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广东省广州市2025年中考数学多校联考试卷
1．（2025·广州模拟）一种大米的质量标记为“千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　）
A．10.08千克 B．10.09千克 C．9.98千克 D．9.89千克
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵一种大米的质量标记为“千克”
∴一袋大米最多为千克，最少为千克，
∴质量不合格的是9.89千克，
故选：D．
【分析】
由题意得出一袋大米最多为千克，最少为千克，再逐项判断即可．
2．（2025·广州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
C、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．（2025·广州模拟）是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】由题意，先把亿化为37000000000，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解.
4．（2025·广州模拟）已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，作，而，
∴，
∴，，
，，
，
，
故选：C．
【分析】
如图，作，由平行公理可得，再由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得.
5．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，
∴此选项不符合题意；
B、，计算错误，
∴此选项不符合题意；
C、，计算正确，
∴此选项符合题意；
D、，计算错误，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
6．（2025·广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片，
所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是，
故答案为：C．
【分析】由题意，先找出物理变化的卡片的张数，然后用概率公式计算即可求解．
7．（2025·广州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且平分，
∴此选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，
∴此选项不符合题意；
C、正方形的对角线平分一组对角，
∴此选项符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据矩形的性质“矩形的对角线相等且平分”可判断求解；
B、根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可判断求解；
C、根据正方形的性质“正方形的对角线平分每一组对角”可判断求解；
D、根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可判断求解.
8．（2025·广州模拟）如果，，都在二次函数（）的图象上，且．则的取值范围（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：点，点，点都在二次函数的图象上，
对称轴为直线，
点和也在二次函数的图象上，
，
，
，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，，时随的增大而增大，
当在对称轴的左侧时，则有，解得，
当在对称轴的右侧时，则有，解得．
故的取值范围为或．
故答案为B．
【分析】由A、B两点的纵坐标相同可知这两点是抛物线上的对称点，则可得抛物线的对称轴为直线；将二次函数变形可得抛物线y=x2-2tx+3(t＞0)的对称轴为：直线x=，于是可得方程：，由可得：，解得，即可判断点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式（组，即可求得的取值范围．
9．（2025·广州模拟）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为：，
故答案为：．
【分析】先将分式方程两边同时乘以最简公分母化分式方程为一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，然后检验即可求解．
10．（2025·广州模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得，
根据图象可得的解集为，
故选：C．
【分析】
先利用直线上点的坐标特征求出点P的坐标，再直接观察图象找出直线在直线下方时对应的自变量的取值范围即可．
11．（2025·广州模拟）某中学组织全校师生迎“五四”诗词大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是　 　，众数是　 　．
【答案】96分；98分
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：共有25个数，最中间的数为第13数，所以数据的中位数为96分；
98出现了9次，出现次数最多．
故答案为：96分，98分．
【分析】根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”和众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”并结合条形图中的信息即可求解．
12．（2025·广州模拟）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由图可知：不等式的解集为：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由数轴可知，不等式的解集为：，根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于m的不等式：，解不等式即可求解．
13．（2025·广州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得关于k的不等式，解不等式即可求解．
14．（2025·广州模拟）化简：　 　．
【答案】4
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：4．
【分析】
由于两分式的分母互为相反数，可把原分式转化为同分母的分式减法，再对分子分解因式并约分即可．
15．（2025·广州模拟）如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴与为边长相等的两个等边三角形．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，由菱形的性质可得：，再由可知是等边三角形，，于是可得与为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数sin∠AOD=可求得的长，然后根据阴影部分面积的构成计算可求解．
16．（2025·广州模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式和绝对值，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解．
17．（2025·广州模拟）请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）．
（1）如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得；
（2）如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得．
【答案】（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：如图，点即为所作，
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）作出线段的垂直平分线与交点即为点，连接，则，那么，由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得；
（2）用直尺延长，在延长线上，截取，连接，则，由等边对等角可得，再由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得．
（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：如图，点即为所作，
18．（2025·广州模拟）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，）
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
【答案】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中，由锐角三角函数可列关于a的方程，解方程求出a的值，于是由DE=（2+）a求出DE的值，在中，由勾股定理可求解；
（2）过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，在取点，使，由等边对等角和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DGH=∠DCG+∠GDC=30°，设，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得用勾股定理可得根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由线段的和差HE=DE-DH求出HE的值，在Rt△DHC和Rt△BDE中，用勾股定理分别求出CD、BE的值，然后分别求出三条路线所用时间，再比较大小即可判断求解．
（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
19．（2025·广州模拟）近来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对款聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100．
抽取的对、款聊天机器人的评分统计表
机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96
88 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中________，________，________．
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次测验中，有180人对款聊天机器人进行评分，240人对款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数．
【答案】（1）
（2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）解：（名），
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，，即，
，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数，
在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
【分析】
（1）根据百分比=频数÷样本容量可求得a的值；根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”可求得b的值；根据众数的定义"出现次数最多的就是众数"可求得c的值；
（2）比较两款的平均数，中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断即可求解；
（3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数．
（1）解：由题意得，，即，
，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数，
在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
（2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）解：（名），
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人．
20．（2025·广州模拟）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为．
（1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
（2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪．
【答案】（1）解：令，则，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：不需要修建，理由如下：
把代入，
得，
解得，（舍去），
∵，
∴不需要修建．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）由题意，先求出点A的坐标，然后用待定系数法计算即可求解；
（2）由题意，把代入（1）中所求的解析式可得关于x的一元一次方程，解方程求出点C的横坐标，与4.7比较大小即可判断求解．
（1）解：令，则，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：不需要修建，
理由如下：
把代入，
得，
解得，（舍去），
∵，
∴不需要修建．
21．（2025·广州模拟）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
【答案】解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，
∴圆的半径为4cm．
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，
∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
， ①． ②
由①②，可得，．
∴所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）首先根据扇形的弧长公式及圆锥底面周长求出底面圆的半径，再比较所给正方形纸片的对角线与制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长即可求解；
（2）先设出圆锥底面圆的半径及圆锥的母线长，再根据正方形的性质及圆锥底面周长公式列出关于R、r的方程组，解方程组即可求解．
22．（2025·广州模拟）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
【答案】解：（1）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴
（2）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
中，
（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中点，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于A的对应点在AC上，则，则由垂直的概念结合同角的余角相等可证明，由于E恰好为的中点，则由相似比可得；
（2）由折叠的性质可得，则EG//AC，又，则，此时可设AD=2a，则AE=EG=a，由（1）知，由勾股定理可求得，再由矩形的对边平行可证则，由相似比可求得，再解可得，则，；
（3）延长交于点H，由折叠的性质可得，又，则，则；又可证明，则，由可得，再证明可得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．
23．（2025·广州模拟）【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，，求的值．
【答案】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，过点作于点，
，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，，
，
，，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征即可证明；
（2）过点作轴于点，交于点，由一线三垂直相似模型可得，再由折叠的性质及相似比可求得A`的坐标即可；
（3）过点作于点构造直角三角形，过点作于点，可利用A`的坐标求出A`K、BK，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出M、N的坐标，则可得CN的长，再利用勾股定理求出A`C，再应用等面积法求出NH，再利用勾股定理求出A`N，最后再解直角三角形A`NH即可.
1 / 1广东省广州市2025年中考数学多校联考试卷
1．（2025·广州模拟）一种大米的质量标记为“千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　）
A．10.08千克 B．10.09千克 C．9.98千克 D．9.89千克
2．（2025·广州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广州模拟）是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广州模拟）已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
8．（2025·广州模拟）如果，，都在二次函数（）的图象上，且．则的取值范围（　　）
A． B．或
C． D．或
9．（2025·广州模拟）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·广州模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·广州模拟）某中学组织全校师生迎“五四”诗词大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是　 　，众数是　 　．
12．（2025·广州模拟）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是　 　．
13．（2025·广州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
14．（2025·广州模拟）化简：　 　．
15．（2025·广州模拟）如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2025·广州模拟）计算：．
17．（2025·广州模拟）请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）．
（1）如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得；
（2）如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得．
18．（2025·广州模拟）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，）
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
19．（2025·广州模拟）近来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对款聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100．
抽取的对、款聊天机器人的评分统计表
机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96
88 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中________，________，________．
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次测验中，有180人对款聊天机器人进行评分，240人对款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数．
20．（2025·广州模拟）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为．
（1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
（2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪．
21．（2025·广州模拟）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
22．（2025·广州模拟）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
23．（2025·广州模拟）【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵一种大米的质量标记为“千克”
∴一袋大米最多为千克，最少为千克，
∴质量不合格的是9.89千克，
故选：D．
【分析】
由题意得出一袋大米最多为千克，最少为千克，再逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
C、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】由题意，先把亿化为37000000000，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解.
4．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，作，而，
∴，
∴，，
，，
，
，
故选：C．
【分析】
如图，作，由平行公理可得，再由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，
∴此选项不符合题意；
B、，计算错误，
∴此选项不符合题意；
C、，计算正确，
∴此选项符合题意；
D、，计算错误，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
6．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片，
所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是，
故答案为：C．
【分析】由题意，先找出物理变化的卡片的张数，然后用概率公式计算即可求解．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且平分，
∴此选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，
∴此选项不符合题意；
C、正方形的对角线平分一组对角，
∴此选项符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据矩形的性质“矩形的对角线相等且平分”可判断求解；
B、根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可判断求解；
C、根据正方形的性质“正方形的对角线平分每一组对角”可判断求解；
D、根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：点，点，点都在二次函数的图象上，
对称轴为直线，
点和也在二次函数的图象上，
，
，
，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，，时随的增大而增大，
当在对称轴的左侧时，则有，解得，
当在对称轴的右侧时，则有，解得．
故的取值范围为或．
故答案为B．
【分析】由A、B两点的纵坐标相同可知这两点是抛物线上的对称点，则可得抛物线的对称轴为直线；将二次函数变形可得抛物线y=x2-2tx+3(t＞0)的对称轴为：直线x=，于是可得方程：，由可得：，解得，即可判断点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式（组，即可求得的取值范围．
9．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为：，
故答案为：．
【分析】先将分式方程两边同时乘以最简公分母化分式方程为一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，然后检验即可求解．
10．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得，
根据图象可得的解集为，
故选：C．
【分析】
先利用直线上点的坐标特征求出点P的坐标，再直接观察图象找出直线在直线下方时对应的自变量的取值范围即可．
11．【答案】96分；98分
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：共有25个数，最中间的数为第13数，所以数据的中位数为96分；
98出现了9次，出现次数最多．
故答案为：96分，98分．
【分析】根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”和众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”并结合条形图中的信息即可求解．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由图可知：不等式的解集为：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由数轴可知，不等式的解集为：，根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于m的不等式：，解不等式即可求解．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得关于k的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】4
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：4．
【分析】
由于两分式的分母互为相反数，可把原分式转化为同分母的分式减法，再对分子分解因式并约分即可．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴与为边长相等的两个等边三角形．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，由菱形的性质可得：，再由可知是等边三角形，，于是可得与为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数sin∠AOD=可求得的长，然后根据阴影部分面积的构成计算可求解．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式和绝对值，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解．
17．【答案】（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：如图，点即为所作，
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）作出线段的垂直平分线与交点即为点，连接，则，那么，由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得；
（2）用直尺延长，在延长线上，截取，连接，则，由等边对等角可得，再由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得．
（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：如图，点即为所作，
18．【答案】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中，由锐角三角函数可列关于a的方程，解方程求出a的值，于是由DE=（2+）a求出DE的值，在中，由勾股定理可求解；
（2）过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，在取点，使，由等边对等角和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DGH=∠DCG+∠GDC=30°，设，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得用勾股定理可得根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由线段的和差HE=DE-DH求出HE的值，在Rt△DHC和Rt△BDE中，用勾股定理分别求出CD、BE的值，然后分别求出三条路线所用时间，再比较大小即可判断求解．
（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
19．【答案】（1）
（2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）解：（名），
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，，即，
，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数，
在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
【分析】
（1）根据百分比=频数÷样本容量可求得a的值；根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”可求得b的值；根据众数的定义"出现次数最多的就是众数"可求得c的值；
（2）比较两款的平均数，中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断即可求解；
（3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数．
（1）解：由题意得，，即，
，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数，
在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
（2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）解：（名），
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人．
20．【答案】（1）解：令，则，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：不需要修建，理由如下：
把代入，
得，
解得，（舍去），
∵，
∴不需要修建．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）由题意，先求出点A的坐标，然后用待定系数法计算即可求解；
（2）由题意，把代入（1）中所求的解析式可得关于x的一元一次方程，解方程求出点C的横坐标，与4.7比较大小即可判断求解．
（1）解：令，则，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：不需要修建，
理由如下：
把代入，
得，
解得，（舍去），
∵，
∴不需要修建．
21．【答案】解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，
∴圆的半径为4cm．
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，
∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
， ①． ②
由①②，可得，．
∴所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）首先根据扇形的弧长公式及圆锥底面周长求出底面圆的半径，再比较所给正方形纸片的对角线与制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长即可求解；
（2）先设出圆锥底面圆的半径及圆锥的母线长，再根据正方形的性质及圆锥底面周长公式列出关于R、r的方程组，解方程组即可求解．
22．【答案】解：（1）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴
（2）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
中，
（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中点，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于A的对应点在AC上，则，则由垂直的概念结合同角的余角相等可证明，由于E恰好为的中点，则由相似比可得；
（2）由折叠的性质可得，则EG//AC，又，则，此时可设AD=2a，则AE=EG=a，由（1）知，由勾股定理可求得，再由矩形的对边平行可证则，由相似比可求得，再解可得，则，；
（3）延长交于点H，由折叠的性质可得，又，则，则；又可证明，则，由可得，再证明可得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．
23．【答案】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，过点作于点，
，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，，
，
，，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征即可证明；
（2）过点作轴于点，交于点，由一线三垂直相似模型可得，再由折叠的性质及相似比可求得A`的坐标即可；
（3）过点作于点构造直角三角形，过点作于点，可利用A`的坐标求出A`K、BK，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出M、N的坐标，则可得CN的长，再利用勾股定理求出A`C，再应用等面积法求出NH，再利用勾股定理求出A`N，最后再解直角三角形A`NH即可.
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