资源简介

广西梧州市苍梧县2025年初中学业水平考试适应性数学测试
1．（2025·苍梧模拟）8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C． D．﹣
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵8×=1，
∴8的倒数是，
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”进行求解．
2．（2025·苍梧模拟）一元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：移项，得，
合并同类项，得，
故答案为：C．
【分析】利用解一元一次方程的步骤，先移项，再合并同类项即可求解．
3．（2025·苍梧模拟）下列无理数在3和4之间的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∵
，
∴在3和4之间的是，
故答案为：C．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出，从而即可逐项判断得出答案.
4．（2025·苍梧模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、，故此选项原计算正确，符合题意；
C、，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘，作为积的因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此计算可判断B选项；利用那个乘法分配律，用括号外的2与括号内的每一项都相乘，再把所得的积相加，据此可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．（2025·苍梧模拟）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．（2025·苍梧模拟）如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】本先利用邻补角定义求出∠4=80°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠2-∠1，从而即可得出答案.
7．（2025·苍梧模拟）一元二次方程的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2-5x+3=0中，a=2，b=-5，c=3，
∴△=b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此求解即可.
8．（2025·苍梧模拟）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（　　）
甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求．
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：甲：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，故甲的方案正确；
乙：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线，故乙的方案正确；
丙：∵，
∴，
∵，
∴，
不能证明，得不到是的平分线，故丙的方案不正确；
综上所述，只有甲、乙正确.
故答案为：A ．
【分析】甲：根据二直线平行，内错角相等得到∠CPO=∠POB，根据等边对等角得到∠CPO=∠COP，则∠COP=∠BOP，由此即可求解；乙：根据作图过程，可用SAS判断出△CON≌△DOM，由全等三角形的对应角相等得，由等量减去等量差相等推出MC=DN，从而结合对顶角相等，可用AAS判断出△PCM≌△PDN，由全等三角形的对应边相等得CP=DP，然后用SAS判断出△OCP≌△ODP，由全等三角形的对应角相等得∠COP=∠DOP，即可求解；丙：条件不足，不能证明△OMP≌△ONP，得不到OP是∠AOB的平分线，即可求解．
9．（2025·苍梧模拟）已知某蓄电池的电压（单位：）为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设，
将点代入得：，
∴蓄电池的电压是，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数定义可设，然后将(9，4)代入算出U的值即可.
10．（2025·苍梧模拟）如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（　　）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦AB的长为4，
∴，∠OEA=90°，
在中，，
∴由勾股定理可得．
故答案为：C．
【分析】根据垂直弦的直径平分弦可得AE=BE=AB=2，然后利用勾股定理算出OE即可.
11．（2025·苍梧模拟）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵原几何体的左视图为：，
去掉①小正方体后的左视图为：，
去掉②～⑤中任意一个小正方体后的左视图为：
∴去掉①小正方体，左视图改变；去掉②～⑤中任意一个小正方体，左视图不变，
∴左视图不发生改变的概率是．
故答案为：D．
【分析】从左面向右面看得到的正投影就是左视图，据此分别找出原几何体的左视图、去掉①小正方体后的左视图、去掉②～⑤中任意一个小正方体后的左视图，发现共有5种等可能的结果数，其中去掉①小正方体，左视图改变；去掉②～⑤中任意一个小正方体，左视图不变，即左视图不改变的共有4种等可能的结果数，从而根据概率公式计算可得答案.
12．（2025·苍梧模拟）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积是(　　)
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵双曲线和的图象关于x轴对称，
∴把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，扇形的圆心角为，半径为2，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
13．（2025·苍梧模拟）的相反数是　 　．
【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：2025．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
14．（2025·苍梧模拟）分解因式： 　 　.
【答案】a（1+x）（1-x）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为a（1+x）（1-x）.
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可.
15．（2025·苍梧模拟）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“万亿”．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
16．（2025·苍梧模拟）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC=，OB＝OD=，AC＝BD，，
∴AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA PE＋OD PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【分析】先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA PE＋OD PF求得答案．
17．（2025·苍梧模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的代数意义、有理数乘法法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及二次根式的性质“”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
18．（2025·苍梧模拟）（1）解不等式：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
（2）
方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，约去分母，
得
整理得
检验，当时，
为原分式方程的根．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤，先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式，然后方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
19．（2025·苍梧模拟）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF．
证明：如图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠1＝∠2，
在△BCE与△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
∴BE＝DF，∠3＝∠4．
∴BE∥DF．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质，根据SAS证明△BCE≌△DAF，再根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠3＝∠4，然后利用平行线的判定可以结论.
20．（2025·苍梧模拟）某线上搜题平台为了解学生使用平台的情况，随机调查了部分学生在一周内打开此平台的次数，并制成不完整的统计图表
打开此平台的次数 1次 2次 3次 4次 5次及以上
人数 25 30 a 18 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求，的值；
（2）上述样本数据的中位数为______；
（3）若该平台共有200000名用户，根据调查结果，估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数．
【答案】（1）解：由题意知：30÷30％=100（人）
（人），
，
；
（2）2
（3）解：（人）
答：估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵一共调查了100个人，
∴中位数为第50个和第51个的平均数，
∵，，
∴第50个和第51个人一周内打开此平台的次数都为2次，
∴中位数；
故答案为：2；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用一周内打开此平台的次数为2次的人数除以其占比，可求出本次调查的总人数，进而用本次调查的总人数分别减去一周内打开此平台次数为1、2、4、5次及以上的人数即可求出一周内打开此平台次数为3次的人数a的值；用一周内打开此平台次数为4次的人数除以本次调查的总人数可求出一周内打开此平台次数为4次的人数所占的百分比，得到b的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该平台共有用户数乘以一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数所占百分比，即可估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数.
（1）解：由题意知：（人）
（人），
，
；
（2）解：∵一共调查了100个人，
∴中位数为第50个和第51个的平均数，
∵，，
∴第50个和第51个人一周内打开此平台的次数都为2次，
∴中位数；
（3）解：（人）
答：估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数为人．
21．（2025·苍梧模拟）如图，在中，，，是的直径，交于点，于点，交于点，连接，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，，
是直径，
，
又，
，
又OA=OB，
为的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）解：由（1）可知：四边形是矩形，，
四边形也是正方形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，在中，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接AD，OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形三角形的三线合一得CD=BD，由三角形的中位线平行于第三边得OD∥AC，由二直线平行，内错角相等可得∠EDO=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形AODE是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形AODE是正方形，得AO=AE，由直径所对的圆周角是直角得∠AFB=90°，再由同角的余角相等得∠EAP=∠ABE，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义可求出PE=1，然后利用勾股定理可计算出AP．
（1）证明：连接，，
是直径，
，
，
垂直平分，即，
为的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）解：由（1）可知：四边形是矩形，，
四边形也是正方形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，在中，
，
，
．
22．（2025·苍梧模拟）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
（2）如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
【答案】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：；
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数为零，故设所求抛物线的解析式为y=ax2+c，将点A、C的坐标分别代入可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法求出直线OA的解析式为，联立直线OA与抛物线的解析式求解得出点E点坐标，根据对称得到点F的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式列式计算即可；
（3）根据抛物线的平移规律“左加右减自变量”，设平移后的抛物线解析式为，令该抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得此时抛物线与轴的交点，由于平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，从而根据等底三角形面积之间得关系就是对应底上高的关系，结合，即可得到，据此建立方程.
（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
23．（2025·苍梧模拟）如图1，在中，点、分别是与的中点，可得，且．
［初步感知］（1）如图2，在中，，，、是的中线，并相交于点，、分别是和上的点，且，求的长；
［尝试应用］（2）如图3，在中，、分别是、的中点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，连接、，若，求的值；
［拓展运用］（3）如图4，在等边三角形中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，是的中点，连接、．若，，求的值．
【答案】解：（1）如图，连接，
，，
，
、是的中线，
、分别为、的中点，即是中位线，
，，
又，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，，
，
，
由旋转得：，
，
；
（3）如图，当时，
是等边三角形，，
，
是的中点，
，
，
，
，
；
如图，当与不平行时，过点作，交的延长线于点，
，
，
是的中位线，
，
由旋转得：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
综上述，或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接DE，在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC，由三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半，得DE∥AC，；由两组边对应成比例其夹角相等的三角形相似得△MGN∽△DGE，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出MN的长；
（2）由题意可得BC=2AB，由勾股定理得到，由两组边对应成比例其夹角相等的三角形相似得△ABD∽△ACE，进而根据相似三角形对应边成比例可求出答案；
（3）分两种情况讨论：当CF∥DE时，利用平行线分线段成比例定理，得到CD=BC=8，即可求出CF的长；当CF与DE不平行时，过点E作GE∥CF，交BD的延长线于点G，利用平行线分线段成比例定理，得到CG=BC=8，由三角形中位线定理得CF=GE，再由旋转的性质得DE=CD，∠CDE=120°，结合已知推出DE=GE，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DEG是等边三角形，由等边三角形的三边相等得GE=GD=DE=CD=CG=4，即可求出CF的长，综上即可得出答案.
1 / 1广西梧州市苍梧县2025年初中学业水平考试适应性数学测试
1．（2025·苍梧模拟）8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C． D．﹣
2．（2025·苍梧模拟）一元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·苍梧模拟）下列无理数在3和4之间的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·苍梧模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·苍梧模拟）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·苍梧模拟）如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·苍梧模拟）一元二次方程的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2025·苍梧模拟）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（　　）
甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求．
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
9．（2025·苍梧模拟）已知某蓄电池的电压（单位：）为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·苍梧模拟）如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（　　）
A． B．4 C．2 D．
11．（2025·苍梧模拟）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·苍梧模拟）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积是(　　)
A．4π B．3π C．2π D．π
13．（2025·苍梧模拟）的相反数是　 　．
14．（2025·苍梧模拟）分解因式： 　 　.
15．（2025·苍梧模拟）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为　 　．
16．（2025·苍梧模拟）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　．
17．（2025·苍梧模拟）计算：
18．（2025·苍梧模拟）（1）解不等式：
（2）解方程：
19．（2025·苍梧模拟）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
20．（2025·苍梧模拟）某线上搜题平台为了解学生使用平台的情况，随机调查了部分学生在一周内打开此平台的次数，并制成不完整的统计图表
打开此平台的次数 1次 2次 3次 4次 5次及以上
人数 25 30 a 18 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求，的值；
（2）上述样本数据的中位数为______；
（3）若该平台共有200000名用户，根据调查结果，估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数．
21．（2025·苍梧模拟）如图，在中，，，是的直径，交于点，于点，交于点，连接，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
22．（2025·苍梧模拟）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
（2）如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
23．（2025·苍梧模拟）如图1，在中，点、分别是与的中点，可得，且．
［初步感知］（1）如图2，在中，，，、是的中线，并相交于点，、分别是和上的点，且，求的长；
［尝试应用］（2）如图3，在中，、分别是、的中点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，连接、，若，求的值；
［拓展运用］（3）如图4，在等边三角形中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，是的中点，连接、．若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵8×=1，
∴8的倒数是，
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”进行求解．
2．【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：移项，得，
合并同类项，得，
故答案为：C．
【分析】利用解一元一次方程的步骤，先移项，再合并同类项即可求解．
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∵
，
∴在3和4之间的是，
故答案为：C．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出，从而即可逐项判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、，故此选项原计算正确，符合题意；
C、，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘，作为积的因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此计算可判断B选项；利用那个乘法分配律，用括号外的2与括号内的每一项都相乘，再把所得的积相加，据此可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】本先利用邻补角定义求出∠4=80°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠2-∠1，从而即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2-5x+3=0中，a=2，b=-5，c=3，
∴△=b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此求解即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：甲：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，故甲的方案正确；
乙：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线，故乙的方案正确；
丙：∵，
∴，
∵，
∴，
不能证明，得不到是的平分线，故丙的方案不正确；
综上所述，只有甲、乙正确.
故答案为：A ．
【分析】甲：根据二直线平行，内错角相等得到∠CPO=∠POB，根据等边对等角得到∠CPO=∠COP，则∠COP=∠BOP，由此即可求解；乙：根据作图过程，可用SAS判断出△CON≌△DOM，由全等三角形的对应角相等得，由等量减去等量差相等推出MC=DN，从而结合对顶角相等，可用AAS判断出△PCM≌△PDN，由全等三角形的对应边相等得CP=DP，然后用SAS判断出△OCP≌△ODP，由全等三角形的对应角相等得∠COP=∠DOP，即可求解；丙：条件不足，不能证明△OMP≌△ONP，得不到OP是∠AOB的平分线，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设，
将点代入得：，
∴蓄电池的电压是，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数定义可设，然后将(9，4)代入算出U的值即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦AB的长为4，
∴，∠OEA=90°，
在中，，
∴由勾股定理可得．
故答案为：C．
【分析】根据垂直弦的直径平分弦可得AE=BE=AB=2，然后利用勾股定理算出OE即可.
11．【答案】D
【知识点】概率公式；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵原几何体的左视图为：，
去掉①小正方体后的左视图为：，
去掉②～⑤中任意一个小正方体后的左视图为：
∴去掉①小正方体，左视图改变；去掉②～⑤中任意一个小正方体，左视图不变，
∴左视图不发生改变的概率是．
故答案为：D．
【分析】从左面向右面看得到的正投影就是左视图，据此分别找出原几何体的左视图、去掉①小正方体后的左视图、去掉②～⑤中任意一个小正方体后的左视图，发现共有5种等可能的结果数，其中去掉①小正方体，左视图改变；去掉②～⑤中任意一个小正方体，左视图不变，即左视图不改变的共有4种等可能的结果数，从而根据概率公式计算可得答案.
12．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵双曲线和的图象关于x轴对称，
∴把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，扇形的圆心角为，半径为2，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
13．【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：2025．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
14．【答案】a（1+x）（1-x）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为a（1+x）（1-x）.
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可.
15．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“万亿”．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
16．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC=，OB＝OD=，AC＝BD，，
∴AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA PE＋OD PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【分析】先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA PE＋OD PF求得答案．
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的代数意义、有理数乘法法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及二次根式的性质“”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：（1）
（2）
方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，约去分母，
得
整理得
检验，当时，
为原分式方程的根．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤，先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式，然后方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
19．【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF．
证明：如图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠1＝∠2，
在△BCE与△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
∴BE＝DF，∠3＝∠4．
∴BE∥DF．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质，根据SAS证明△BCE≌△DAF，再根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠3＝∠4，然后利用平行线的判定可以结论.
20．【答案】（1）解：由题意知：30÷30％=100（人）
（人），
，
；
（2）2
（3）解：（人）
答：估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵一共调查了100个人，
∴中位数为第50个和第51个的平均数，
∵，，
∴第50个和第51个人一周内打开此平台的次数都为2次，
∴中位数；
故答案为：2；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用一周内打开此平台的次数为2次的人数除以其占比，可求出本次调查的总人数，进而用本次调查的总人数分别减去一周内打开此平台次数为1、2、4、5次及以上的人数即可求出一周内打开此平台次数为3次的人数a的值；用一周内打开此平台次数为4次的人数除以本次调查的总人数可求出一周内打开此平台次数为4次的人数所占的百分比，得到b的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该平台共有用户数乘以一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数所占百分比，即可估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数.
（1）解：由题意知：（人）
（人），
，
；
（2）解：∵一共调查了100个人，
∴中位数为第50个和第51个的平均数，
∵，，
∴第50个和第51个人一周内打开此平台的次数都为2次，
∴中位数；
（3）解：（人）
答：估计该平台用户在一周内打开此平台的次数“5次及以上”的人数为人．
21．【答案】（1）证明：连接，，
是直径，
，
又，
，
又OA=OB，
为的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）解：由（1）可知：四边形是矩形，，
四边形也是正方形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，在中，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接AD，OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形三角形的三线合一得CD=BD，由三角形的中位线平行于第三边得OD∥AC，由二直线平行，内错角相等可得∠EDO=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形AODE是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形AODE是正方形，得AO=AE，由直径所对的圆周角是直角得∠AFB=90°，再由同角的余角相等得∠EAP=∠ABE，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义可求出PE=1，然后利用勾股定理可计算出AP．
（1）证明：连接，，
是直径，
，
，
垂直平分，即，
为的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）解：由（1）可知：四边形是矩形，，
四边形也是正方形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，在中，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：；
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数为零，故设所求抛物线的解析式为y=ax2+c，将点A、C的坐标分别代入可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法求出直线OA的解析式为，联立直线OA与抛物线的解析式求解得出点E点坐标，根据对称得到点F的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式列式计算即可；
（3）根据抛物线的平移规律“左加右减自变量”，设平移后的抛物线解析式为，令该抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得此时抛物线与轴的交点，由于平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，从而根据等底三角形面积之间得关系就是对应底上高的关系，结合，即可得到，据此建立方程.
（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
23．【答案】解：（1）如图，连接，
，，
，
、是的中线，
、分别为、的中点，即是中位线，
，，
又，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，，
，
，
由旋转得：，
，
；
（3）如图，当时，
是等边三角形，，
，
是的中点，
，
，
，
，
；
如图，当与不平行时，过点作，交的延长线于点，
，
，
是的中位线，
，
由旋转得：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
综上述，或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接DE，在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC，由三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半，得DE∥AC，；由两组边对应成比例其夹角相等的三角形相似得△MGN∽△DGE，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出MN的长；
（2）由题意可得BC=2AB，由勾股定理得到，由两组边对应成比例其夹角相等的三角形相似得△ABD∽△ACE，进而根据相似三角形对应边成比例可求出答案；
（3）分两种情况讨论：当CF∥DE时，利用平行线分线段成比例定理，得到CD=BC=8，即可求出CF的长；当CF与DE不平行时，过点E作GE∥CF，交BD的延长线于点G，利用平行线分线段成比例定理，得到CG=BC=8，由三角形中位线定理得CF=GE，再由旋转的性质得DE=CD，∠CDE=120°，结合已知推出DE=GE，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DEG是等边三角形，由等边三角形的三边相等得GE=GD=DE=CD=CG=4，即可求出CF的长，综上即可得出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑