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广西南宁市第三中学2025年初中毕业班5月份质量评估测试数学试题
1．（2025·南宁模拟）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气温升高，记作，
∴气温下降时，记作．
故答案为：B．
【分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可．
2．（2025·南宁模拟）博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据轴对称的特点逐一判断即可．
3．（2025·南宁模拟）今年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，目前该片位居全球动画电影票房榜首位，跻身全球影史票房前5，总票房接近160亿，其中160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160亿，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并简结合各选项即可求解.
4．（2025·南宁模拟）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图是 ，
故选：D．
【分析】
从左边观察物体得到的图形为左视图．
5．（2025·南宁模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的(　　)
A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故答案为：C．
【分析】根据方差的意义"方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立"可判断求解．
6．（2025·南宁模拟）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
是的直径，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AD，根据圆周角定理的推论可得，进而得，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案．
7．（2025·南宁模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，，
，
点在第三象限．
故选：C．
【分析】
先由第四象限内点的坐标特征确定出a、b的符号，则点B的大体位置可以确定．
8．（2025·南宁模拟）一次函数的图象过二、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过二、三、四象限，
解得：-2 ＜m＜1
故答案为：A.
【分析】直线y=kx+b中，k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．于是根据题意可得到关于m的不等式组，求解即可.
9．（2025·南宁模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，
点的横坐标为．
根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．
故答案为：B.
【分析】y2＞y1就是双曲线高于直线所对应的x的范围，根据反比例函数与一次函数的交点并结合图形即可求解．
10．（2025·南宁模拟）已知，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由于三个整数幂的底数和指数都不同，因此可利用幂的乘方的逆运算把指数转化成相同数字，再对底数进行大小比较即可．
11．（2025·南宁模拟）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设有x间宿舍，则一共有人，
由题意得，，
故选：A．
【分析】
设有x间宿舍，则一共有人，根据不等关系“每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人”列出不等式组即可．
12．（2025·南宁模拟）如图，的面积为，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选C．
【分析】
如图连接EH，由于AE//BC，则、，又，则．
13．（2025·南宁模拟）　 　．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
正数有两个平方根，是一对相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根．
14．（2025·南宁模拟）某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示：
时间（小时） 6 7 8 9
人数 3 6 32 9
根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有　 　人．
【答案】2460
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）；
故答案为：2460．
【分析】用总人数乘以样本中平均每天睡眠时间不低于8小时的人数所占的比例，求解即可．
15．（2025·南宁模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则　 　．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据题意把代入，得到关于m的方程，再求解即可．
16．（2025·南宁模拟）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用，代值计算即可求出答案.
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值，最后进行加减运算即可；
（2）利用分式的运算法则先进行分式的加法运算，同时把除法运算变形成乘法同时分解因式，再约分即可求解．
18．（2025·南宁模拟）如图，已知扇形．
（1）请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
【答案】（1）解：作∠AOB的角平分线交于点P，连接PA，PB，如图：
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即：该点即为所求作的点．
（2）解：连接AB，交OP于点C，如图所示：
∵
∴，
∵OA=OB，
∴AB⊥OP，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴的面积为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的角平分线交于，则，即知点为符合条件的点．
（2）连接AB，交OP于点C，利用垂径定理的推论得AB⊥OP；证明△AOP是等边三角形，根据勾股定理求得AC长，再根据三角形的面积公式，即可求解．
（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，
即：作的角平分线交于，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即：该点即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
∵
∴
又∵
∴是等边三角形，
又∵，
∴
∴
∴的面积为
19．（2025·南宁模拟）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
【答案】（1）乙，29
（2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）解∶甲的综合得分为，乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
【分析】
（1）观察折线统计图，波动较小的即得分更稳定的球员，求中位数需要先对所有数据按照从小到大的顺序排序，再根据数据总数取最中间的一个数据或最中间的两个数据的平均值；
（2）由于平均数反映一组数据的集中趋势，因此可利用平均数的大小进行判断；
（3）利用加友平均数的计算方法分别求出甲、乙的综合得分，然后再进行比较即可．
（1）解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
（2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）解∶甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
20．（2025·南宁模拟）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
【答案】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
剪掉的正方形的边长为；
任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，
由题意得：，即，
，
当时，取得最大值，最大值为，
当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面是边长为的正方形，根据“底面积为”列出一元二次方程并求解即可；
任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出，整理得，即S是a的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可．
21．（2025·南宁模拟）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
（1）将上述证明过程补充完整；
（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，
∵AD=2，CD=6，
∴AC=8，
，
∴；
②，理由如下：
连接，如图所示，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE，
又是的切线，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示：
是的半径，与相切于点，
，
，
是直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
【分析】（1）根据切线的性质可证得， 再由圆周角定理的推论可证得， 最后由圆周角定理的推论得，即可得结论.
（2）①由弦切角定理，可得，进而可证明，由相似三角形的对应边成比例，即可求的长，
②连接，由是直径，可得，由等腰三角形三线合一的性质，可得是的角平分线，再结合弦切角定理，即可求解.
（1）解：如图2
是的半径，与相切于点，
，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即：，
，解得：；
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
．
22．（2025·南宁模拟）如图，抛物线（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
【答案】（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点.
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线：，
即
，
∴L的函数表达式为
∵．
∴抛物线L的顶点坐标为，
令，
解得：（负数舍去），
∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是，
此时两个点的竖直距离总为：，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得交点的个数，再通过根与系数的关系，即可得交点的位置；
（2）①利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再令，解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②利用二次函数的性质，进行解答即可．
（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
当时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
23．（2025·南宁模拟）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
① ；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．
【答案】（1）90
（2）①45；
②解：判断正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）AP长为或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45；
（3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵，
①当点F在的延长线上时，
∴，
设与交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得： ，
∴．
②当点F在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵，
∴，解得：．
∴．
【分析】（1）根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）由题意可得，则，根据折叠性质可得，分情况讨论：①当点F在的延长线上时，根据勾股定理可得BF，设与交于E，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得ME，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当点F在上时，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理可得BH，根据相似三角形判定定理可得，则，根据折叠性质可得，代值计算即可求出答案.
1 / 1广西南宁市第三中学2025年初中毕业班5月份质量评估测试数学试题
1．（2025·南宁模拟）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·南宁模拟）博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南宁模拟）今年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，目前该片位居全球动画电影票房榜首位，跻身全球影史票房前5，总票房接近160亿，其中160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南宁模拟）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·南宁模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的(　　)
A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对
6．（2025·南宁模拟）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南宁模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·南宁模拟）一次函数的图象过二、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南宁模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2025·南宁模拟）已知，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南宁模拟）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·南宁模拟）如图，的面积为，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·南宁模拟）　 　．
14．（2025·南宁模拟）某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示：
时间（小时） 6 7 8 9
人数 3 6 32 9
根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有　 　人．
15．（2025·南宁模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则　 　．
16．（2025·南宁模拟）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为　 　．
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2025·南宁模拟）如图，已知扇形．
（1）请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
19．（2025·南宁模拟）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
20．（2025·南宁模拟）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
21．（2025·南宁模拟）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
（1）将上述证明过程补充完整；
（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
22．（2025·南宁模拟）如图，抛物线（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
23．（2025·南宁模拟）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
① ；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气温升高，记作，
∴气温下降时，记作．
故答案为：B．
【分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据轴对称的特点逐一判断即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160亿，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并简结合各选项即可求解.
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图是 ，
故选：D．
【分析】
从左边观察物体得到的图形为左视图．
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故答案为：C．
【分析】根据方差的意义"方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立"可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
是的直径，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AD，根据圆周角定理的推论可得，进而得，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案．
7．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，，
，
点在第三象限．
故选：C．
【分析】
先由第四象限内点的坐标特征确定出a、b的符号，则点B的大体位置可以确定．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过二、三、四象限，
解得：-2 ＜m＜1
故答案为：A.
【分析】直线y=kx+b中，k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．于是根据题意可得到关于m的不等式组，求解即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，
点的横坐标为．
根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．
故答案为：B.
【分析】y2＞y1就是双曲线高于直线所对应的x的范围，根据反比例函数与一次函数的交点并结合图形即可求解．
10．【答案】B
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由于三个整数幂的底数和指数都不同，因此可利用幂的乘方的逆运算把指数转化成相同数字，再对底数进行大小比较即可．
11．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设有x间宿舍，则一共有人，
由题意得，，
故选：A．
【分析】
设有x间宿舍，则一共有人，根据不等关系“每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人”列出不等式组即可．
12．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选C．
【分析】
如图连接EH，由于AE//BC，则、，又，则．
13．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
正数有两个平方根，是一对相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根．
14．【答案】2460
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）；
故答案为：2460．
【分析】用总人数乘以样本中平均每天睡眠时间不低于8小时的人数所占的比例，求解即可．
15．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据题意把代入，得到关于m的方程，再求解即可．
16．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用，代值计算即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值，最后进行加减运算即可；
（2）利用分式的运算法则先进行分式的加法运算，同时把除法运算变形成乘法同时分解因式，再约分即可求解．
18．【答案】（1）解：作∠AOB的角平分线交于点P，连接PA，PB，如图：
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即：该点即为所求作的点．
（2）解：连接AB，交OP于点C，如图所示：
∵
∴，
∵OA=OB，
∴AB⊥OP，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴的面积为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的角平分线交于，则，即知点为符合条件的点．
（2）连接AB，交OP于点C，利用垂径定理的推论得AB⊥OP；证明△AOP是等边三角形，根据勾股定理求得AC长，再根据三角形的面积公式，即可求解．
（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，
即：作的角平分线交于，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即：该点即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
∵
∴
又∵
∴是等边三角形，
又∵，
∴
∴
∴的面积为
19．【答案】（1）乙，29
（2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）解∶甲的综合得分为，乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
【分析】
（1）观察折线统计图，波动较小的即得分更稳定的球员，求中位数需要先对所有数据按照从小到大的顺序排序，再根据数据总数取最中间的一个数据或最中间的两个数据的平均值；
（2）由于平均数反映一组数据的集中趋势，因此可利用平均数的大小进行判断；
（3）利用加友平均数的计算方法分别求出甲、乙的综合得分，然后再进行比较即可．
（1）解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
（2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）解∶甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
20．【答案】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
剪掉的正方形的边长为；
任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，
由题意得：，即，
，
当时，取得最大值，最大值为，
当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面是边长为的正方形，根据“底面积为”列出一元二次方程并求解即可；
任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出，整理得，即S是a的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可．
21．【答案】（1）；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，
∵AD=2，CD=6，
∴AC=8，
，
∴；
②，理由如下：
连接，如图所示，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE，
又是的切线，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示：
是的半径，与相切于点，
，
，
是直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
【分析】（1）根据切线的性质可证得， 再由圆周角定理的推论可证得， 最后由圆周角定理的推论得，即可得结论.
（2）①由弦切角定理，可得，进而可证明，由相似三角形的对应边成比例，即可求的长，
②连接，由是直径，可得，由等腰三角形三线合一的性质，可得是的角平分线，再结合弦切角定理，即可求解.
（1）解：如图2
是的半径，与相切于点，
，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即：，
，解得：；
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
．
22．【答案】（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点.
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线：，
即
，
∴L的函数表达式为
∵．
∴抛物线L的顶点坐标为，
令，
解得：（负数舍去），
∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是，
此时两个点的竖直距离总为：，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得交点的个数，再通过根与系数的关系，即可得交点的位置；
（2）①利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再令，解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②利用二次函数的性质，进行解答即可．
（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
当时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
23．【答案】（1）90
（2）①45；
②解：判断正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）AP长为或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45；
（3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵，
①当点F在的延长线上时，
∴，
设与交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得： ，
∴．
②当点F在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵，
∴，解得：．
∴．
【分析】（1）根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据折叠性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）由题意可得，则，根据折叠性质可得，分情况讨论：①当点F在的延长线上时，根据勾股定理可得BF，设与交于E，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得ME，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当点F在上时，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理可得BH，根据相似三角形判定定理可得，则，根据折叠性质可得，代值计算即可求出答案.
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