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广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -
1．（2025·香洲模拟）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是(　　)
A．－2 B．0 C． D．1
2．（2025·香洲模拟）以下运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·香洲模拟）据相关统计数据表明，2025年珠海市计划投入环保资金580000000元用于城市绿化和污水处理等项目．将数据580000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·香洲模拟）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（　　）
A．0 B． C． D．1
5．（2025·香洲模拟）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·香洲模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·香洲模拟）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
8．（2025·香洲模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段长为（　　）
A．7米 B．13米 C．17米 D．20米
9．（2025·香洲模拟）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2025·香洲模拟）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．（2025·香洲模拟）分解因式： =　 　．
12．（2025·香洲模拟）一组数据48，50，47，44，50，53的中位数是　 　．
13．（2025·香洲模拟）已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
14．（2025·香洲模拟）如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是　 　．
15．（2025·香洲模拟）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为　 　．
16．（2025·香洲模拟）计算：．
17．（2025·香洲模拟）解方程：
18．（2025·香洲模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．
（1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______；
（2）求圆周角的度数．
19．（2025·香洲模拟）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图：
（1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图；
（2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数；
（3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由．
20．（2025·香洲模拟）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
（1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
（2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
21．（2025·香洲模拟）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
22．（2025·香洲模拟）如图1，点D，E分别是锐角三角形边，的中点，点F，G是边上的两点（F在G的左侧），，过点D，G分别作，，垂足分别为H，P．
（1）证明：；
（2）将图1沿，，剪开，得到如图2所示的四块图形编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．我们发现由此四块图形可以拼接成矩形．如图3中的矩形就是由这四块拼接的矩形．具体操作是延长，，取，，过点L，J分别作，，得到矩形．
①【操作】请你试着把矩形内部除第Ⅰ块外的部分，分成分别与Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形状大小对应相同的三块，并在图中用尺规作图作出来（不写作法，保留作图痕迹）；
②【应用】在图3中，若矩形为正方形，，，，求的长．
23．（2025·香洲模拟）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接．
（1）填空：_______；
（2）求证：；
（3）如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上．
①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值；
②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】∵－2＜0＜1＜，所以最大，选C.
【分析】
正数都大于0，负数都小于0.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，
∴此选项符合题意；
B．≠-3a，
∴此选项不符合题意；
C．≠a5，
∴此选项不符合题意；
D．≠a6，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580000000用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，
而习惯用左手写字的同学被选中的有2种；
故其概率为；
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
另有，
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项符合题意；
故选．
【分析】
判定一般三角形全等的方法有：、、、，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由已知可得，结合，则只有或AC=DF时才能证明两三角形全等．
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数中，，，
∴该函数图象经过一，二，三象限，
∴一次函数不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象与系数之间的关系“当k＞0时，直线经过一、三象限；k＜0时，直线经过二、四象限；b＞0时，直线交于y轴正半轴；b＜0时，直线交于y轴负半轴”并结合一次函数的解析式即可判断求解．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程化为，
则，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】计算△=b2-4ac的值，判断其符号，然后根据一元二次方程根的判别式"当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根"可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴米，
故答案为：B．
【分析】根据题意得出是直角三角形，再根据勾股定理计算即可求解．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，，
四边形，四边形为平行四边形，
，
，
，，
，，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形BGPE、四边形PFDH是平行四边形，然后根据四边形面积的构成可求解．
10．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵正五边形内接于圆，
∴，，
∴，，
∴此结论符合题意；
②由①得：，ED=CB，
∴HD+DE=HC+CB，
即，
在△AEH和△AB和中
∴（SSS），
∴，
∴是的垂直平分线，
∴过圆心，
∵为圆的切线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此结论符合题意；
③由②得：，
∴，
同理可得：，
同理可得：，
∴，，
∴设，
设正五边形的边长为，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）
∵，
∴，
设，
∴，，
同理：，
∴，
∴，
∴此结论不符合题意；
④当正五边形的边长为2时，
结合③可得：，，
∴，
∴线段的长是，
∴此结论符合题意.
∴正确的结论有：①②④.
故答案为：B
【分析】①如图，连接，由正五边形的性质和多边形的内角和定理可求得，然后根据三角形内角和等于180°可求解；
②由②的结论和等式的性质可得AE=AB，HE=HB，结合图形，用边边边可得△AHE≌△AHB，由全等三角形的对应角相等可得AHE=∠AHB=18°，根据等腰三角形的三线合一可得AH是CD的垂直平分线，于是可得HA经过圆心，结合圆的切线的性质可得，可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式并结合AE=CD=DE可得；
③由①和②的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得，，设，设正五边形的边长为，可得，证明，设，可得；
④当正五边形的边长为2时，结合③可得：，，由线段的构成=DF-ED可得.
11．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】49
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为：44，47，48，50，50，53，
故这组数据的中位数，
故答案为：49．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解．
13．【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标之积等于k并结合反比例函数的图象上点的特征即可求解．
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；直角三角形斜边上的中线；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
根据平移可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分的周长，
故答案为：．
【分析】在中，根据锐角三角函数cos∠B=qi求出BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形内角和等于180°即可得，根据可求得AA 的值，由线段的和差A D=AD-AA 可求得A D的值，根据平移的性质可得，根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，证明，即可得，，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解．
15．【答案】或
【知识点】勾股定理；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：抛物线L的解析式为，
抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线L过两点，
，
，
，，
抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，
设抛物线M的顶点，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
整理得，
解得，，
点C的坐标为或
故答案为：或．
【分析】由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列关于n的方程，解方程即可求解．
16．【答案】解：原式
.

【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得3-1=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2025）0=1，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
17．【答案】解：方程两边同乘以 ，得
．
X=9．
检验：把x=9代入 ，得 ，
所以x=9是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程检验即可得出方程的根。
18．【答案】（1）
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
答：∠ADC的度数为45°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）
解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
【分析】
（1）根据网格图的特征和垂径定理可得：的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，连接，根据勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形可求解．
（1）解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
19．【答案】（1），，补全条形统计图如下，
（2）解：（人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人；
（3）解：应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解： 此次调查的学生有（人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为，
喜爱“殷夫人”的有（人），
补全条形统计图如图所示：
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得此次调查的学生人数；根据圆心角=百分比×360°可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得喜爱“殷夫人”的人数，然后可将条形图补充完整；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）选择调查中人数比较少的，答案不唯一，符合题意即可．
（1）解： 此次调查的学生有（人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为，
喜爱“殷夫人”的有（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）（人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人；
（3）应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一）
20．【答案】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
21．【答案】（1）0；
（2）m或n；
（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；
（4）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴①当时，则当时，即，
解得，
∴；
②当时，则当时，即，
解得，
∴；
③当时，则当时，即，
解得，
∴；
④当时，则当时，即，
解得，
∴；
综上可得，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；分类讨论
【解析】【解答】
解：（1）∵抛物线，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，y取得最小值，
故答案为0；
（2）∵以为分界，
①当，时，y取最小值；
②当，或0时，y取最小值；
③当时，y取最小值．
∴关于x的二次函数，其中，当m或n时，y取最小值．
（3）设，是关于x的二次函数图象上的两端点，
抛物线的对称轴记为，中点的横坐标记为．
，
抛物线的开口向下．
当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值．
当时，即，点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值；
当时，即，点M离对称轴较远，当时，y取最小值；
综上所述：猜想（2）得证．
【分析】
（1）根据函数解析式，求出对称轴，确定取值范围内当时，y取得最小值；
（2）根据发现即可得到猜想；
（3）结合二次函数的性质可求解；
（4）求出二次函数的解析式，分四种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解．
22．【答案】（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
在△DHE和△GPF中
．
（2）①解：如图所示，线段为所求作．
②解：过点A作于点K，
，
在中，，，
，，
，
，
由拼接可知，，
正方形的边长为，
由（1），
，
即，
过点E作于点M，
，
是边的中点，，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据点D，E分别是边，的中点，得出是的中位线，即可得，根据平行线得出，根据垂直定义得出，结合题意，根据角角边即可求解；
（2）①过点作，即可求解；
②过点A作于点K，在中，根据，，求出，，结合，求出，由拼接可知，，得出正方形的边长为，由（1），得出，过点E作于点M，求出，在中，求出，，在中，根据，，用勾股定理求出，即可得出，然后根据线段的和差BF=BC-FC计算可求解．
（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
又，
．
（2）①解：如图所示，线段为所求作．
②解：过点A作于点K，
，
在中，，，
，，
，
，
由拼接可知，，
正方形的边长为，
由（1），
，
即，
过点E作于点M，
，
是边的中点，，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
，
．
23．【答案】（1）1
（2）证明：点C，D在反比例上，
，
，
，
（3）解：①设点．
是线段的中点，
．
点C在反比例上，
．
．
解得．
点A在点B的左侧，
．
点，点．
设直线的解析式为，
．
解得：．
直线的解析式为．
，
．
轴，轴，
．
四边形为平行四边形．
由（2）得：，点，点，
．
②是直角三角形，理由如下：
设点，
则点．
．
，
．
．
．
同理，设点，
则点．
，．
．
．
设直线交x轴于点H，连接．
令，则．
点．
点，
轴．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
是直角三角形．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：1；
【分析】
（1）根据k的几何意义和三角形面积公式计算即可求解；
（2）根据图形面积的构成即可求解；
（3）①设点，得，根据点C在反比例函数的图象上可得关于m的方程，解方程求出m的值，于是可得点C、D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，，由，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，根据可求解；
②设点，则点，于是可将DF2、DE2用含m的代数式表示出来，根据整理可得，同理，设点，则点，同理可得，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形．
（1）解：；
故答案为：1；
（2）证明：点C，D在反比例上，
，
，
，
（3）解：①设点．
是线段的中点，
．
点C在反比例上，
．
．
解得．
点A在点B的左侧，
．
点，点．
设直线的解析式为，
．
解得：．
直线的解析式为．
，
．
轴，轴，
．
四边形为平行四边形．
由（2）得：，点，点，
．
②是直角三角形，理由如下：
设点，
则点．
．
，
．
．
．
同理，设点，
则点．
，．
．
．
设直线交x轴于点H，连接．
令，则．
点．
点，
轴．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
是直角三角形．
1 / 1广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -
1．（2025·香洲模拟）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是(　　)
A．－2 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】∵－2＜0＜1＜，所以最大，选C.
【分析】
正数都大于0，负数都小于0.
2．（2025·香洲模拟）以下运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，
∴此选项符合题意；
B．≠-3a，
∴此选项不符合题意；
C．≠a5，
∴此选项不符合题意；
D．≠a6，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
3．（2025·香洲模拟）据相关统计数据表明，2025年珠海市计划投入环保资金580000000元用于城市绿化和污水处理等项目．将数据580000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580000000用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2025·香洲模拟）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（　　）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，
而习惯用左手写字的同学被选中的有2种；
故其概率为；
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比可求解．
5．（2025·香洲模拟）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
另有，
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项符合题意；
故选．
【分析】
判定一般三角形全等的方法有：、、、，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由已知可得，结合，则只有或AC=DF时才能证明两三角形全等．
6．（2025·香洲模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数中，，，
∴该函数图象经过一，二，三象限，
∴一次函数不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象与系数之间的关系“当k＞0时，直线经过一、三象限；k＜0时，直线经过二、四象限；b＞0时，直线交于y轴正半轴；b＜0时，直线交于y轴负半轴”并结合一次函数的解析式即可判断求解．
7．（2025·香洲模拟）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程化为，
则，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】计算△=b2-4ac的值，判断其符号，然后根据一元二次方程根的判别式"当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根"可判断求解．
8．（2025·香洲模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段长为（　　）
A．7米 B．13米 C．17米 D．20米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴米，
故答案为：B．
【分析】根据题意得出是直角三角形，再根据勾股定理计算即可求解．
9．（2025·香洲模拟）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，，
四边形，四边形为平行四边形，
，
，
，，
，，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形BGPE、四边形PFDH是平行四边形，然后根据四边形面积的构成可求解．
10．（2025·香洲模拟）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵正五边形内接于圆，
∴，，
∴，，
∴此结论符合题意；
②由①得：，ED=CB，
∴HD+DE=HC+CB，
即，
在△AEH和△AB和中
∴（SSS），
∴，
∴是的垂直平分线，
∴过圆心，
∵为圆的切线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此结论符合题意；
③由②得：，
∴，
同理可得：，
同理可得：，
∴，，
∴设，
设正五边形的边长为，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）
∵，
∴，
设，
∴，，
同理：，
∴，
∴，
∴此结论不符合题意；
④当正五边形的边长为2时，
结合③可得：，，
∴，
∴线段的长是，
∴此结论符合题意.
∴正确的结论有：①②④.
故答案为：B
【分析】①如图，连接，由正五边形的性质和多边形的内角和定理可求得，然后根据三角形内角和等于180°可求解；
②由②的结论和等式的性质可得AE=AB，HE=HB，结合图形，用边边边可得△AHE≌△AHB，由全等三角形的对应角相等可得AHE=∠AHB=18°，根据等腰三角形的三线合一可得AH是CD的垂直平分线，于是可得HA经过圆心，结合圆的切线的性质可得，可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式并结合AE=CD=DE可得；
③由①和②的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得，，设，设正五边形的边长为，可得，证明，设，可得；
④当正五边形的边长为2时，结合③可得：，，由线段的构成=DF-ED可得.
11．（2025·香洲模拟）分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025·香洲模拟）一组数据48，50，47，44，50，53的中位数是　 　．
【答案】49
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为：44，47，48，50，50，53，
故这组数据的中位数，
故答案为：49．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解．
13．（2025·香洲模拟）已知点，在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标之积等于k并结合反比例函数的图象上点的特征即可求解．
14．（2025·香洲模拟）如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；直角三角形斜边上的中线；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
根据平移可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分的周长，
故答案为：．
【分析】在中，根据锐角三角函数cos∠B=qi求出BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形内角和等于180°即可得，根据可求得AA 的值，由线段的和差A D=AD-AA 可求得A D的值，根据平移的性质可得，根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，证明，即可得，，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解．
15．（2025·香洲模拟）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：抛物线L的解析式为，
抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线L过两点，
，
，
，，
抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，
设抛物线M的顶点，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
整理得，
解得，，
点C的坐标为或
故答案为：或．
【分析】由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列关于n的方程，解方程即可求解．
16．（2025·香洲模拟）计算：．
【答案】解：原式
.

【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得3-1=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2025）0=1，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
17．（2025·香洲模拟）解方程：
【答案】解：方程两边同乘以 ，得
．
X=9．
检验：把x=9代入 ，得 ，
所以x=9是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程检验即可得出方程的根。
18．（2025·香洲模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．
（1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______；
（2）求圆周角的度数．
【答案】（1）
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
答：∠ADC的度数为45°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）
解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
【分析】
（1）根据网格图的特征和垂径定理可得：的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，连接，根据勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形可求解．
（1）解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
19．（2025·香洲模拟）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图：
（1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图；
（2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数；
（3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由．
【答案】（1），，补全条形统计图如下，
（2）解：（人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人；
（3）解：应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解： 此次调查的学生有（人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为，
喜爱“殷夫人”的有（人），
补全条形统计图如图所示：
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得此次调查的学生人数；根据圆心角=百分比×360°可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得喜爱“殷夫人”的人数，然后可将条形图补充完整；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）选择调查中人数比较少的，答案不唯一，符合题意即可．
（1）解： 此次调查的学生有（人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为，
喜爱“殷夫人”的有（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）（人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人；
（3）应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一）
20．（2025·香洲模拟）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
（1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
（2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
【答案】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
21．（2025·香洲模拟）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
【答案】（1）0；
（2）m或n；
（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；
（4）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴①当时，则当时，即，
解得，
∴；
②当时，则当时，即，
解得，
∴；
③当时，则当时，即，
解得，
∴；
④当时，则当时，即，
解得，
∴；
综上可得，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；分类讨论
【解析】【解答】
解：（1）∵抛物线，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，y取得最小值，
故答案为0；
（2）∵以为分界，
①当，时，y取最小值；
②当，或0时，y取最小值；
③当时，y取最小值．
∴关于x的二次函数，其中，当m或n时，y取最小值．
（3）设，是关于x的二次函数图象上的两端点，
抛物线的对称轴记为，中点的横坐标记为．
，
抛物线的开口向下．
当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值．
当时，即，点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值；
当时，即，点M离对称轴较远，当时，y取最小值；
综上所述：猜想（2）得证．
【分析】
（1）根据函数解析式，求出对称轴，确定取值范围内当时，y取得最小值；
（2）根据发现即可得到猜想；
（3）结合二次函数的性质可求解；
（4）求出二次函数的解析式，分四种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解．
22．（2025·香洲模拟）如图1，点D，E分别是锐角三角形边，的中点，点F，G是边上的两点（F在G的左侧），，过点D，G分别作，，垂足分别为H，P．
（1）证明：；
（2）将图1沿，，剪开，得到如图2所示的四块图形编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ．我们发现由此四块图形可以拼接成矩形．如图3中的矩形就是由这四块拼接的矩形．具体操作是延长，，取，，过点L，J分别作，，得到矩形．
①【操作】请你试着把矩形内部除第Ⅰ块外的部分，分成分别与Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形状大小对应相同的三块，并在图中用尺规作图作出来（不写作法，保留作图痕迹）；
②【应用】在图3中，若矩形为正方形，，，，求的长．
【答案】（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
在△DHE和△GPF中
．
（2）①解：如图所示，线段为所求作．
②解：过点A作于点K，
，
在中，，，
，，
，
，
由拼接可知，，
正方形的边长为，
由（1），
，
即，
过点E作于点M，
，
是边的中点，，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据点D，E分别是边，的中点，得出是的中位线，即可得，根据平行线得出，根据垂直定义得出，结合题意，根据角角边即可求解；
（2）①过点作，即可求解；
②过点A作于点K，在中，根据，，求出，，结合，求出，由拼接可知，，得出正方形的边长为，由（1），得出，过点E作于点M，求出，在中，求出，，在中，根据，，用勾股定理求出，即可得出，然后根据线段的和差BF=BC-FC计算可求解．
（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
又，
．
（2）①解：如图所示，线段为所求作．
②解：过点A作于点K，
，
在中，，，
，，
，
，
由拼接可知，，
正方形的边长为，
由（1），
，
即，
过点E作于点M，
，
是边的中点，，
，
∵在中，，，
，，
∵在中，，，
，
，
，
．
23．（2025·香洲模拟）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接．
（1）填空：_______；
（2）求证：；
（3）如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上．
①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值；
②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）1
（2）证明：点C，D在反比例上，
，
，
，
（3）解：①设点．
是线段的中点，
．
点C在反比例上，
．
．
解得．
点A在点B的左侧，
．
点，点．
设直线的解析式为，
．
解得：．
直线的解析式为．
，
．
轴，轴，
．
四边形为平行四边形．
由（2）得：，点，点，
．
②是直角三角形，理由如下：
设点，
则点．
．
，
．
．
．
同理，设点，
则点．
，．
．
．
设直线交x轴于点H，连接．
令，则．
点．
点，
轴．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
是直角三角形．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：1；
【分析】
（1）根据k的几何意义和三角形面积公式计算即可求解；
（2）根据图形面积的构成即可求解；
（3）①设点，得，根据点C在反比例函数的图象上可得关于m的方程，解方程求出m的值，于是可得点C、D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，，由，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，根据可求解；
②设点，则点，于是可将DF2、DE2用含m的代数式表示出来，根据整理可得，同理，设点，则点，同理可得，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形．
（1）解：；
故答案为：1；
（2）证明：点C，D在反比例上，
，
，
，
（3）解：①设点．
是线段的中点，
．
点C在反比例上，
．
．
解得．
点A在点B的左侧，
．
点，点．
设直线的解析式为，
．
解得：．
直线的解析式为．
，
．
轴，轴，
．
四边形为平行四边形．
由（2）得：，点，点，
．
②是直角三角形，理由如下：
设点，
则点．
．
，
．
．
．
同理，设点，
则点．
，．
．
．
设直线交x轴于点H，连接．
令，则．
点．
点，
轴．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
是直角三角形．
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