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函数的单调性重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
3．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
6．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的，都有，若，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．不等式的解集为
12．已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的最小值为
C．为R上的增函数
D．关于x的不等式的解集为
13．已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ．
16．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
四、解答题
17．已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2．
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求的取值范围．
18．已知函数．
(1)当时，的最小值为1，求的值；
(2)在（1）的条件下，求满足且的的取值集合；
(3)函数在区间和上均单调递增，求实数的取值范围．
19．已知函数，
(1)当时，解不等式；
(2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D B C A D B D
题号 11 12 13
答案 BC ACD AD
1．A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.
【详解】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.
故选：A．
2．C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
3．B
【分析】由函数的对称性、单调性即可列出不等式求解.
【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，
又在上单调递增，，
所以，解得．
故选：B．
4．D
【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项.
【详解】由，得到对称轴为，则，
而，又在上单调递减，
则，得.
故选：D
5．B
【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性.
【详解】根据题意，，有，即，若存在奇偶性，
则定义域对称，必然有，即，
此时，则，则为奇函数.
故选：B．
6．C
【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
7．A
【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为开口向下，对称轴为，
可知内层函数在区间上单调递增，
当，；当，；
可知，
又因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误；
对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误.
故选：A.
8．D
【分析】由题意得在区间上单调递增，所以可将不等式转换为即可求解.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，因为，，
所以，所以，
即或，解得或，
所以a的取值范围是.
故选：D.
9．B
【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称，
所以为奇函数.
令，则，所以为偶函数，
对于，有，所以在上单调递增，
所以在上单调递减.
由，得，，
当时，变形为，即，解得；
当时，变形为，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构造函数，利用函数的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关键.
10．D
【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，因为，则函数关于直线对称，
由，则函数关于点对称，
所以，所以得，
则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，
因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：
令，由，所以，
且，
令，由，由得，
所以，
根据对称性，在单调递减，而，所以，
因为函数的周期为，
所以，故A不正确；
对于B，由于，，在单调递减，
所以，所以，故B不正确；
对于C，又，，
根据图象在上单调递增，
所以，故C不正确；
对于C，，且，因为，
所以，故，
因为在上单调递减，所以，故D正确．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.
11．BC
【分析】利用赋值法求解判断AB；根据单调性的定义判断C;根据函数的单调性解不等式判断D
【详解】对于A，令x为任意实数，则，
∵是非常值函数，∴，故A错误；
对于B，令x为任意实数，，得，
令，∴，故B正确；
对于C，∵，
当时，，∴，∴当，，
∴对任意恒成立，
任取，则，即，
所以在上单调递减，故C正确；
对于D，令，得，
令，得，
再由可知，
又∵在上单调递减，∴不等式等价于，
解得或，故D错误.
故选：BC
12．ACD
【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解.
【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确；
对于B，令，则，，假设存在使得，
对任意实数x，有，
此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误；
对于C，由，得，
，且，则，又当时，，则，
又恒成立，因此
，
即，因此为R上的增函数，C正确；
对于D，，则，
，不等式
，令，由，即，
解得或，即或，而为R上的增函数，，
于是或，不等式的解集为，D正确.
故选：ACD
13．AD
【分析】应用赋值法得到时，；构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】由题意，，.
赋值，得；
赋值，得，即，
当时，，
当时，则，所以，即；
所以，A正确，
取，则，，显然不成立，B错，
赋值，得，解得，
即；
由，，
得，
其中由，可知，
当时，，即；
当时，，即；故C错误；
，得；
又，所以，
则，
故，且不恒为，故D正确.
故选：AD.
14．(答案不唯一)
【分析】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意.
【详解】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，所以，即可以是，
故答案为：(答案不唯一).
15．
【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围.
【详解】由函数的图象关于中心对称，则.
又因为在上单调递减，所以时，，
且在上单调递减，且，可得在上单调递减.
又因为，所以可得，
则，得.
故答案为：.
16．
【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可.
【详解】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，
解得．
故答案为：
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）求导，并得到，求出；
（2）求导，由得，令，解得或，结合函数单调性得到，解得，从而；
（3）由方程的根得到，整理后，对照系数得到，从而得到，由（2）知，，从而求出的取值范围是．
【详解】（1）由已知可得．
因为在上是增函数，在上是减函数，
故0为的极大值点，所以，解得；
（2）由（1）可知，则．
依题意可得，即，故．
令，解得或．
因为在上是增函数，在上是减函数，所以，解得，
所以．
（3）因为，，2是方程的3个实数根，
所以，
所以，
所以，所以，
所以
．
，，，
，
，即，
的取值范围是．
18．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由x的取值范围，进而求出的取值范围，利用余弦函数的单调性即可求得结果.
（2）令，得到，表示出解集的通式，再分别令k等于不同的整数，即可求出结果.
（3）先求出函数的单调递增区间，再让区间和分别是单调增区间的子区间即可求得结果.
【详解】（1）因为， ，在上单调递减，
在，上单调递增，，，．
（2）由（1）知，，，
，，解得，或，，
因为，当 时；当时，或；当时，．
故的取值集合为．
（3）由，得，
即函数的单调递增区间为．
当 时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为．
又函数在区间 和 上均单调递增，
，解得．
的取值范围为．
19．(1)；
(2)
【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集；
根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解.
【详解】（1）当时，函数，
函数是和都是R上的减函数，所以为减函数，
所以不等式等价于，
解得或，
即原不等式解集为．
（2）由于是偶函数，则，
代入化简得，解得，
令，，则，
所以在上有解，，
因为函数在上严格增，所以，
解得，故的取值范围为．
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