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四川省德阳市绵竹市2025年中考第二次诊断考试数学试题
1．（2025·绵竹模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·绵竹模拟）下列各数中最小的数是（　　）
A． B．3 C．0 D．
3．（2025·绵竹模拟）下列计算不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绵竹模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·绵竹模拟）下列事件是必然事件的是（　　）
A．明天我市有雨
B．打开电视机，它正在播广告
C．你的年龄比你亲生父亲年龄小
D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月
6．（2025·绵竹模拟）学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（　　）
A．9.9元 B．10.9元 C．11元 D．11.2元
7．（2025·绵竹模拟）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树.请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·绵竹模拟）已知的三边，，满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．（2025·绵竹模拟）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（　　）
A．13 B． C． D．11
10．（2025·绵竹模拟）如图，中，，，，是的外接圆，为圆上一点，连接且，过点作的切线与的延长线交于点，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
11．（2025·绵竹模拟）如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·绵竹模拟）二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
13．（2025·绵竹模拟）若m+2n﹣3＝0，则3m 9n＝　 　．
14．（2025·绵竹模拟）国产动画片《哪吒之魔童闹海》火遍全球，目前票房收入达亿元，将数据亿元用科学记数法表示为　 　元．
15．（2025·绵竹模拟）关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是　 　.
16．（2025·绵竹模拟）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是　 　．
17．（2025·绵竹模拟）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为　 　．
18．（2025·绵竹模拟）如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是　 　．
19．（2025·绵竹模拟）计算：．
20．（2025·绵竹模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·绵竹模拟）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°；
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
22．（2025·绵竹模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
23．（2025·绵竹模拟）如图，在中，，过点A作的平行线与的平分线交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，求的长．
24．（2025·绵竹模拟）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
25．（2025·绵竹模拟）已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，且，求的长．
26．（2025·绵竹模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
【分析】
由于圆锥的主视图和左视图都是形状与大小相同的等腰三角形．而俯视图是带圆心的圆.
2．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数是，
故选：A．
【分析】
有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，负数比较大小，绝对值大的反而小．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算正确，故不符合题意；
B、，原计算错误，故符合题意；
C、，原计算正确，故不符合题意；
D、，原计算正确，故不符合题意．
故选：B．
【分析】
A、算术平方根的积等于积的算术平方根；
B、两个自然数的平方和的算术平方根不等于这两个自然数的和；
C、二次根式的加减运算，只有同类二次根式可以合并，方法类似于合并同类项；
D、分母有理化，利用分式的基本性质化分母为有理数．
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：明天我市有雨为随机事件，故A不符合题意；
打开电视机，它正在播广告为随机事件，故B不符合题意；
你的年龄比你亲生父亲年龄小为必然事件，故C符合题意；
中秋节的晚上，我们都能看见圆月为随机事件，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据事件的分类，对四个事件分析，作出判断．
6．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】由扇形统计图，知当天10元价位的午餐销售占比为40%，因此当天学生购买午餐的平均费用是（元），
故选：B．
【分析】
直接利用加权平均数的计算公式即可．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设乌鸦有x只，树有y棵，根据三个坐一棵，五个地上落可得：；根据五个坐一棵，闲了一棵树可得：，联立就可得到方程组.
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三边，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三边，
，
，
的形状为等腰三角形，
故选：C．
【分析】
由三角形三边关系可知，则原等式可变形为，即有，即可判断的形状．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
由于坡比已知，可解先求出BF的长，再利用勾股定理即可．
10．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线
∴，即
∵AB是直径
∴
∵中，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
【分析】
因为AB是直径，由圆周角定理知，解可得，则，由于弦CD=BC，则等弦所对的圆周角相等，即，从而可得，则OC//AE，再由切线的性质可得，再解即可．
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
由作图可知平分，
，
是等边三角形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，，
，
，
解得：，
，
故选：C．
【分析】
如图，连接，过点作交的延长线于点，则由基本尺规作图过程可知AH平分，MN垂直平分DH，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得BH=BA=2，HK=DK，此时可设，则HK可表示，再由平行四边形的对边平行可得，解可分别表示出CJ和KJ，再在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数（）的图像与轴交于点，
对称轴为直线．
，
，则，
∵或，故①不符合题意；
对称轴为直线．
顶点坐标为：，即，
过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
若，由于二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点为；
把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线
（）；
如图，
因为的解集即不等式为：，
的解集为：，
即关于的不等式的解集为；故③符合题意；
当，实数时，，如图，
点，中点与对称轴的距离较近，
．故④符合题意；
故选：B．
【分析】
由于二次函数（）的对称轴为直线，则结合已知得，所以，但由于抛物线开口方向未知，因此无法判断的正负，即不一定小于0，故 ① 不符合题意；
由于抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，因为，即顶点为，则过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
由图形的平移规律知把抛物线向左平移1个单位长度可得抛物线，则当时不等式即的解集为，则不等式的解集为，故③符合题意；
若，则抛物线开口向下，即抛物线上的点到对称轴的距离越大则函数值越小，所以点与对称轴的距离较近，可得，故④符合题意．
13．【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵m+2n﹣3＝0，
∴m+2n=3，
∴3m 9n＝3m 32n=3 m +2n=33=27，
故答案是：27．
【分析】
先移项求出m+2n=3，再利用幂的乘方的逆运用和同底数幂的乘法即可．
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差.
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：关于的分式方程的两边都乘以得，
，
解得，
由于关于的分式方程的解是非负数，
，
即，
又因为分式方程的增根是，
当时，即，
解得，
的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】
先把a看作常数，再去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再根据解的取值范围求出a的取值范围，另注意在该取值范围内是否存在使分式方程出现增根的值，若存在还应排除掉这个值．
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
，
解得：，
当时
（），
故答案为：．
【分析】
先设，再利用待定系数法求出函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
点是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
阴影的面积，
故答案为：．
【分析】
如图所示，设扇形的半径A`O`交弧AB于点M，连接，由点是的中点可得，再由勾股定理可得，再依次求出，和，最后再利用割补法即可求出阴影部分面积．
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
故答案为：．
【分析】
如图所示，由于正方形的一条对角线平分一组对角，即，又AD=CD，则有，则；又因为AE=DF，则有，则，等量代换得，则有，即点H在以AB为直径的圆上运动，可取AB中点O，连接OH、OD，利用勾股定理可得，显然当O、H、D三点共线时DH最小，即最小值为OD与OH的差．
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后再依次计算即可．
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分别分解因式并约分化简，最后把所给数值代入计算．
21．【答案】（1）300，54
（2）解：C等级人数为（人），
（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
男 女，男 女，男 女，男
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，54；
【分析】
（1）观察频数分布直方图和扇形统计图，可根据B组人数除以B组的占比，即可求出抽查的学生人数，用乘以“E”组人数的占比即可求出“E”组所对应的圆心角度数．
（2）先求出C等级人数，再用总体乘以C等级人数占比即可．
（3）两步试验可利用画树状图或列表格法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，54；
（2）C等级人数为（人），
（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）根据题意，列表如下：
　 女 女 女 男
女 　 女，女 女，女 男，女
女 女，女 　 女，女 男，女
女 女，女 女，女 　 男，女
男 女，男 女，男 女，男 　
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
22．【答案】（1）解：∵点在 反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴B（-1，4）.
∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
根据图象可知，在A与B之间满足要求，在y轴的右侧也满足要求，
∵点，B（-1，4），
∴ 不等式的解集为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出B点的坐标，然后利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分，再写出不等式的解集．
23．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，菱形中，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
的长为3．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）由角平分的概念可得，由平行线的性质得，等量代换得，所以AD=AB，再等量代换得AD与BC平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，又AB=CB，则平行四边形ABCD是菱形；
（2）由于菱形的对角线互相平分，则OE是斜边BD上的中线，即，由于菱形的四边相等，则，此时可设，则，由勾股定理可表示出DE2，再在中应用勾股定理即可．
24．【答案】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设A种冰箱贴的单价是a元，则B种冰箱贴的单价是元，再根据等量关系“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个，再根据不等关系“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，可得出W是关于x的一次函数，最后根据一次函数的增减性求解即可.
（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．
根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
25．【答案】（1）证明：如图，过点D作于F；
为的切线，
，
，
平分，，
，
与相切；
（2）证明：在和中，
，
（），
，
为的切线，与相切，
，
，
即；
（3）解：由（2）可知，，
，
，
设，，
，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此可过点D作于点F，因为即，由角平分线的性质定理可得，即AC是的切线；
（2）因为DC=DE、DF=DB，则由可判定，由全等三角形的性质得，再由切线长定理可得AB=AF，再等量代换即可；
（3）由于已知，等量代换得，设，则，由勾股定理得，则、、可得，再利用两角对应相等可证，由相似比可得，则可得，再由勾股定理得即可．
26．【答案】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
点的坐标为，
将代入，解得：，
．
抛物线的解析式为．
对称轴为直线，
将代入，得：．
顶点的坐标为；
（2）解：，，
直线的解析式为：．
点在抛物线上，且位于直线下方，
设，其中，．
如图所示，作轴，交于点，
．
．
，，，
．
．
整理可得：，其中．
，
当时，取得最大值．
将代入，得：，
此时点的坐标为；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，
则，．
在中，．
随着点的运动，总有．
．
要使得取得最小值，
即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，
此时，，，
，
，．
．
．
．
存在最小值，最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法先求出解析式，则顶点坐标也可求；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征设，再过点P作轴，交于点，此时可利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M的坐标也可表示，即线段的长度可表示，再利用铅直法求三角形面积可表示出的面积是关于字母的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）由于所求线段和中存在特殊角的三角函数值，因此可通过构造含角的直角三角形来表示出，此时可将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，则当A、Q、N三点共线时，取得最小值，即解即可．
（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
点的坐标为，
将代入，解得：，
．
抛物线的解析式为．
对称轴为直线，
将代入，得：．
顶点的坐标为；
（2）解：，，
直线的解析式为：．
点在抛物线上，且位于直线下方，
设，其中，．
如图所示，作轴，交于点，
．
．
，，，
．
．
整理可得：，其中．
，
当时，取得最大值．
将代入，得：，
此时点的坐标为；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，
则，．
在中，．
随着点的运动，总有．
．
要使得取得最小值，
即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，
此时，，，
，
，．
．
．
．
存在最小值，最小值为．
1 / 1四川省德阳市绵竹市2025年中考第二次诊断考试数学试题
1．（2025·绵竹模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
【分析】
由于圆锥的主视图和左视图都是形状与大小相同的等腰三角形．而俯视图是带圆心的圆.
2．（2025·绵竹模拟）下列各数中最小的数是（　　）
A． B．3 C．0 D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数是，
故选：A．
【分析】
有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，负数比较大小，绝对值大的反而小．
3．（2025·绵竹模拟）下列计算不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算正确，故不符合题意；
B、，原计算错误，故符合题意；
C、，原计算正确，故不符合题意；
D、，原计算正确，故不符合题意．
故选：B．
【分析】
A、算术平方根的积等于积的算术平方根；
B、两个自然数的平方和的算术平方根不等于这两个自然数的和；
C、二次根式的加减运算，只有同类二次根式可以合并，方法类似于合并同类项；
D、分母有理化，利用分式的基本性质化分母为有理数．
4．（2025·绵竹模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．（2025·绵竹模拟）下列事件是必然事件的是（　　）
A．明天我市有雨
B．打开电视机，它正在播广告
C．你的年龄比你亲生父亲年龄小
D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：明天我市有雨为随机事件，故A不符合题意；
打开电视机，它正在播广告为随机事件，故B不符合题意；
你的年龄比你亲生父亲年龄小为必然事件，故C符合题意；
中秋节的晚上，我们都能看见圆月为随机事件，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据事件的分类，对四个事件分析，作出判断．
6．（2025·绵竹模拟）学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（　　）
A．9.9元 B．10.9元 C．11元 D．11.2元
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】由扇形统计图，知当天10元价位的午餐销售占比为40%，因此当天学生购买午餐的平均费用是（元），
故选：B．
【分析】
直接利用加权平均数的计算公式即可．
7．（2025·绵竹模拟）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树.请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设乌鸦有x只，树有y棵，根据三个坐一棵，五个地上落可得：；根据五个坐一棵，闲了一棵树可得：，联立就可得到方程组.
8．（2025·绵竹模拟）已知的三边，，满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三边，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三边，
，
，
的形状为等腰三角形，
故选：C．
【分析】
由三角形三边关系可知，则原等式可变形为，即有，即可判断的形状．
9．（2025·绵竹模拟）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（　　）
A．13 B． C． D．11
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
由于坡比已知，可解先求出BF的长，再利用勾股定理即可．
10．（2025·绵竹模拟）如图，中，，，，是的外接圆，为圆上一点，连接且，过点作的切线与的延长线交于点，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线
∴，即
∵AB是直径
∴
∵中，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
【分析】
因为AB是直径，由圆周角定理知，解可得，则，由于弦CD=BC，则等弦所对的圆周角相等，即，从而可得，则OC//AE，再由切线的性质可得，再解即可．
11．（2025·绵竹模拟）如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
由作图可知平分，
，
是等边三角形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，，
，
，
解得：，
，
故选：C．
【分析】
如图，连接，过点作交的延长线于点，则由基本尺规作图过程可知AH平分，MN垂直平分DH，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得BH=BA=2，HK=DK，此时可设，则HK可表示，再由平行四边形的对边平行可得，解可分别表示出CJ和KJ，再在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
12．（2025·绵竹模拟）二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数（）的图像与轴交于点，
对称轴为直线．
，
，则，
∵或，故①不符合题意；
对称轴为直线．
顶点坐标为：，即，
过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
若，由于二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点为；
把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线
（）；
如图，
因为的解集即不等式为：，
的解集为：，
即关于的不等式的解集为；故③符合题意；
当，实数时，，如图，
点，中点与对称轴的距离较近，
．故④符合题意；
故选：B．
【分析】
由于二次函数（）的对称轴为直线，则结合已知得，所以，但由于抛物线开口方向未知，因此无法判断的正负，即不一定小于0，故 ① 不符合题意；
由于抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，因为，即顶点为，则过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
由图形的平移规律知把抛物线向左平移1个单位长度可得抛物线，则当时不等式即的解集为，则不等式的解集为，故③符合题意；
若，则抛物线开口向下，即抛物线上的点到对称轴的距离越大则函数值越小，所以点与对称轴的距离较近，可得，故④符合题意．
13．（2025·绵竹模拟）若m+2n﹣3＝0，则3m 9n＝　 　．
【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵m+2n﹣3＝0，
∴m+2n=3，
∴3m 9n＝3m 32n=3 m +2n=33=27，
故答案是：27．
【分析】
先移项求出m+2n=3，再利用幂的乘方的逆运用和同底数幂的乘法即可．
14．（2025·绵竹模拟）国产动画片《哪吒之魔童闹海》火遍全球，目前票房收入达亿元，将数据亿元用科学记数法表示为　 　元．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差.
15．（2025·绵竹模拟）关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是　 　.
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：关于的分式方程的两边都乘以得，
，
解得，
由于关于的分式方程的解是非负数，
，
即，
又因为分式方程的增根是，
当时，即，
解得，
的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】
先把a看作常数，再去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再根据解的取值范围求出a的取值范围，另注意在该取值范围内是否存在使分式方程出现增根的值，若存在还应排除掉这个值．
16．（2025·绵竹模拟）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
，
解得：，
当时
（），
故答案为：．
【分析】
先设，再利用待定系数法求出函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可．
17．（2025·绵竹模拟）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
点是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
阴影的面积，
故答案为：．
【分析】
如图所示，设扇形的半径A`O`交弧AB于点M，连接，由点是的中点可得，再由勾股定理可得，再依次求出，和，最后再利用割补法即可求出阴影部分面积．
18．（2025·绵竹模拟）如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
故答案为：．
【分析】
如图所示，由于正方形的一条对角线平分一组对角，即，又AD=CD，则有，则；又因为AE=DF，则有，则，等量代换得，则有，即点H在以AB为直径的圆上运动，可取AB中点O，连接OH、OD，利用勾股定理可得，显然当O、H、D三点共线时DH最小，即最小值为OD与OH的差．
19．（2025·绵竹模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后再依次计算即可．
20．（2025·绵竹模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分别分解因式并约分化简，最后把所给数值代入计算．
21．（2025·绵竹模拟）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°；
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）300，54
（2）解：C等级人数为（人），
（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
男 女，男 女，男 女，男
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，54；
【分析】
（1）观察频数分布直方图和扇形统计图，可根据B组人数除以B组的占比，即可求出抽查的学生人数，用乘以“E”组人数的占比即可求出“E”组所对应的圆心角度数．
（2）先求出C等级人数，再用总体乘以C等级人数占比即可．
（3）两步试验可利用画树状图或列表格法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，54；
（2）C等级人数为（人），
（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）根据题意，列表如下：
　 女 女 女 男
女 　 女，女 女，女 男，女
女 女，女 　 女，女 男，女
女 女，女 女，女 　 男，女
男 女，男 女，男 女，男 　
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
22．（2025·绵竹模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵点在 反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴B（-1，4）.
∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
根据图象可知，在A与B之间满足要求，在y轴的右侧也满足要求，
∵点，B（-1，4），
∴ 不等式的解集为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出B点的坐标，然后利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分，再写出不等式的解集．
23．（2025·绵竹模拟）如图，在中，，过点A作的平行线与的平分线交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，菱形中，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
的长为3．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）由角平分的概念可得，由平行线的性质得，等量代换得，所以AD=AB，再等量代换得AD与BC平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，又AB=CB，则平行四边形ABCD是菱形；
（2）由于菱形的对角线互相平分，则OE是斜边BD上的中线，即，由于菱形的四边相等，则，此时可设，则，由勾股定理可表示出DE2，再在中应用勾股定理即可．
24．（2025·绵竹模拟）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设A种冰箱贴的单价是a元，则B种冰箱贴的单价是元，再根据等量关系“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列分式方程并求解即可；
（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个，再根据不等关系“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，可得出W是关于x的一次函数，最后根据一次函数的增减性求解即可.
（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．
根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
25．（2025·绵竹模拟）已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，且，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点D作于F；
为的切线，
，
，
平分，，
，
与相切；
（2）证明：在和中，
，
（），
，
为的切线，与相切，
，
，
即；
（3）解：由（2）可知，，
，
，
设，，
，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此可过点D作于点F，因为即，由角平分线的性质定理可得，即AC是的切线；
（2）因为DC=DE、DF=DB，则由可判定，由全等三角形的性质得，再由切线长定理可得AB=AF，再等量代换即可；
（3）由于已知，等量代换得，设，则，由勾股定理得，则、、可得，再利用两角对应相等可证，由相似比可得，则可得，再由勾股定理得即可．
26．（2025·绵竹模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
点的坐标为，
将代入，解得：，
．
抛物线的解析式为．
对称轴为直线，
将代入，得：．
顶点的坐标为；
（2）解：，，
直线的解析式为：．
点在抛物线上，且位于直线下方，
设，其中，．
如图所示，作轴，交于点，
．
．
，，，
．
．
整理可得：，其中．
，
当时，取得最大值．
将代入，得：，
此时点的坐标为；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，
则，．
在中，．
随着点的运动，总有．
．
要使得取得最小值，
即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，
此时，，，
，
，．
．
．
．
存在最小值，最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法先求出解析式，则顶点坐标也可求；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征设，再过点P作轴，交于点，此时可利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M的坐标也可表示，即线段的长度可表示，再利用铅直法求三角形面积可表示出的面积是关于字母的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）由于所求线段和中存在特殊角的三角函数值，因此可通过构造含角的直角三角形来表示出，此时可将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，则当A、Q、N三点共线时，取得最小值，即解即可．
（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
点的坐标为，
将代入，解得：，
．
抛物线的解析式为．
对称轴为直线，
将代入，得：．
顶点的坐标为；
（2）解：，，
直线的解析式为：．
点在抛物线上，且位于直线下方，
设，其中，．
如图所示，作轴，交于点，
．
．
，，，
．
．
整理可得：，其中．
，
当时，取得最大值．
将代入，得：，
此时点的坐标为；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，
则，．
在中，．
随着点的运动，总有．
．
要使得取得最小值，
即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，
此时，，，
，
，．
．
．
．
存在最小值，最小值为．
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