矩形，即，由于，则，所以，再利用勾股定理计算即可；
（2）根据平行四边形面积可得，再由点P、Q在边，上，列不等式组求出m的范围，即可求得答案；
（3）根据平行四边形性质可得，，再利用含30度角的直角三角形性质得出，则可计算出，即，再利用即可证得；
（4）由于可证，则可分两种情况：当时，当时，分别求出m的值．
（1）解：∵，，
∴，
过点P作于点H，如图1，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；．
（2）解：∵，
解得：或3，
在中，，
∵点P、Q是边，上两个动点，
∴，
解得：，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（4）解：当时，如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（3）知：，
∴，
；
当时，如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
综上所述，的面积为或．
1 / 1浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
1．（2025八下·杭州期中）要使二次根式 有意义，则x的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2025八下·杭州期中）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·杭州期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和比它的外角和的倍还小，这个多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·杭州期中）在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025八下·杭州期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·杭州期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
9．（2025八下·杭州期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·杭州期中） 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·杭州期中） ＝　 　.
12．（2025八下·杭州期中）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　 　．
13．（2025八下·杭州期中）在50米跑的10次训练中，小明的成绩的平均数为8.2秒，方差为2.2，第11次小明的成绩为8.2秒，则小明这11次的50米跑成绩与前10次的成绩相比较，其平均数　 　，（填“变大”、“变小”或“不变”），方差　 　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
14．（2025八下·杭州期中）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为　 　．
15．（2025八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为　 　．
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为　 　，的长为　 　．
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·杭州期中）某射击队从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，
测试成绩如下表（单位：环）：
　 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数
甲 10 8 9 8 10 9 9 ①
乙 10 7 10 10 9 8 ②
（1）写出表中①，②表示的数：①________，②________；
（2）请分别计算甲、乙两人六次测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加比赛更合适？并说明理由
20．（2025八下·杭州期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
21．（2025八下·杭州期中）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的周长．
22．（2025八下·杭州期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？
23．（2025八下·杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
24．（2025八下·杭州期中）如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．
（1）直接写出　　 ；　　 ．（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形的面积为时，求m的值；
（3）求证：；
（4）如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式要有意义，则x-3≥0，
即x≥3，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】
在同一平面内，把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；把一个图形绕某点旋转180度能够完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、同类二次根式是被开方数相同的最简二次根式；
B、；
C、；
D、二次根式的加减，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，
第一步应是假设，
故选：A．
【分析】
反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数是，
由题意得：，
解得：，
故选：C．
【分析】
任意多边形的外角和都是，多边形的内角和是，由题意列方程求解即可．
6．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：根据题意， 有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛 ，第10名选手的成绩是中位数，所以一名选手想知道自己是否晋级，需要了解这19名学生成绩的中位数.
故答案为：B.
【分析】（1）平均数是所有选手成绩的平均值，不能反映比赛的名次；
（2）中位数是所有数据按顺序从小到大或从大到小排列后，位于中间位置的数，能够反映名次；
（3）众数是所有数据中出现次数最多的数；
（4）方差反映的是数据的波动程度。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵四边形中，是中点，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意可知，线段的长度是定值，
∴线段的长度是定值，
∴线段的长不变，
故选：C．
【分析】
由三角形中位线定理知EF始终等于AR的一半．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
的面积的面积，
∵四边形面积为，
的面积为，
故选：B．
【分析】
连接，，根据平行四边形的性质可得，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得=，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得，进而可得．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n，
∴mx2+2mx-n=0，
设方程的两根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1·x2=，
∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4，
∴=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=16，
∴（-2）2-4·（）=16，
∴n=3m.
故答案为：B.
【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=，由题意得=4，变形得（x1+x2）2-4x1x2=16，再代入即可求出n与m的关系.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】，然后根据二次根式的乘法法则计算即可.
12．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的一个解，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念将代入中得到关于n的方程求解即可．
13．【答案】不变；变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小明前十次的成绩的平均数是8.2秒，第11次的成绩是8.2秒，∴这11次成绩的平均数为：，∴平均数不变；
∵这11次50米跑成绩的方差等于，∴2＜2.2，∴方差变小.
故答案为：不变；变小.
【分析】根据平均数的计算公式计算出平均数，根据方差的计算公式计算出方差即可。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质和折叠的性质得到：，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是的两个实数根，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系可知，再把展开后整体代入得到关于a的一元一次方程，最后解方程求出a的值即可．
16．【答案】1；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：过点D作，交的延长线于点H，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1；．
【分析】
第一空：由平行四边形的性质知AD、BC和EF都平行且相等，则四边形AFED是平行四边形，则DE=AF=1 ；
第二空：过点D作，交的延长线于点H，连接，先根据平行四边形的性质得出，运用含角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质得，然后用勾股定理求即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）二次根式的加减混合运算，先化简各二次根式，再计算加减运算即可；
（2）二次根式的混合运算，先利用乘法公式进行乘法运算，再对结果进行合并即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
18．【答案】（1）解：，∴，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的各项系数比较简单时，可利用公式法解方程；
（2）当一元二次方程的两边有公因式时，先移项，再提公因式解方程即可．
（1）解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
19．【答案】（1），
（2）解：，
（3）解：∵，，
∴推荐甲参加比赛合适
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）将，从小到大排列为，则甲的中位数为；
乙的平均数为；
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数的定义求出①；利用求平均数的公式得到②；
（2）利用方差公式计算解题；
（3）根据方差的意义解答即可．
（1）将，从小到大排列为，则甲的中位数为；
乙的平均数为；
故答案为：，；
（2），
；
（3）∵，，
∴推荐甲参加比赛合适．
20．【答案】（1）
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【解答】
（1）解：，
∴.
【分析】
（1）由新定义可得；
（2）由新定义可得，再分母有理化即可；
（3）由新定义可得，再分母有理化，最后各项对应相等即可.
（1）解：，
∴；
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
21．【答案】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质结合平行四边形的性质可证明，则，再由即可证明；
（2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
22．【答案】（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，根据题意得：，
整理，得：，
解得：，
答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设道路的宽为米，根据阴影部分的面积等于一个长，宽为的长方形面积建立方程求解即可；
（2）①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，则每个停车位的租金为元，租出的停车位为个，据此根据总租金为10080元建立方程求解即可；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，同①可列出y关于b的代数式，再利用配方法对y进行变形，最后由完全平方式的非负性求解即可．
（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，
答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元；
②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
23．【答案】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）对于方程 ① 可根据根与系数的关系即可求得a、b的值，再代入到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵，解得：或3，
在中，，
∵点P、Q是边，上两个动点，
∴，
解得：，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（4）解：当时，如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（3）知：，
∴，
；
当时，如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
综上所述，的面积为或．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）解：∵，，
∴，
过点P作于点H，如图1，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】
（1）由，，可得；过点P作于点H，则可证四边形是矩形，即，由于，则，所以，再利用勾股定理计算即可；
（2）根据平行四边形面积可得，再由点P、Q在边，上，列不等式组求出m的范围，即可求得答案；
（3）根据平行四边形性质可得，，再利用含30度角的直角三角形性质得出，则可计算出，即，再利用即可证得；
（4）由于可证，则可分两种情况：当时，当时，分别求出m的值．
（1）解：∵，，
∴，
过点P作于点H，如图1，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；．
（2）解：∵，
解得：或3，
在中，，
∵点P、Q是边，上两个动点，
∴，
解得：，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（4）解：当时，如图2，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（3）知：，
∴，
；
当时，如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
综上所述，的面积为或．
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