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湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷
1．（2025·娄底模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．（2025·娄底模拟）根据教育部教育考试院及官方公布的消息，2024年全国高考报名人数共有1342万人，1342万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．（2025·娄底模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，对四个式子逐一计算后作出判断．
4．（2025·娄底模拟）在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数图象的对称性；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，有两条对称轴。
C选项：二次函数的图象是抛物线，抛物线有条对称轴；
D选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
对称轴条数最少的是反比例函数的图象．
故选：C．
【分析】根据函数图象的对称轴的条数解答即可．
5．（2025·娄底模拟）如图，，于点，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D ．
【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等得到，再利用垂直的定义可得，再根据角的和差解答即可．
6．（2025·娄底模拟）若不等式组无解，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：解，得：，
∵不等式组无解，
∴，，，
令，
∵，
∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大，
当时，，
∴当时，；
故答案为：B．
【分析】求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质即可求出答案.
7．（2025·娄底模拟）如图，直线、与相切，切点分别为，与相交于点，连接交于点，，若，，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设与交于点，如图所示，
∵直线、与相切，切点分别为，与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，DF⊥BF，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，
∴，
在Rt△DBE和Rt△DBF中，
，
∴，
∴，
∴在Rt△DBE中，，，
∴，
∴，
∴，
设半径为，则，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】设与交于点，根据直线、与相切，切点分别为，与相交于点得，，然后证明垂直平分，则，又因为，则，进而可得，即是的平分线，根据角平分线的性质可得，即可证明，进而得，由，，求出，根据勾股定理得到，然后设半径为，则，再根据勾股定理得，代入即可得出答案．
8．（2025·娄底模拟）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，如图所示：
由题意可得：∠COD==60°，OC=OD，
设OC=OD=CD=a，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=，
在Rt△COD中，根据勾股定理可得，OM==，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，根据题意可知，∠COD=60°，OC=OD，设，由勾股定理可得，求出，则，求出，即可得解.
9．（2025·娄底模拟）在中，的对边分别为a、b、c，若，且关于A、B的函数有意义，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；已知某个三角函数值求其他三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：由条件可知：2tanA-tanB≥0，≥0，
∴tanA≥tanB，tanB≥tanA，
∴tanA=tanB，
∵2a=b，，
∴，
∴sinA=sinB，
∵tanA=tanB，
∴
∴，
∴cosA=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴sinB=（负值舍去），
∴∠B=45°，
∵sinA=sinB，
∴sinA=×=，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的条件可知tanA≥tanB，tanB≥tanA，得到，再由，结合正弦定理和三角函数之间的关系，可得出，进而求得，再结合sinA=sinB，可得，进而得出，最后根据三角形的内角和定理求出的度数即可．
10．（2025·娄底模拟）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
取的中点，连接，，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，的值最大为；
故选B．
【分析】过点作，根据等边对等角可得，根据三线合一求出的长，取的中点，连接，过点作，根据三角形的中位线定理得到，即可得到点在以点为圆心的圆上，当三点共线时，最大，根据线段的和差解答即可．
11．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则　 　．
【答案】17
【知识点】二次根式的性质与化简；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：17
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征建立方程，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
12．（2025·娄底模拟）函数的自变量的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
13．（2025·娄底模拟）“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有个字，“贤”字出现了次，
∴“贤”字出现的概率为2÷13=，
故答案为：．
【分析】根据“贤”字出现的次数除以总字数即可.
14．（2025·娄底模拟）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为　 　．
【答案】0或8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=m，
∵，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0
∴x1=x2或x1=-x2，
当时，此方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或；
当时，则x1+x2=m=0，符合题意；
综上所述，的值为0或8，
故答案为：0或8．
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=m，再由可知或，分两种情况：和，根据一元二次方程根的判别式求解即可得出答案．
15．（2025·娄底模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
【分析】过作轴于，设，即可得到，根据菱形的性质得出求得的坐标，即可根据中点坐标得到的坐标，再代入求出的值即可．
16．（2025·娄底模拟）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，
∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，
∴圆锥的母线长为，
∴这个物体的表面积为．
故答案为：.
【分析】先判断该几何体是圆锥，根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出物体的表面积解题．
17．（2025·娄底模拟）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解∶延长至点G，使，连接、、，
∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当D、E、G三点共线时，取最小值为，
在边长为5的正方形中，，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】延长至点G，使，连接、、，利用得到，即可得到，当D、E、G三点共线时，取最小值为，根据勾股定理求出和长解答．
18．（2025·娄底模拟）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由抛物线，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
画出图形如下：
∵与抛物线始终有交点，
∴，
∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，
∴，
联立：，
解得，
∴的取值范围为，
故答案为：．
【分析】得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据题意得到“整点”个数列不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
19．（2025·娄底模拟）计算：．
【答案】解：
=1-（-9）-+2×
=1+9-++
=10．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算即可得出答案.
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：原式=
=
=
=
=，
∵，
∴（x+1）（x+2）=0
∴x=-1或x=-2，
又∵x+2≠0且x-1≠0，
∴x≠-2且x≠1，
∴x=-1，
当x=-1时，原式=.
【知识点】分式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将分式进行化简，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件求得x的值，最后代入求值即可.
21．（2025·娄底模拟）某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：
（1） ，并补全条形统计图；
（2）请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
（3）由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
【答案】（1）解：8；
∵九（1）班成绩为2分的学生人数为：50×36%=18（人），成绩为4分的学生人数为：50-（3+18+10+4）=15（人），
∴补全条形图，如图所示：
（2）解：将九（1）班的成绩按从小到大的顺序排列，第25个数据和第26个数据均为3分，因此中位数为：3分；
九（1）班的成绩平均数=（3×1+18×2+10×3+15×4+5×4）÷50=2.98（分）.
（3）解：根据题意，男生用字母A表示，女生用字母B表示， 随机抽取2人的结果情况列表如下：
　 A B C D
A 　 A，B A，C A，D
B B，A 　 B，C B，D
C C，A C，B 　 C，D
D D，A D，A D，C 　
由此可知，共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴ 恰好选中1男1女的概率为6÷12=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，九（1）班得分为3分所占的百分比为=20%，
∴结合折线图可知，九（1）班的人数为：10÷20%=50（人），
∴九（1）班得分为5分所占的百分比a%=4÷50×100%=8%，
∴a=8，
故答案为：8.
【分析】（1）先根据扇形统计图求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数求出的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据中位数和平均数的定义进行计算即可得出答案；
（3）根据题意，男生用字母A表示，女生用字母B表示，列出表格，利用概率公式进行计算即可得出答案．
（1）解：九（1）班的人数为：，
∴，
∴；
成绩为2分的学生人数为：，
∴成绩为4分的学生人数为：；
补全条形图如图：
（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
平均数为：（分）；
（3）用表示男生，表示女生，列表如下：
A B C D
A
A，B A，C A，D
B B，A
B，C B，D
C C，A C，B
C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴．
22．（2025·娄底模拟）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
（1）求小山的高度；
（2）求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
【答案】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（）根据坡度得出，然后根据正弦的定义解答即可；
（）过点作于点，即可得到是矩形，在中利用勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出EG长，在中，利用正切求出FD长，再根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
23．（2025·娄底模拟）冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．
（1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？
（2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）
【答案】（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件
（2）解：设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设鸭绒服的单价为每件元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进鸭绒服件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出的取值范围，设总利润为，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元；
（2）设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
24．（2025·娄底模拟）如图，点A在以为直径的上，的角平分线与交于点D，与交于点E，过点C作的平行线交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若与相切，，求的长度．
【答案】（1）解：∵CF∥AB，
∴∠ABD=∠BFC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBF，
∴∠BFC=∠CBF，
∴BC=CF，
∵BC是的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BF，
∴BD=DF.
（2）解：连接AO并延长，交与点G，连接DG，如图所示：
∴∠OAF=∠OAC+∠CAF=90°，
∵BC是的直径，
∴∠CAB=∠OAB+∠CAO=90°，
∴∠CAF=∠OAB，
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠CAF=∠OBA，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
∴△BAC∽△CAF（AA），
∴，
由（1）可知：BC=CF，
∴，
∴BC2=CF2=AF·AC=-4+，
设AF=x，
在Rt△ACF中，AC===，
∴x=-4+，
∴，
解得：x2=8或x2=-12，
∴x=，
即AF=，
∵AG是的直径，
∴∠ADG=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，
∵∠OAF=∠OAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠AGD，
∵∠ABD=∠AGD，
∴∠DAF=∠ABD，
∵∠AFB=∠AFD，
∴△AFB∽△DFA（AA），
∴，
∴AF2=DF·FB=8，
由（1）可知，BD=DF，
∴BF=2DF，
∴DF·FB=DF·2DF=2DF2=8，
∴DF2=4，DF=2，
在Rt△CDF中，由勾股定理可知，CD2=CF2-DF2=-4+-4= -8，
∵CF∥AB，
∴∠DBA=∠CFB，
∵∠DBA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CFE，
∵∠CDE=∠CDF，
∴△CED∽△FCD（AA），
∴，
∴CD2=DF·DE，
∴ -8=2DE，
∴DE=.
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据圆周角定理可得出CD⊥BF，最后根据等腰三角形三线合一即可得出结论；
（2）连接AO并延长，交与点G，连接DG，先证明△BAC∽△CAF可得BC2=CF2=AF·AC=-4+，设AF=x，再根据勾股定理求出AC=，进一步求出AF=，再证明△AFB∽△DFA，进而得到AF2=DF·FB=8，DF2=4，DF=2，再由勾股定理求出CD2=-8，最后证明△CED∽△FCD，进而得出CD2=DF·DE，即可得出DE的长.
（1）证明：∵的角平分线与交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接并延长，交于点，连接，
∵是的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
25．（2025·娄底模拟）圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
（1）如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
（2）如图2，若，，求的最大值．
【答案】（1）解：①点A、B分别在直线、上运动，且A、B、C三点为顺时针走向， 已知 ， ，，
如图，过点B作DB⊥OB，连接OD、AD、CD，
∴S△OBD=OB·BD=4，∠DBO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=OB，
∴BD∥OA，
∴S△ABD=S△OBD=4，
∵S△ABC=4，
∴S△ABC=S△ABD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=90°，
∴点C在以BD为直径的圆上，
设AC的中点为M，以AC为直径的圆记为，如图1.2所示：
∵∠ABC=90°，
∴点B在上，
又∵点B在直线
上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，
则，
，
∴BM=h，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；
当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，如图1.3所示：
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为；
（2）解：在平面上取点使得，且，作于点，连接BD、OD，如图2所示，
∴∠DCA=180°-∠BAC=60°，S△BAD=S△BAC=4，∠DAO=180°-∠AOB=60°，S△AOD=S△BAD=4，
∵于点H，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①根据题意，过点作且，连接、、，根据平行线的性质得出，可得出，从而得到，即可判断点在以为直径的圆上；设中点为，以为直径的圆记为，根据可知与直线至少有1个交点，再设与直线相切，根据正方形的性质和判定求出此时的长，即可得出结论；②由①中的结论可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，则，再根据勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案；
（2）根据题意，在平面上取点使得且，作于点，连接、，先根据平行线的性质可知，利用三角形面积公式和三角函数的知识求出；接着作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，利用外接圆的性质和三角函数的知识即可求出的半径，最后根据即可得出答案．
（1）解：①如图，过点作且，连接、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上；
设中点为，以为直径的圆记为，
，
点在上，
又点在直线上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，则，
，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为．
（2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、，
，
，，
，
，，
于点，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，，，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
26．（2025·娄底模拟）已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可知，点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧，
∵OB=OC=3OA，
∴AB=OA+OB=4OA，
∵S△ABC=6，
∴，
即6OA2=6，
∴OA=1（负值舍去），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
设抛物线的解析式为：，
将C（0，-3）代入抛物线解析式得：a×1×（-3）=-3a=-3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为，
答：抛物线解析式为.
（2）解：①∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠OPC=45°，
∴∠OPC=∠OBC，
当点P与点B重合时，点P（3，0），
当点P不与点B重合时，则O，B，C，P四点共圆，
∵∠BOC=90°，
∴BC为圆的直径，
∴∠BPC=90°，
取BC的中点E，则点E为圆心，连接EP，如图
∴EP=BC，
由（1）可知，OB=OC=3，
∴BC=，E（）
∴EP=，
设点P（x，），
∴，
整理得：x（）（m-3）=0，
解得：x=0（舍去）或m=3（舍去）或（舍去）或，
则，
∴；
②∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则，，
∵，
∴，
设，
∴，
化简，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）或；
∴或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；圆与函数的综合；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据，，即可求出的长，进而求出三点的坐标，最后根据待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①根据，得到，进而得到，进一步推出四点共圆，利用圆周角定理得到为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，设P（x，），根据勾股定理列出方程进行求解即可得出答案；②根据中点定义可以得出，进而得到，取点，连接，得到，进一步得到，同法①进行求解即可得出答案．
（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且，则：点在轴左侧，点在轴右侧：
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，，，
∴设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得：，
∴，
∴；
（2）①当∵，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，满足题意；此时：；
当点与点不重合时，则：四点共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，则：，
∵，
∴，，，
设点，
则：，
整理，得：
解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或，
当时，，
∴；
综上：或；
②∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则，，
∵，
∴，
设，
∴，
化简，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）或；
∴或．
1 / 1湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷
1．（2025·娄底模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·娄底模拟）根据教育部教育考试院及官方公布的消息，2024年全国高考报名人数共有1342万人，1342万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·娄底模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·娄底模拟）在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·娄底模拟）如图，，于点，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·娄底模拟）若不等式组无解，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·娄底模拟）如图，直线、与相切，切点分别为，与相交于点，连接交于点，，若，，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·娄底模拟）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·娄底模拟）在中，的对边分别为a、b、c，若，且关于A、B的函数有意义，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·娄底模拟）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·娄底模拟）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则　 　．
12．（2025·娄底模拟）函数的自变量的取值范围是　 　．
13．（2025·娄底模拟）“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是　 　．
14．（2025·娄底模拟）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为　 　．
15．（2025·娄底模拟）如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则　 　．
16．（2025·娄底模拟）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为　 　．
17．（2025·娄底模拟）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为　 　．
18．（2025·娄底模拟）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为　 　．
19．（2025·娄底模拟）计算：．
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中满足．
21．（2025·娄底模拟）某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：
（1） ，并补全条形统计图；
（2）请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
（3）由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
22．（2025·娄底模拟）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
（1）求小山的高度；
（2）求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
23．（2025·娄底模拟）冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．
（1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？
（2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）
24．（2025·娄底模拟）如图，点A在以为直径的上，的角平分线与交于点D，与交于点E，过点C作的平行线交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若与相切，，求的长度．
25．（2025·娄底模拟）圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
（1）如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
（2）如图2，若，，求的最大值．
26．（2025·娄底模拟）已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，对四个式子逐一计算后作出判断．
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数图象的对称性；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，有两条对称轴。
C选项：二次函数的图象是抛物线，抛物线有条对称轴；
D选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
对称轴条数最少的是反比例函数的图象．
故选：C．
【分析】根据函数图象的对称轴的条数解答即可．
5．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D ．
【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等得到，再利用垂直的定义可得，再根据角的和差解答即可．
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：解，得：，
∵不等式组无解，
∴，，，
令，
∵，
∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大，
当时，，
∴当时，；
故答案为：B．
【分析】求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设与交于点，如图所示，
∵直线、与相切，切点分别为，与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，DF⊥BF，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，
∴，
在Rt△DBE和Rt△DBF中，
，
∴，
∴，
∴在Rt△DBE中，，，
∴，
∴，
∴，
设半径为，则，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】设与交于点，根据直线、与相切，切点分别为，与相交于点得，，然后证明垂直平分，则，又因为，则，进而可得，即是的平分线，根据角平分线的性质可得，即可证明，进而得，由，，求出，根据勾股定理得到，然后设半径为，则，再根据勾股定理得，代入即可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【解答】解：设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，如图所示：
由题意可得：∠COD==60°，OC=OD，
设OC=OD=CD=a，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=，
在Rt△COD中，根据勾股定理可得，OM==，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，根据题意可知，∠COD=60°，OC=OD，设，由勾股定理可得，求出，则，求出，即可得解.
9．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；已知某个三角函数值求其他三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：由条件可知：2tanA-tanB≥0，≥0，
∴tanA≥tanB，tanB≥tanA，
∴tanA=tanB，
∵2a=b，，
∴，
∴sinA=sinB，
∵tanA=tanB，
∴
∴，
∴cosA=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴sinB=（负值舍去），
∴∠B=45°，
∵sinA=sinB，
∴sinA=×=，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的条件可知tanA≥tanB，tanB≥tanA，得到，再由，结合正弦定理和三角函数之间的关系，可得出，进而求得，再结合sinA=sinB，可得，进而得出，最后根据三角形的内角和定理求出的度数即可．
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
取的中点，连接，，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，的值最大为；
故选B．
【分析】过点作，根据等边对等角可得，根据三线合一求出的长，取的中点，连接，过点作，根据三角形的中位线定理得到，即可得到点在以点为圆心的圆上，当三点共线时，最大，根据线段的和差解答即可．
11．【答案】17
【知识点】二次根式的性质与化简；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：17
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征建立方程，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有个字，“贤”字出现了次，
∴“贤”字出现的概率为2÷13=，
故答案为：．
【分析】根据“贤”字出现的次数除以总字数即可.
14．【答案】0或8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=m，
∵，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0
∴x1=x2或x1=-x2，
当时，此方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或；
当时，则x1+x2=m=0，符合题意；
综上所述，的值为0或8，
故答案为：0或8．
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=m，再由可知或，分两种情况：和，根据一元二次方程根的判别式求解即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
【分析】过作轴于，设，即可得到，根据菱形的性质得出求得的坐标，即可根据中点坐标得到的坐标，再代入求出的值即可．
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，
∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，
∴圆锥的母线长为，
∴这个物体的表面积为．
故答案为：.
【分析】先判断该几何体是圆锥，根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出物体的表面积解题．
17．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解∶延长至点G，使，连接、、，
∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当D、E、G三点共线时，取最小值为，
在边长为5的正方形中，，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】延长至点G，使，连接、、，利用得到，即可得到，当D、E、G三点共线时，取最小值为，根据勾股定理求出和长解答．
18．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由抛物线，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
画出图形如下：
∵与抛物线始终有交点，
∴，
∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，
∴，
联立：，
解得，
∴的取值范围为，
故答案为：．
【分析】得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据题意得到“整点”个数列不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
19．【答案】解：
=1-（-9）-+2×
=1+9-++
=10．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算即可得出答案.
20．【答案】解：原式=
=
=
=
=，
∵，
∴（x+1）（x+2）=0
∴x=-1或x=-2，
又∵x+2≠0且x-1≠0，
∴x≠-2且x≠1，
∴x=-1，
当x=-1时，原式=.
【知识点】分式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将分式进行化简，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件求得x的值，最后代入求值即可.
21．【答案】（1）解：8；
∵九（1）班成绩为2分的学生人数为：50×36%=18（人），成绩为4分的学生人数为：50-（3+18+10+4）=15（人），
∴补全条形图，如图所示：
（2）解：将九（1）班的成绩按从小到大的顺序排列，第25个数据和第26个数据均为3分，因此中位数为：3分；
九（1）班的成绩平均数=（3×1+18×2+10×3+15×4+5×4）÷50=2.98（分）.
（3）解：根据题意，男生用字母A表示，女生用字母B表示， 随机抽取2人的结果情况列表如下：
　 A B C D
A 　 A，B A，C A，D
B B，A 　 B，C B，D
C C，A C，B 　 C，D
D D，A D，A D，C 　
由此可知，共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴ 恰好选中1男1女的概率为6÷12=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，九（1）班得分为3分所占的百分比为=20%，
∴结合折线图可知，九（1）班的人数为：10÷20%=50（人），
∴九（1）班得分为5分所占的百分比a%=4÷50×100%=8%，
∴a=8，
故答案为：8.
【分析】（1）先根据扇形统计图求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数求出的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据中位数和平均数的定义进行计算即可得出答案；
（3）根据题意，男生用字母A表示，女生用字母B表示，列出表格，利用概率公式进行计算即可得出答案．
（1）解：九（1）班的人数为：，
∴，
∴；
成绩为2分的学生人数为：，
∴成绩为4分的学生人数为：；
补全条形图如图：
（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
平均数为：（分）；
（3）用表示男生，表示女生，列表如下：
A B C D
A
A，B A，C A，D
B B，A
B，C B，D
C C，A C，B
C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴．
22．【答案】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（）根据坡度得出，然后根据正弦的定义解答即可；
（）过点作于点，即可得到是矩形，在中利用勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出EG长，在中，利用正切求出FD长，再根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
23．【答案】（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件
（2）解：设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设鸭绒服的单价为每件元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进鸭绒服件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出的取值范围，设总利润为，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元；
（2）设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
24．【答案】（1）解：∵CF∥AB，
∴∠ABD=∠BFC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBF，
∴∠BFC=∠CBF，
∴BC=CF，
∵BC是的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BF，
∴BD=DF.
（2）解：连接AO并延长，交与点G，连接DG，如图所示：
∴∠OAF=∠OAC+∠CAF=90°，
∵BC是的直径，
∴∠CAB=∠OAB+∠CAO=90°，
∴∠CAF=∠OAB，
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠CAF=∠OBA，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
∴△BAC∽△CAF（AA），
∴，
由（1）可知：BC=CF，
∴，
∴BC2=CF2=AF·AC=-4+，
设AF=x，
在Rt△ACF中，AC===，
∴x=-4+，
∴，
解得：x2=8或x2=-12，
∴x=，
即AF=，
∵AG是的直径，
∴∠ADG=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，
∵∠OAF=∠OAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠AGD，
∵∠ABD=∠AGD，
∴∠DAF=∠ABD，
∵∠AFB=∠AFD，
∴△AFB∽△DFA（AA），
∴，
∴AF2=DF·FB=8，
由（1）可知，BD=DF，
∴BF=2DF，
∴DF·FB=DF·2DF=2DF2=8，
∴DF2=4，DF=2，
在Rt△CDF中，由勾股定理可知，CD2=CF2-DF2=-4+-4= -8，
∵CF∥AB，
∴∠DBA=∠CFB，
∵∠DBA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CFE，
∵∠CDE=∠CDF，
∴△CED∽△FCD（AA），
∴，
∴CD2=DF·DE，
∴ -8=2DE，
∴DE=.
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据圆周角定理可得出CD⊥BF，最后根据等腰三角形三线合一即可得出结论；
（2）连接AO并延长，交与点G，连接DG，先证明△BAC∽△CAF可得BC2=CF2=AF·AC=-4+，设AF=x，再根据勾股定理求出AC=，进一步求出AF=，再证明△AFB∽△DFA，进而得到AF2=DF·FB=8，DF2=4，DF=2，再由勾股定理求出CD2=-8，最后证明△CED∽△FCD，进而得出CD2=DF·DE，即可得出DE的长.
（1）证明：∵的角平分线与交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接并延长，交于点，连接，
∵是的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
25．【答案】（1）解：①点A、B分别在直线、上运动，且A、B、C三点为顺时针走向， 已知 ， ，，
如图，过点B作DB⊥OB，连接OD、AD、CD，
∴S△OBD=OB·BD=4，∠DBO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=OB，
∴BD∥OA，
∴S△ABD=S△OBD=4，
∵S△ABC=4，
∴S△ABC=S△ABD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=90°，
∴点C在以BD为直径的圆上，
设AC的中点为M，以AC为直径的圆记为，如图1.2所示：
∵∠ABC=90°，
∴点B在上，
又∵点B在直线
上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，
则，
，
∴BM=h，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；
当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，如图1.3所示：
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为；
（2）解：在平面上取点使得，且，作于点，连接BD、OD，如图2所示，
∴∠DCA=180°-∠BAC=60°，S△BAD=S△BAC=4，∠DAO=180°-∠AOB=60°，S△AOD=S△BAD=4，
∵于点H，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①根据题意，过点作且，连接、、，根据平行线的性质得出，可得出，从而得到，即可判断点在以为直径的圆上；设中点为，以为直径的圆记为，根据可知与直线至少有1个交点，再设与直线相切，根据正方形的性质和判定求出此时的长，即可得出结论；②由①中的结论可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，则，再根据勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案；
（2）根据题意，在平面上取点使得且，作于点，连接、，先根据平行线的性质可知，利用三角形面积公式和三角函数的知识求出；接着作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，利用外接圆的性质和三角函数的知识即可求出的半径，最后根据即可得出答案．
（1）解：①如图，过点作且，连接、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上；
设中点为，以为直径的圆记为，
，
点在上，
又点在直线上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，则，
，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为．
（2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、，
，
，，
，
，，
于点，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，，，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
26．【答案】（1）解：根据题意可知，点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧，
∵OB=OC=3OA，
∴AB=OA+OB=4OA，
∵S△ABC=6，
∴，
即6OA2=6，
∴OA=1（负值舍去），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
设抛物线的解析式为：，
将C（0，-3）代入抛物线解析式得：a×1×（-3）=-3a=-3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为，
答：抛物线解析式为.
（2）解：①∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠OPC=45°，
∴∠OPC=∠OBC，
当点P与点B重合时，点P（3，0），
当点P不与点B重合时，则O，B，C，P四点共圆，
∵∠BOC=90°，
∴BC为圆的直径，
∴∠BPC=90°，
取BC的中点E，则点E为圆心，连接EP，如图
∴EP=BC，
由（1）可知，OB=OC=3，
∴BC=，E（）
∴EP=，
设点P（x，），
∴，
整理得：x（）（m-3）=0，
解得：x=0（舍去）或m=3（舍去）或（舍去）或，
则，
∴；
②∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则，，
∵，
∴，
设，
∴，
化简，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）或；
∴或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；圆与函数的综合；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据，，即可求出的长，进而求出三点的坐标，最后根据待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①根据，得到，进而得到，进一步推出四点共圆，利用圆周角定理得到为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，设P（x，），根据勾股定理列出方程进行求解即可得出答案；②根据中点定义可以得出，进而得到，取点，连接，得到，进一步得到，同法①进行求解即可得出答案．
（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且，则：点在轴左侧，点在轴右侧：
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，，，
∴设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得：，
∴，
∴；
（2）①当∵，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，满足题意；此时：；
当点与点不重合时，则：四点共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，则：，
∵，
∴，，，
设点，
则：，
整理，得：
解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或，
当时，，
∴；
综上：或；
②∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则，，
∵，
∴，
设，
∴，
化简，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）或；
∴或．
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