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四川省广元市剑阁县2025年九年级诊断性监测数学试题
1．（2025·剑阁模拟）2的相反数是（　　）
A．2 B．－2 C． D．
2．（2025·剑阁模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·剑阁模拟）若单项式与为同类项，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2025·剑阁模拟）如图是一个正方体的平面展开图，把此平面图折叠成正方体后，与“心”字所在面相对的面上标有的字是（　　）
A．数 B．学 C．素 D．养
5．（2025·剑阁模拟）如图，均为的半径，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·剑阁模拟）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制，选手小林控球技能得95分，投球技能得75分．小林综合成绩为（　　）
A．170分 B．85分 C．84分 D．83分
7．（2025·剑阁模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·剑阁模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
9．（2025·剑阁模拟）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·剑阁模拟）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2025·剑阁模拟）分解因式： 　 　．
12．（2025·剑阁模拟）截至2月4日19时20分，2025年春节档电影总票房超过95亿元，刷新影史春节档最高票房纪录．将“95亿”用科学记数法表示为　 　．
13．（2025·剑阁模拟）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为　 　．
14．（2025·剑阁模拟）近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为　 　．
15．（2025·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为　 　．
16．（2025·剑阁模拟）等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为　 　．
17．（2025·剑阁模拟）计算：．
18．（2025·剑阁模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·剑阁模拟）小育在学行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形（）里作出一个菱形？他的思路如下：在中，利用尺规作的平分线，交于点E，在上截取，连接EF．
（1）根据小育的思路作图；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据小育的思路，求证：四边形是菱形．
20．（2025·剑阁模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
课外阅读时间x（） 等级 人数
D 3
C a
B 8
A 4
（1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度；
（2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________；
（3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人；
（4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
21．（2025·剑阁模拟）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号）
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
22．（2025·剑阁模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
23．（2025·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）求的值．
24．（2025·剑阁模拟）如图，已知直线与相切于点，，为上不与重合的两点，连接，，且，过点作直线的垂线，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：为的直径；
（2）当，时，求的长．
25．（2025·剑阁模拟）【基础巩固】
（1）如图①，在中，，于点，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长．
26．（2025·剑阁模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为的中点，动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点．要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（3）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】
A、合并同项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变，不是同类项不能合并；
B、单项式乘以单项项，把系数的积作为积的系数，相同字母作同底数幂的乘法运算，对于只在一个单项式中出现的字母连同它的指数作为积的一个因式；
C、同底数幂的除法，底数不变指数相减；
D、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
3．【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据同类项的定义"所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项"可求得m、n的值，然后把m、n的值代入所求代数式计算即可求解．
4．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：原正方体中与“心”字所在面相对的面上标有的字是“学”，
故答案为：B．
【分析】根据正方体的展开图的特征“相对的面之间一定相隔一个正方形”可求解．
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"可得，然后由角的构成得∠AOC=2∠BOC可求解．
6．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：李林综合成绩为：（分），
故选：D．
【分析】
利用加权平均数的计算公式求解即可．
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴于点，
四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案为：C．
【分析】作轴于点，由菱形的性质“菱形的四边相等”可得，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由直角三角形两锐角互余可得，根据等角对等边可得，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD=BD的值，则点的坐标可求解．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点．
由旋转的性质可知四边形为长方形，
，
，
，
，
旋转角可以为，
故选：A．
【分析】
由旋转和矩形的性质知，再由两直线平行同旁内角互补得即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的顶点坐标为
∴对称轴为直线，
∴，即，故①正确
②根据函数图象可得抛物线开口向上，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，
，所以②错误；
③若且，则，故，③正确；
④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
∵点，在抛物线上，
，
∴，所以⑤正确．
正确选项有3个，
故选：B．
【分析】
①由抛物线的顶点坐标为，则对称轴为，即，故结论正确；
②由于抛物线开口向上，则函数有最小值-6，故对任意实数x，都满足；
③若对于任意实数都满足且，则，即；
④因为点在抛物线上，则由对称性知抛物线必然经过点，则方程的根为或；
⑤由抛物线开口向上，则距离抛物线的对称轴越大的点对应的函数值越大．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 = = ．故答案为： ．
【分析】由题意先提公因式，再将括号内的多项式用完全平方公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：95亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】由题意，先将单位"亿元"化为单位“元”，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当时，y随x增大而减小，
∵当时，，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴此函数解析式为；
故答案为：．
【分析】根据一次函数的性质"时，y随x增大而减小"可得：当时，，当时，，将这两组值代入一次函数的解析式可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解．
14．【答案】
【知识点】平行公理及推论；三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，都与地面平行，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行公理的推论可证得，然后由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得和的度数，在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°可求解．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵轴于点C，
∴点B和点D的纵坐标都为1，
在中，当时，，
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过A作，且，连接，，
则，又，
∴，
∴，
∴，当C、F、P共线时取等号，
则最小值为的长度，
过C作交延长线于Q，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由得，
在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】
过A作，且，则可证明得到，所以有，当C、F、P共线时取等号，最小值为的长度，此时可过C作交延长线于Q，则利用等腰三角形的性质和判定证明，然后利用勾股定理求得，即可．
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-2=4，由绝对值的意义可得=1，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，最后再代入字母的值进行计算．
19．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边互相平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FBE=∠BEA，结合角平分线的性质和等量代换可得∠AEB=∠ABE，由等角对等边得AB=AE，结合已知可得，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解．
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
20．【答案】（1）5，144
（2）40 ，40
（3）解：（名）；
答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于；
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；
（一名男生和一名女生）．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：；
；
故答案为：5，144
（2）
解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40；
故众数为40；
将数据排序后，第10个和第11个数据均为40，
∴中位数为：；
【分析】
（1）根据各小组频数之和等于样本容量可求得a的值；根据圆心角=360°×百分比可求出圆心角的度数；
（2）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解；
（4）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：；
；
故答案为：5，144
（2）解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40；
故众数为40；
将数据排序后，第10个和第11个数据均为40，
∴中位数为：；
（3）解：（名）；
答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于；
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；
（一名男生和一名女生）．
21．【答案】（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点B作于点E，设，在中，根据勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，在中，根据锐角三角函数tan∠CDJ=求出CJ的值，然后由线段的和差CF=CJ+FJ可求解．
（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
22．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
23．【答案】（1）解：设的解析式为，将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接，设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）过点作，垂足为，取的中点连接，则由反比例函数图象上汇款后的坐标特征可设，再根据中位线定理列式计算即可．
（1）解：设的解析式为，
将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接，
设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
24．【答案】（1）证明：连接，，延长交于，
又
，即
l为切线
直线l
四边形为矩形，
为直径
（2）解；过点作于，
为直径
设，，则
∴，

【知识点】圆的综合题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，延长交于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的四个角是直角得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）过点作于，求出，由同弧所对的圆周角相等可得，则，设，，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求解．
（1）证明：连接，，延长交于，
又
，即
l为切线
直线l
四边形为矩形，
为直径
（2）解；过点作于
为直径
设，，则
∴，
25．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
由（1）可得，，
，
；
（3）解：在矩形中，，
，
与关于直线对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
由（1）可得，，
设，则，
，
解得，（舍去），
的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可证，则由相似比可得，化比例式为等积式即可；
（2）由矩形的对边平行得，则可证，由已知可得相似比，再利用（1）的结论可得，再代入计算即可；
（3）由折叠的性质知，又，则，由（1）的结论得，此时由矩形的性质结合折叠的性质可证明，则CM=DA=2，设MG=x，则GC=x+2，代入到中求解即可．
26．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，．
设抛物线的解析式为，
代入点的坐标，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，
此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程．
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴抛物线的对称轴为直线，
∴．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
当时，则，
解得，
∴；
当时，则，
∴．
点走过的最短路程为：．
（3）解：存在，以点为直角顶点的等腰直角三角形．设．
①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点，
∴，，
∴，
∴，
在△KCQ和△LQR中
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
②如图，当点在第一象限时，
同理可得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
综上可得，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意易得A、B、C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程；用待定系数法求出直线HI的解析式；令直线解析式中y=0可求得点E的坐标；把x=1代入直线解析式求得点F的坐标，然后用两点间的距离公式即可求解；
（3）设，①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，由同角的余角相等可得∠KCQ=∠LQR，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得CK=QL，根据QL=OL可得关于a的方程，解方程求出a的值，于是点Q的坐标可求解；
②如图，当点在第一象限时，同理可得关于a的方程，解方程即可求解．
（1）∵，，
∴，，．
设抛物线的解析式为，
代入点的坐标，得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程．
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴抛物线的对称轴为直线，
∴．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
当时，则，
解得，
∴；
当时，则，
∴．
点走过的最短路程为：．
（3）存在以点为直角顶点的等腰直角三角形．
设．
①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
②如图，当点在第一象限时，
同理可得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
综上所述，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为，或．
1 / 1四川省广元市剑阁县2025年九年级诊断性监测数学试题
1．（2025·剑阁模拟）2的相反数是（　　）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．（2025·剑阁模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】
A、合并同项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变，不是同类项不能合并；
B、单项式乘以单项项，把系数的积作为积的系数，相同字母作同底数幂的乘法运算，对于只在一个单项式中出现的字母连同它的指数作为积的一个因式；
C、同底数幂的除法，底数不变指数相减；
D、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
3．（2025·剑阁模拟）若单项式与为同类项，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据同类项的定义"所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项"可求得m、n的值，然后把m、n的值代入所求代数式计算即可求解．
4．（2025·剑阁模拟）如图是一个正方体的平面展开图，把此平面图折叠成正方体后，与“心”字所在面相对的面上标有的字是（　　）
A．数 B．学 C．素 D．养
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：原正方体中与“心”字所在面相对的面上标有的字是“学”，
故答案为：B．
【分析】根据正方体的展开图的特征“相对的面之间一定相隔一个正方形”可求解．
5．（2025·剑阁模拟）如图，均为的半径，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"可得，然后由角的构成得∠AOC=2∠BOC可求解．
6．（2025·剑阁模拟）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制，选手小林控球技能得95分，投球技能得75分．小林综合成绩为（　　）
A．170分 B．85分 C．84分 D．83分
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：李林综合成绩为：（分），
故选：D．
【分析】
利用加权平均数的计算公式求解即可．
7．（2025·剑阁模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴于点，
四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案为：C．
【分析】作轴于点，由菱形的性质“菱形的四边相等”可得，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由直角三角形两锐角互余可得，根据等角对等边可得，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD=BD的值，则点的坐标可求解．
8．（2025·剑阁模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
9．（2025·剑阁模拟）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点．
由旋转的性质可知四边形为长方形，
，
，
，
，
旋转角可以为，
故选：A．
【分析】
由旋转和矩形的性质知，再由两直线平行同旁内角互补得即可．
10．（2025·剑阁模拟）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的顶点坐标为
∴对称轴为直线，
∴，即，故①正确
②根据函数图象可得抛物线开口向上，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，
，所以②错误；
③若且，则，故，③正确；
④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
∵点，在抛物线上，
，
∴，所以⑤正确．
正确选项有3个，
故选：B．
【分析】
①由抛物线的顶点坐标为，则对称轴为，即，故结论正确；
②由于抛物线开口向上，则函数有最小值-6，故对任意实数x，都满足；
③若对于任意实数都满足且，则，即；
④因为点在抛物线上，则由对称性知抛物线必然经过点，则方程的根为或；
⑤由抛物线开口向上，则距离抛物线的对称轴越大的点对应的函数值越大．
11．（2025·剑阁模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 = = ．故答案为： ．
【分析】由题意先提公因式，再将括号内的多项式用完全平方公式分解即可。
12．（2025·剑阁模拟）截至2月4日19时20分，2025年春节档电影总票房超过95亿元，刷新影史春节档最高票房纪录．将“95亿”用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：95亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】由题意，先将单位"亿元"化为单位“元”，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
13．（2025·剑阁模拟）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当时，y随x增大而减小，
∵当时，，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴此函数解析式为；
故答案为：．
【分析】根据一次函数的性质"时，y随x增大而减小"可得：当时，，当时，，将这两组值代入一次函数的解析式可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解．
14．（2025·剑阁模拟）近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行公理及推论；三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，都与地面平行，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行公理的推论可证得，然后由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得和的度数，在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°可求解．
15．（2025·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵轴于点C，
∴点B和点D的纵坐标都为1，
在中，当时，，
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可．
16．（2025·剑阁模拟）等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过A作，且，连接，，
则，又，
∴，
∴，
∴，当C、F、P共线时取等号，
则最小值为的长度，
过C作交延长线于Q，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由得，
在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】
过A作，且，则可证明得到，所以有，当C、F、P共线时取等号，最小值为的长度，此时可过C作交延长线于Q，则利用等腰三角形的性质和判定证明，然后利用勾股定理求得，即可．
17．（2025·剑阁模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-2=4，由绝对值的意义可得=1，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．（2025·剑阁模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，最后再代入字母的值进行计算．
19．（2025·剑阁模拟）小育在学行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形（）里作出一个菱形？他的思路如下：在中，利用尺规作的平分线，交于点E，在上截取，连接EF．
（1）根据小育的思路作图；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据小育的思路，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边互相平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FBE=∠BEA，结合角平分线的性质和等量代换可得∠AEB=∠ABE，由等角对等边得AB=AE，结合已知可得，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解．
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
20．（2025·剑阁模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
课外阅读时间x（） 等级 人数
D 3
C a
B 8
A 4
（1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度；
（2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________；
（3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人；
（4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）5，144
（2）40 ，40
（3）解：（名）；
答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于；
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；
（一名男生和一名女生）．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：；
；
故答案为：5，144
（2）
解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40；
故众数为40；
将数据排序后，第10个和第11个数据均为40，
∴中位数为：；
【分析】
（1）根据各小组频数之和等于样本容量可求得a的值；根据圆心角=360°×百分比可求出圆心角的度数；
（2）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解；
（4）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：；
；
故答案为：5，144
（2）解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40；
故众数为40；
将数据排序后，第10个和第11个数据均为40，
∴中位数为：；
（3）解：（名）；
答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于；
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；
（一名男生和一名女生）．
21．（2025·剑阁模拟）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号）
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点B作于点E，设，在中，根据勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，在中，根据锐角三角函数tan∠CDJ=求出CJ的值，然后由线段的和差CF=CJ+FJ可求解．
（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
22．（2025·剑阁模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
23．（2025·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：设的解析式为，将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接，设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）过点作，垂足为，取的中点连接，则由反比例函数图象上汇款后的坐标特征可设，再根据中位线定理列式计算即可．
（1）解：设的解析式为，
将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接，
设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
24．（2025·剑阁模拟）如图，已知直线与相切于点，，为上不与重合的两点，连接，，且，过点作直线的垂线，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：为的直径；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，延长交于，
又
，即
l为切线
直线l
四边形为矩形，
为直径
（2）解；过点作于，
为直径
设，，则
∴，

【知识点】圆的综合题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，延长交于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的四个角是直角得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）过点作于，求出，由同弧所对的圆周角相等可得，则，设，，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求解．
（1）证明：连接，，延长交于，
又
，即
l为切线
直线l
四边形为矩形，
为直径
（2）解；过点作于
为直径
设，，则
∴，
25．（2025·剑阁模拟）【基础巩固】
（1）如图①，在中，，于点，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
由（1）可得，，
，
；
（3）解：在矩形中，，
，
与关于直线对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
由（1）可得，，
设，则，
，
解得，（舍去），
的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可证，则由相似比可得，化比例式为等积式即可；
（2）由矩形的对边平行得，则可证，由已知可得相似比，再利用（1）的结论可得，再代入计算即可；
（3）由折叠的性质知，又，则，由（1）的结论得，此时由矩形的性质结合折叠的性质可证明，则CM=DA=2，设MG=x，则GC=x+2，代入到中求解即可．
26．（2025·剑阁模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为的中点，动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点．要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（3）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，．
设抛物线的解析式为，
代入点的坐标，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，
此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程．
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴抛物线的对称轴为直线，
∴．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
当时，则，
解得，
∴；
当时，则，
∴．
点走过的最短路程为：．
（3）解：存在，以点为直角顶点的等腰直角三角形．设．
①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点，
∴，，
∴，
∴，
在△KCQ和△LQR中
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
②如图，当点在第一象限时，
同理可得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
综上可得，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意易得A、B、C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程；用待定系数法求出直线HI的解析式；令直线解析式中y=0可求得点E的坐标；把x=1代入直线解析式求得点F的坐标，然后用两点间的距离公式即可求解；
（3）设，①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，由同角的余角相等可得∠KCQ=∠LQR，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得CK=QL，根据QL=OL可得关于a的方程，解方程求出a的值，于是点Q的坐标可求解；
②如图，当点在第一象限时，同理可得关于a的方程，解方程即可求解．
（1）∵，，
∴，，．
设抛物线的解析式为，
代入点的坐标，得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点，此时的点即为所求，的长即为动点所走过的最短路程．
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴抛物线的对称轴为直线，
∴．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
当时，则，
解得，
∴；
当时，则，
∴．
点走过的最短路程为：．
（3）存在以点为直角顶点的等腰直角三角形．
设．
①如图，当点在第二象限时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
②如图，当点在第一象限时，
同理可得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
综上所述，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为，或．
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