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函数的定义域重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．下列函数中，定义域为的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数，则（ ）
A． B．的最小值为0
C．是奇函数 D．的定义域为
三、填空题
8．函数的定义域是 .
9．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
10．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
11．函数的定义域为 ．
12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
13．函数的最小值为 ．
14．函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ．
四、解答题
15．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
17．已知函数（，且）的图象过点．
(1)求实数a的值；
(2)求函数的定义域，并判断其在定义域上的单调性（不需要证明）；
(3)解关于x的不等式．
18．已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的定义域为，求实数的值；
(3)若的定义域为，求实数的取值范围.
19．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B C B C AC ACD
1．B
【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误；
对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误；
故选：B.
2．B
【分析】由题得且，解不等式组即得函数的定义域.
【详解】由题得且，
解得：且，
x∈，
故选：B
3．C
【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案.
【详解】由题可知，且，即，所以，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.
故选：C.
4．B
【分析】转化为不等式对任意的恒成立，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由题意，不等式对任意的恒成立．
当时，恒成立，即符合题意．
当时，则，解得．
综上，的取值范围是．
故选：B
5．C
【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解.
【详解】由于的定义域为，故，
因此的定义域满足，解得且，
故定义域为，
故选：C
6．AC
【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性.
【详解】设，，，
对于A项，易知定义域为R，
且，所以为偶函数.
根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确；
对于B项，定义域为R，
且，所以不是偶函数.故B错误；
对于C项，定义域为，
且.
当时，在上单调递增.故C正确；
对于D项，定义域为，
且，所以为奇函数.故D错误.
故选：AC.
7．ACD
【分析】用特值法可判断A、B；求出函数的定义域判断D；利用奇函数的定义既可判断C.
【详解】，故A正确；
由，得，故D正确．
因为，所以的最小值不是0，故B错误．
因为，所以是奇函数，故C正确．
故选：ACD.
8．
【分析】根据分母不等于零和被开方数大于等于零列不等式，解不等式即可.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：.
9．
【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解.
【详解】由题意得对任意实数都成立，
当时，，符合题意；
当时，满足，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
10．
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
11．
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
12．
【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】函数的定义域为，
得恒成立，
当时，恒成立；
当时，，得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
13．
【分析】先求得函数的定义域，进而判断函数的单调性，进而可求最小值.
【详解】由，可得，所以函数的定义域为，
与在上均为增函数，
在上为单调递增函数，
∴当时，．
故答案为：.
14．（答案不唯一）
【分析】根据函数的定义域求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以在上恒成立，即，
由于在上恒成立，故实数的取值范围为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．(1)
(2)
(3){且
(4)且
【分析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可.
【详解】（1）
所以定义域为
（2）
所以定义域为
（3）且
所以定义域为且
（4）且
所以定义域为且
16．答案见解析
【分析】由函数的定义域为可得出，对实数的取值进行分类讨论，解该不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】由题意，，即.
当或，即或时，不存在，
即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义；
当，即时，，的定义域为；
当，即时，，的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为．
综上：
①当或时，的定义域为；
②当时，的定义域为；
③当时，的定义域为；
④当或时，函数定义域为，不存在．
17．(1)2
(2)，函数在上单调递增
(3)
【分析】（1）将点代入函数解析式求解；
（2）由（1）得函数，从而可得其定义域，再由复合函数的单调性判断其单调性即可.
（3）易知在上单调递增，由求解；
【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点，
所以，即，解得；
（2）由（1）得，所以函数，
由 解得，
所以函数的定义域为 ，函数在上单调递增.
（3）由复合函数的单调性知：在上单调递增，
又，
所以，即，即，
解得，
所以不等式的解集为.
18．(1)
(2)2
(3).
【分析】（1）配方求解值域；
（2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解；
（3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以的值域为.
（2）因为的定义域为，
所以-2和1是方程的两个根，
故，解得，检验符合，故,.
（3）当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域不为，不符合题意；
当时，由题意，在上恒成立，
令，解得，
综上所述，实数的取值范围.
19．
【分析】由在R上恒成立，讨论求解即可.
【详解】∵函数的定义域为R，
∴在R上恒成立．
当时，解得．若，不等式可化为，显然符合题意；
若，不等式可化为，解得，不符合题意，舍去．
当，即时，满足，
即，解得或．
综上可得，实数a的取值范围是．
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