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函数的奇偶性重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
10．已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．函数在点处的切线方程为
D．，都有
12．已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．一定不是奇函数
C．若是偶函数，则
D．若，则
三、填空题
13．函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ．
14．若是偶函数，则
15．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
16．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 .
四、解答题
17．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
18．已知函数是奇函数.
(1)求的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值；
(3)若函数满足不等式，求出的范围.
19．已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D D A B D B C
题号 11 12
答案 ACD ABD
1．C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
2．B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
3．B
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】
对于A选项：如图，不符，
对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
4．D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，
所以
所以，解得.
所以的取值范围为.
故选：D.
5．D
【分析】判断与图象的对称性，从而求得．
【详解】对于，，，
所以的图象关于点对称．因为
所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，
所以，的图象的交点关于对称，
所以．
故选：D
6．A
【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值.
【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数，
所以，，即，化简得 ，
解得.
故选：A.
7．B
【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断.
【详解】令函数，，则定义域为，
，是奇函数，
当时，；
由为奇函数可得当时，，
而函数是偶函数，且当时，，
则函数与的图象在时无交点；
当时，令，求导得，
函数在上单调递增，又，
，因此在上只有一个零点，
所以函数与的图象交点只有一个.
故选：B
8．D
【分析】以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分的方程为，由是定义域为的奇函数，根据奇函数的定义即可求出的解析式.
【详解】以点为圆心，半径为2的圆的方程为，
则该圆在轴上方的部分的方程为，
由是定义域为奇函数，得，
当时，，
故选：D
9．B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
10．C
【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
11．ACD
【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可.
【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.
对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.
对于C，对求导得，
所以，故所求切线为，即，所以C对.
对于D，当时，，，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
且当时，，时，所以
由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】在中，令，求出，再令，，即可判断A；根据即可判断B；假设函数是偶函数，推出即可判断C；利用累加法得到，再表示出，利用放缩法即可证明D．
【详解】对于选项A：在中，
令，则，①
再令，，则，A正确；
对于选项B：由①得：，
故一定不是奇函数，B正确；
对于选项C：若是偶函数，则，
所以，
整理得：，故，C错误；
对于选项D：在中，
令，，
可得，
所以，又，
所以，
，
，
，
以上各式累加，得，
故
，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩，裂项求和来求解．
13．
【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值.
【详解】由题意，①
则，②
所以两式相加得：，
则，
又，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为：.
14．0或2
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可.
【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以方程的根互为相反数，
所以，此时定义域为，
设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以，
所以，所以函数为奇函数，又是偶函数，
所以恒成立，
所以是奇函数，于是，
此时，于是或.
故答案为：0或2
15．
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.
【详解】由是定义在上的奇函数，得，
是上的偶函数，由，得，
则，由在上递增，得在上递减，
当时，，不等式成立，因此；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得，即可得解.
【详解】由为奇函数，为偶函数，
则有，，
故，
即，
即有，
故函数周期为，故，
由，则有，即，
故.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可；
（2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.
【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为．
18．(1)
(2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值；
（2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为在是奇函数，则，
即，可得，解得，故.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
任取、且，
则
，
因为所以，，，
所以，即，
所以是区间上的增函数，
所以函数的最小值为，最大值为.
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由可得，
所以，解得，故实数的取值范围是.
19．(1)函数为奇函数；
(2)
【分析】（1）通过证明来证得为奇函数.
（2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可.
【详解】（1）由已知，函数的定义域为．
，都有，
．
所以函数为奇函数．
（2）任取，且，则，
那么
因为 ， 所以 ，，，
所以 ，
所以 ，
所以 在上是增函数．
因为，所以，且在上是增函数．
所以，所以，
所以不等式的解集
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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