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函数的最值重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域为，值域为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
4．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．是增函数
7．对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．的值域与函数的值域相同
C．
D．对任意实数x，都有
10．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．mn的最大值为 D．的最小值为
11．已知函数，则正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是非奇非偶函数
C．函数的零点为0
D．当时，的最大值为
三、填空题
12．已知函数，则的最大值是 .
13．函数满足：①②，．则的最大值等于 ．
14．已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数均有，则：① ； ②的值域为 ； ③ ；④是奇函数，则上述结论正确的序号是 .
15．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为
四、解答题
17．已知．
(1)若，求的最大值，并求出此时的值；
(2)若且，求的最大值．
18．若，且，求k的最大值，使得恒成立．
19．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的最大项.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A D C D ABD ACD
题号 11
答案 AD
1．D
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域.
【详解】函数的定义域为，
又与在上均单调递增，
所以在上单调递增，
，故的值域为.
故选：D.
2．D
【分析】求函数的定义域和值域，再求即可.
【详解】由有意义可得，
所以，
所以，
所以函数的定义域，
由，可得，
所以函数的值域
所以.
故选：D.
3．A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由于，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
故选：A.
4．B
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.
【详解】由函数的值域为，得，
由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，
则，则，而函数与的值域相同，
所以函数的最大值为3.
故选：B
5．A
【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意.
【详解】当．则，
此时在，单调递增，在单调递减.
当时，若，当，，不合题意；
当时，，，则值域为符合题意；
当时，要使的值域是，则要求的最小值为．
则必定先有，得，即，
此时在上单调性为上单调递减，单调递增，
有最小值符合题意．故
故选：A.
6．D
【分析】取，代入计算，即可判断A，取代入计算，即可判断B，取代入计算，结合基本不等即可判断C，举出反例，取，即可判断D.
【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即，
又因为值域为，所有，故，故A正确；
对于B，取，则，即，故B正确，
对于C，令，则，即，
注意到，所以，
所以，当取得等号，故C正确；
对于D，取，则，
符合题意，但此时是减函数，故D错误．
故选：D．
7．C
【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值.
【详解】设，则，
所以，故，故，
故，
设，则，其中，
若，则；
若，则即，
故，
故，故，
故，
故选：C.
8．D
【分析】利用奇函数排除AB；再求出函数值域即可判断.
【详解】对于A，是非奇非偶函数，A不是；
对于B，函数值域为R，，是偶函数，B不是；
对于C，函数的定义域为R，，是奇函数，
当时，，求导得，当时，；
当时，，函数在上递增，在上递减，，
而当时，，即函数的值域不是R，C不是；
对于D，函数的定义域为，，是奇函数；
当时，都递减，则函数在上单调递减，
函数在上值域为，在上值域为，因此函数在上的值域是R，
同理函数在上的值域是R，D是.
故选：D
9．ABD
【分析】由狄利克雷函数定义逐项判断即可；
【详解】对于A，根据狄利克雷函数定义可知，即A正确；
对于B，易知函数的定义域为，
当时，；当时，；
即函数的值域为，所以B正确；
对于C，若，则，则，
若，则，则，综上可得：，故C错误；
对于D，当时，，
此时；
当时，，此时，所以D正确．
故选：ABD
10．ACD
【分析】由题设得，结合指数函数性质判断A；应用三角换元、辅助角公式及正弦型函数性质求的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D.
【详解】对于A，因为正实数m，n满足，则，，故，正确；
对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式，
所以，
由于，所以，所以，错误；
对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确；
对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，正确．
故选：ACD
11．AD
【分析】利用函数的性质研究，可以判断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即可．
【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确；
由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误；
由解得，，所以零点为，故C错误；
当时，，取等号条件为，故D正确；
故选：AD.
12．16
【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
故答案为：16
13．/0.5
【分析】设且，代入得，令，则有关于的不等式有解，利用判别式求解即可.
【详解】解：设且，
令，
则有，
即，
设，则，
即，
所以有解，，
所以的最大值等于．
故答案为：
【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题目时，常用赋值法.
14．①③
【分析】利用赋值法判断①和③的正误；设，代入已知等式即可验证②的正误；取，验证④的正误会.
【详解】对于①，令，可得，因为是非常数函数，所以不恒为0，
所以，故①正确．
对于③，令，则，可得，
即，故③正确．
对于②，根据，可取，
可知是定义域为的非常数函数，
且，
可知符合题意，但，故②错误．
对于④，例如，可知是定义域为的非常数函数，
且，注意到同号，
可得，
可知符合题意，但，
即为偶函数，故④错误．
故答案为：①③.
15．
【分析】参变分离可得对任意恒成立，换元令，整理得，结合对勾函数性质分析求解.
【详解】因为，且，
可得对任意恒成立，
令，则，
若，则，可得，
若，则，可得
，
由对勾函数可知或，
则或，可得，
则；
综上所述：，
即的最大值为，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
16．4
【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值.
【详解】若，，恒成立，
即恒成立，
所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解，
故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致），
又，故，
，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：4
17．(1)的最大值为3，此时；
(2)3
【分析】（1）设，故，代入中，，设，根据二次函数根的分布得到不等式，求出，进而得到的最大值为3，代入，求出；
（2）设，由于，，故，将代入等式中得，根据根的判别式得到，验证当时满足要求，从而得到最大值.
【详解】（1）设，故，
，
即，
令，开口向上，
则，
要想在上有解，
则要或，
由得，
由，即，解得，
综上，，故的最大值为3，此时，解得.
（2）设，由于，，故，
将代入中，得
，即，
，，
要想方程在上有解，需要，解得，
又，故，
当时，，
解得，此时，符合要求，
故的最大值为3.
【点睛】关键点点睛：设，故，转化为关于的一元二次方程，结合根的分布与二次函数图象，得到不等式，求出最值；设，转化为的解问题，利用根的判别式得到不等式，求出答案.
18．
【分析】法一：采用特殊值探路，再证明结论即可；法二：利用三角换元，设,，再设，求出的范围，再将转化为关于的式子，最后根据函数单调性即可求出最值.
【详解】法一：由题意知，由，对称，不妨设代入可得，
下证：．
事实上因为①，当且仅当等号成立，
②，当且仅当时等号成立，
①②得，即，
故的最大值为．
法二：因为，则设,，
，因为，则，
则，则，
则
，
易知函数在上单调递减，
则，
则，则的最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而求出通项公式；
（2）根据等比数列求和公式得到，换元后，利用函数单调性求出最大值.
【详解】（1）由题意得，
设公比为，若，此时，此时不满足；
若，则，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
（2），故，
所以，
令，
由对勾函数可知在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
故. 数列的最大项为
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